第八节二阶常系数线性差分方程

第八节 二阶常系数线性差分方程

二阶常系数齐次线性差分方程的一般形式

12=++++x x x by ay y （1）

二阶常系数非齐次线性差分方程的一般形式

()

x f by ay y x x x =++++12（2）

一、二阶常系数齐次线性差分方程的求解

令x

x y λ=

代入方程（1）得特征方程 02=++b a λλ （3）

根据特征方程（3）的根的三种情形写出通解

(1)第一种情形：特征方程（3）有两个不同的

实根

21λλ≠ ，通解为 ()

为任意常数212

211,C C C C y x

x x λλ+=

(2)第二种情形：特征方程（3）有两个相同的

实根

λλλ==21

，通解为 ()()

为任意常数2121,C C x C C y x

x λ+=

(2)第三种情形：特征方程（3）有一对共轭

复根

i βαλ±=2,1 ，通解为

()

()为任意常数2121,sin cos C C x C x C r y x x θθ+=

其中

()

πβα

β

θβα<<>=+=0,

0arctan

,22r r

例1 求差分

方程

0612=--++x x x y y y 的通解。

解 特征方程

062

=--λλ

的根为 2,321-==λλ

原方程的通解为

()()为任意常数2121,,

23C C C C y x

x x -+=

例2 求差分

方程

04412=+-++x x x y y y 的通解。

解 特征方程

0442

=+-λλ

的根为 221==λλ 原方程的通解为

()()为任意常数2121,,

2C C x C C y x x +=

例3 求差分方程 041

2=++x x y y

的通解。

解 特征方程 0412=+λ

的根为 i

21

2,1±=λ 原方程的通解

()

为任意常数2121,,

2sin 2cos 21C C x C x C y x

x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+⎪⎭⎫ ⎝⎛=ππ

例4 求差分

方程

016412=+-++x x x y y y 的通解。

解 特征方程

01642

=+-λλ 的根为 i 3222,1±=λ

原方程的通解

()

为任意常数2121,,

3sin 3cos 4C C x C x C y x x ⎪⎭⎫ ⎝

⎛

+=ππ

二、二阶常系数非齐次线性差分方程的求解

()

x f by ay y x x x =++++12（2）

由上节定理3知道，差分方程（2）的通解应由对应齐次差分方程的通解

（前面已学过）和非齐次差分方程的特解两部分组成。我们只学习后部分。

二阶常系数非齐次线性差分方程的特解求法——待定系数法

1. 非齐

次项

()()x P x f n = 型

（1）1不是特征方程的根，即1+a +b ≠0, 设

n

n x x b x b x b b y +⋅⋅⋅+++=*2210

（2）1是特征方程的根，即1+a +b ＝0且2+a ≠0,设

()

x x

b x b x b b y n

n x +⋅⋅⋅+++=*2210

（3）1是特征方程的重根，即1+a +b ＝0且2+a ＝0,设

()

22210x x

b x b x b b y n

n x +⋅⋅⋅+++=*

例5 求差分

方程

x y y y x x x =++++4512 的通解。

解（1）对应齐次

方程

04512=++++x x x y y y 的特征方程

0452=+++λλ

特征方

程的根为

4,121-=-=λλ ，通解为

()()()

为任意常数2121,,41C C C C Y x x

x -+-=

（2）设非齐次方程的特

解为

b ax y x +=*

代入方程求得 1007

,101-==b a ，所以 1007101-=*x y x

（3）非齐次方程的通解为

()()()

为任意常数2121,,100

710141C C x C C y x

x

x -+

-+-=

例6 求差分

方程

x y y y x x x 34312=-+++ 的通解。

解（1）对应齐次

方程

04312=-+++x x x y y y 的特征方程

0432=-+λλ

特征方程

的根为

4,121-==λλ

，通解为

()()

为任意常数2121,,4C C C C Y x x -+=

（2）设非齐次方程的特解为

()bx ax x b ax y x +=+=*2

代入方程求得 5021

,103-==b a ，所以 x x y x

50211032-=*

（3）非齐次方程的通解为