安培环路定理
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的证 明 , 归 结 起 来 , 大 致 有 三 种 方 法 :磁 壳 法[ 1 ～ 3] 、矢位法[ 4～ 6] 和立体角法[ 7, 8] .前两种方 法是 利用“ 磁壳” 和“ 矢位” 间接 地证 明了 安培 环 路定理 ;第三种方法则是利用直观的立体角概 念进行说明 , 很费事 , 不仅占用不少篇幅 , 而且 不好理解 .本文利用毕奥 -萨伐尔定律和 δ函 数的筛选性 , 直接简明地证明了安培环路定理 , 方法简单 , 便于理解 .
Δ×
j(r′)×Δ
1 R
=
Δ
1 R
·Δ
j (r′)+
Δ·Δ
1 R
j (r′)-[
j(r的′)行·Δ ]
Δ
1 R
-
[
Δ·j (r′)]
Δ
1 R
(4)
由于算符 Δ 是对 r 的 微分 算符 , 与 r′无
① 收稿日期 :1997 -01 -15
第 3 期 薛庆忠等 :安培环路定理的直接证明
DO I :10.16854/j .cnki .1000 -0712.1998.03.002
第 17 卷第 3 期 1 9 9 8 年 3 月
大 学 物 理 CO LL EG E PHYSICS
VoMl.a1r,7.N19o9.38
安培环路定理的直这 接证明
薛庆忠 刘金世
(石油大学应 用物理系 , 山东东营 257062)①
Δ
1 R
d
V′=
S
Δ
1 R
j(r′)dS -
∫[ V′
Δ·j(r′)] Δ
1 R
d
V′
(6)
上式积分区域 V′包括所有的电流在内 , 没有电
流流过区域的界面 S , 因而式中面积分为零 ;又 由于算符Δ不作用于 r′, 故上式右端的体积分
也为引零言.所以
∫ Δ ×B =-4μπ0
j(r′)
V′
2 斯迈思 W R .静电学 和电动力 学 .戴世 强译 .北 京 :科学 出 版社 , 1982
3 Panof sky W K H , Philli ps M .Classical Electricit y and M agneti sm .M assachuset ts :Addison -w est ey , 1962
电流 I 通过 L 围成的面 S 电流 I 不通过 L 围成的面 S
这正是安培环路定理 .
(8)
Βιβλιοθήκη Baidu
3 参考文献
1 Jeans J H .The M athemati cal Theory of Elect ri city and M agneti sm .London :Cambridge , 1951
5
关 , 故上式右端第一 、四项为零 , 所以
∫ Δ ×B =4μπ0
[
V′
j (r′)·Δ]
Δ
1 R
d V′-
∫ μ0
4π
j (r′)·
V′
Δ
2
1 R
d V′
(5)
我们不难看 出 , 上式右 端第一项为 零 , 这是 因
为 , 由文献[ 8] 式(Ⅰ .129)
∫ ∮ [ V′
j(r′)“·磁Δ ]
Press , 1986
A DIRECT CALCULATION OF AMPERE' S LAW
Xue Qingzhong Liu Jinshi
(Department of Physics , U niversity of Pe troleum , Dongying , Shandong , 257062 , China)
Δ
21 R
d V′=
∫ μ0
4π
j (r′)·4πδ(R)d V′=
V′
∫ μ0 j (r′)·δ(r -r′)d V′= V′
μ0 j(r)
(7)
式中最后一步用到 δ函数的筛选性 .将式(7)代
入式(2)得
∮ ∫ ∫ B·d L = μ0 j (r)·d S =μ0 j(r)·dS
L
S
S
=
μ0 I , 0,
摘 要 利用毕奥 -萨伐尔定律和 δ函数的筛选性 , 直接简明地证明了安培环路定理 . 关键词 安培环路定理 ;δ函数 分类号 O 441
1 引言
在通常的电磁场和电磁学教材中 , 都是用 无穷长直载流导线的特例得出安培环路安理 , 然后指出这个定理是普遍成立的 , 但不作证明 . 只有少数较深的教材中才给出了安培环路定理
Abstract Applying Biot -Savart' s law and the nature of δfunct ion , a direct calculation of Ampere' s law is given .
Key words Ampere' s law ;δf unction
2 安培环路定理的直接证明
如图示 , 载有电流 I 的闭合回路 L′中任一
点处的电流密度为 j(r′), 则由毕 -萨定律知 ,
该回路中的电流在空间 r 点产生的磁感 应强
度B 为
∫ B =4μπ0
j
V′
(r′)×R R3
d
V′
(1)
式中 r′为源点位矢 ;R =r -r′, 为源点到场点
的位矢 .
将 B 对任意闭合回路 L 求线积分 , 即得
图 1 B 沿回路 L 的积分示意图
∮ ∫ B·dL = (Δ ×B)·dS
L
S
(2)
由式(1)可得
∫ Δ ×B =Δ ×4μπ0
j(r′)×R V′ R 3
d
V
′=
∫ -4μπ0
Δ×
V′
j (r′)×Δ
1 R
d V′(3)
由文献[ 4] 中式(Ⅰ .22)知
N ew York :A cademic Press , 1959 7 Scot t W T .The Physics of Elect ricity and M agnet ism .1959 8 Road K W .Elect romagnetic Fields.N ew York :A cademic
4 郭硕鸿 .电动力学 .北京 :人民教育出版社 , 1979 5 Cook D M .The Theory of t he Electromagneti c Field .N ew
Y ork :M cG raw -Hill , 1975 6 Lorrain P , Corson D .Elect romagnetic Fields and Waves .
