非圆齿轮的结构设计说明

2椭圆齿轮的结构设计

2.1椭圆的基本数学理论

2.1.1椭圆定义

椭圆定义：平面到一定点距离与到一定直线距离之比为一个常数e (0

其中，该定点称为椭圆的焦点，定直线称为该焦点对应的准线，e称为椭圆的离心率。

2.1.2椭圆的方程

如图2.1所示，以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与

小圆的交点，过点A 作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。

图2.1 椭圆形成示意图

解：设M点的坐标为（x,y），是以O x为始边，OA为终边的正角，取为参数。

那么，

（2.1）

以上（2.1）式即为椭圆的参数方程，其中称为“离心角”

对（1）式进行消参

（2.2）以上（2.2）式即为椭圆的标准方程。

2.2齿轮的基本理论

2.2.1齿轮传动

齿轮传动是机械传动中最重要的传动之一，形式很多，应用广泛，传递的功率可达数十万千瓦，它的圆周速度和转速分别可达300m/s，100000r/min。同摩擦轮传动和带轮传动相比较，齿轮传动齿轮传动具有传动功率大，效率高，寿命长及传动平稳等特点[2]。

齿轮传动特点：

（1）效率高在常用的机械传动中，以齿轮传动效率为最高。例如一级圆柱齿轮的传动效率可达99%。这对大功率传动十分重要，因为即使效率提高1%，也有很大的经济意义。

（2）机构紧凑在同样的使用条件下，齿轮传动所需空间尺寸一般较小。

（3）工作可靠、寿命长设计制造正确合理、使用维护良好的齿轮传动，工作十分可靠，寿命可长达一、二十年，这也是其他机械传动所不能比拟的。

（4）传动比稳定传动比稳定往往是对传动性能的基本要求。齿轮传动获得广泛应用，也就是由于具有这个特点。

2.2.2圆柱齿轮结构

圆柱齿轮可分为直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、人字齿轮、曲线齿圆柱齿轮。其中直齿圆柱齿轮简称直齿轮，其轮齿排列与轴线平行；斜齿圆柱齿轮简称斜齿轮，其轮齿与轴线斜成一个角度，沿轴线螺旋方向排列在圆柱体上；人字齿轮形如“人”字，相当于两个全等但旋向相反的两个斜齿轮拼接而成；曲线齿圆柱齿轮简称曲线齿轮，其轮齿沿轴向弯曲成弧面。

2.2.3渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数和几何尺寸

如图2.2所示为一直齿外齿轮的一部分。

图2.2 齿轮各结构参数

齿轮上每一个用于啮合的凸起部分称为轮齿。每个轮齿都具有两个对称分布的齿廓。一个齿轮的轮齿总数成为齿数，用z表示。齿轮上相邻轮齿之间的空间称为齿槽；过所有齿顶端的园称为齿顶圆，其半径和直径分别用和表示；过所有齿槽底边的园称为齿根圆，其半径和直径分别用和表示。

在任意半径的圆周上，齿槽的弧线长和轮齿的弧线长分别称为该圆上的齿槽宽和齿厚，分别用和表示。沿该圆上相邻两齿的同侧齿廓见到弧线长称为该圆上的齿距，用表示，则有

（2.3）由于该圆的周长为，同时又等于，所以得

（2.4）式（2.4）中的比值称为该圆上的模数。由上面的式子可知，一个齿轮的不同圆周上的齿距是不同的，所以模数也是不同的。

由于式子（2.4）中包含无理数π，使计算制造和测量等比较麻烦。为了便于确定齿轮的几何尺寸，人民有意识地制订一个简单的有理数列，并在齿轮上选择一个圆，取该圆的模数在这个有理数列之中，从而使其直径为有理数。这种人为规定的模数称为标准模数，单位为毫米（mm）。在齿轮上，这个模数等于选定的标准模数的圆称为分度圆其半径和直径分别用r和d表示。显然，当齿轮的齿数和标准模数值选定后，其分度圆就确定了。此后即以此作为齿轮尺寸的基准。

为方便起见，将分度圆上的模数、齿厚、齿槽宽和齿距简称为模数、齿厚、齿槽宽和齿距，分别用m、s、e和p表示。根据模数的定义及式子（2.3）、（2.4）显然有

（2.5）

（2.6）

（2.7）

另一方面，齿轮在不同圆周上的压力角是不同的，基圆上的压力角为零，离基圆越远的圆，半径越大，该圆上的压力角也越大。分度圆上的压力角叫简称压力角，用α表示，且有

（2.8）式（2.8）表明，当齿轮的模数m和齿数z一经确定，分度圆的大小也就确定；但是压力角的大小可以不同，基圆的大小也随之不同，因此分度圆相同的齿轮，其齿形可能不同。这就使齿轮的设计、制造、测量和互换性有很多不便，为此，人民规定了分度圆上压力角的标准值，称为标准压力角，我国规定的标准压力角为20°。此外，为了提高齿轮的综合强度而需要增大压力角时，推荐采用25°.其他国家常用的压力角除20°外，还有15°、14.5°等。设计齿轮时，一般取标准压力角，若因特殊需要而选取其他值时，必须注明并特制加工刀具。

分度圆和节圆又原则性的区别。分度圆是一个齿轮的机会参数，每个齿轮都有一个大小确定的分度圆；而节圆则是表示一对齿轮啮合特性的圆。对于单个齿轮而言，节圆无意义；当一对齿轮啮合时，他们的节圆随中心距的变化（可分性）而变化。因此节圆和分度圆可以重合，也可以把重合。另外，分度圆压力角是一个大小确定的角，啮合角可以与之相等，也可以不相等，但啮合角与节圆压力角则是始终相等的。

分度圆吧齿轮分为两部分，介于分度圆与齿顶圆之间的部分称为顶圆，其径向高度成为齿顶高，用表示；介于分度圆与齿根圆之间的部分称为齿根，其径向高度称为齿根高，用表示；齿顶圆与齿根圆之间的径向高度成为齿全高，用h表示，故有:

（2.9）

2.2.4渐开线标准齿轮的几何尺寸和基本参数的关系

标准齿轮具有以下三个特征：

（1）模数m和压力角取标准值。

（2）具有标准的齿顶高和齿根高。

其中标准齿顶高和齿根高表示为：

（2.10）

（2.11）上式中，和分别称为齿顶高系数和顶隙系数。我国规定和的标准值为:

正常齿制：

短齿制：

显然，当和分别取标准值时，按照式（2.10）和（2.11）计算得到的齿顶高和齿根高为标准齿顶高和标准齿根高。

（3）分度圆上齿厚等于齿宽，即

只有同时具备上述三个特征的齿轮才是标准齿轮，否则为非标齿轮。但是需要强调的是对于任何齿轮，式（2.5）～（2.11）都是适用的。因此标准外圆柱齿轮的齿顶圆直径和齿根圆直径分别为：

（2.12）综上所述，标准齿轮的几何参数决定于模数m、压力角、齿数z、齿顶高系数和齿根高系数，故这五个参数为标准齿轮的基本参数。

2.2.5圆的渐开线及其方程