Δ×
j(r′)×Δ
1 R
=
Δ
1 R
·Δ
j (r′)+
Δ·Δ
1 R
j (r′)-[
j(r的′)行·Δ ]
Δ
1 R
-
[
Δ·j (r′)]
Δ
1 R
(4)
由于算符 Δ 是对 r 的 微分 算符 , 与 r′无
① 收稿日期 :1997 -01 -15
第 3 期 薛庆忠等 :安培环路定理的直接证明
DO I :10.16854/j .cnki .1000 -0712.1998.03.002
第 17 卷第 3 期 1 9 9 8 年 3 月
大 学 物 理 CO LL EG E PHYSICS
VoMl.a1r,7.N19o9.38
安培环路定理的直这 接证明
薛庆忠 刘金世
(石油大学应 用物理系 , 山东东营 257062)①
Δ
1 R
d
V′=
S
Δ
1 R
j(r′)dS -
∫[ V′
Δ·j(r′)] Δ
1 R
d
V′
(6)
上式积分区域 V′包括所有的电流在内 , 没有电
流流过区域的界面 S , 因而式中面积分为零 ;又 由于算符Δ不作用于 r′, 故上式右端的体积分
也为引零言.所以
∫ Δ ×B =-4μπ0
j(r′)
V′
2 斯迈思 W R .静电学 和电动力 学 .戴世 强译 .北 京 :科学 出 版社 , 1982
3 Panof sky W K H , Philli ps M .Classical Electricit y and M agneti sm .M assachuset ts :Addison -w est ey , 1962
电流 I 通过 L 围成的面 S 电流 I 不通过 L 围成的面 S
这正是安培环路定理 .
(8)
Βιβλιοθήκη Baidu
3 参考文献
1 Jeans J H .The M athemati cal Theory of Elect ri city and M agneti sm .London :Cambridge , 1951
5
关 , 故上式右端第一 、四项为零 , 所以
∫ Δ ×B =4μπ0
[
V′
j (r′)·Δ]
Δ
1 R
d V′-
∫ μ0
4π
j (r′)·
V′
Δ
2
1 R
d V′
(5)
我们不难看 出 , 上式右 端第一项为 零 , 这是 因
为 , 由文献[ 8] 式(Ⅰ .129)
∫ ∮ [ V′
j(r′)“·磁Δ ]
Press , 1986
A DIRECT CALCULATION OF AMPERE' S LAW
Xue Qingzhong Liu Jinshi
(Department of Physics , U niversity of Pe troleum , Dongying , Shandong , 257062 , China)
Δ
21 R
d V′=
∫ μ0
4π
j (r′)·4πδ(R)d V′=
V′
∫ μ0 j (r′)·δ(r -r′)d V′= V′
μ0 j(r)
(7)
式中最后一步用到 δ函数的筛选性 .将式(7)代
入式(2)得
∮ ∫ ∫ B·d L = μ0 j (r)·d S =μ0 j(r)·dS
L
S
S
=
μ0 I , 0,
摘 要 利用毕奥 -萨伐尔定律和 δ函数的筛选性 , 直接简明地证明了安培环路定理 . 关键词 安培环路定理 ;δ函数 分类号 O 441
1 引言
在通常的电磁场和电磁学教材中 , 都是用 无穷长直载流导线的特例得出安培环路安理 , 然后指出这个定理是普遍成立的 , 但不作证明 . 只有少数较深的教材中才给出了安培环路定理
Abstract Applying Biot -Savart' s law and the nature of δfunct ion , a direct calculation of Ampere' s law is given .
Key words Ampere' s law ;δf unction
2 安培环路定理的直接证明
如图示 , 载有电流 I 的闭合回路 L′中任一
点处的电流密度为 j(r′), 则由毕 -萨定律知 ,
该回路中的电流在空间 r 点产生的磁感 应强
度B 为
∫ B =4μπ0
j
V′
(r′)×R R3
d
V′
(1)
式中 r′为源点位矢 ;R =r -r′, 为源点到场点
的位矢 .
将 B 对任意闭合回路 L 求线积分 , 即得
图 1 B 沿回路 L 的积分示意图
∮ ∫ B·dL = (Δ ×B)·dS
L
S
(2)
由式(1)可得
∫ Δ ×B =Δ ×4μπ0
j(r′)×R V′ R 3
d
V
′=
∫ -4μπ0
Δ×
V′
j (r′)×Δ
1 R
d V′(3)
由文献[ 4] 中式(Ⅰ .22)知
N ew York :A cademic Press , 1959 7 Scot t W T .The Physics of Elect ricity and M agnet ism .1959 8 Road K W .Elect romagnetic Fields.N ew York :A cademic
4 郭硕鸿 .电动力学 .北京 :人民教育出版社 , 1979 5 Cook D M .The Theory of t he Electromagneti c Field .N ew
Y ork :M cG raw -Hill , 1975 6 Lorrain P , Corson D .Elect romagnetic Fields and Waves .