第一节 微分方程的基本概念

第一节 微分方程的基本概念

教学目的： 理解微分方程的概念，理解微分方程的通解的概念，区分特解与通解。 教学重点：微分方程的概念 通解的概念

教学难点：区分特解与通解

教学时数：2

教学内容：

一、 两个引例

例1：一条曲线过点()0,1，且在该曲线任意点(,)M x y 处的切线斜率都为2x ，求该曲线的方程。

解： 设所求曲线方程为()y f x =

根据题意和导数的几何意义，得

2dy x dx

= 且当0x =时，1y =。 例2：一质量为m 的物体只受重力作用由距地面h 米处开始下落，试求物体下落的运动方程。 解 ：设物体下落距离s 与时间t 的关系为 ()s s t =

依题意和二阶导数的物理意义，得

g t

d s d 22=（其中g 为重力加速度） 且当0t =时,0s =且0v =。

以上所列举两例的方程中，都含有未知函数的导数，它们都是微分方程。

二、基本概念

定义 含有未知函数导数（或微分）的方程，称为微分方程。

定义 微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶。

能使微分方程变成恒等式的函数，称为微分方程的解。求微分方程解的过程叫做解微分方程。

如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。

在通解中若使任意常数取某定值，或利用附加条件求出任意常数应取的值，所得的解叫做微分方程的特解。

为了得到满足要求的特解，必须根据要求对微分方程附加一定条件，这些条件叫做初始条件。

例如，例1的初始条件记为01x y ==；例2的初始条件记为00

0,0t t ds s dt ==== 评注：⑴.在微分方程中，自变量和未知函数可以不出现，但未知函数的导数或微分必须出现.

⑵一般情况下，如果微分方程是一阶的，其初始条件是0

0x x y y ==；如果是二阶的，其初始条件是00x x y y ==，0

0x x y y =''=，其中0,0,0x y y '都是给定的值。 例3：验证函数2312x x y C e C e =+（12,C C 是任意常数）是方程 560y y y '''-+=

的通解，并求满足初始条件y |x=0=1, y '|x=0= 2

1的特解。 解： 231223x x y C e C e '=+， 231249x x y C e C e ''=+

将两式代入方程有

()()()

2323231212124952360x x x x x x C e C e C e C e C e C e +-+++= 且12,C C 是两个独立的任意常数。

∴函数2312x x y C e C e =+是方程的通解。 把初始条件y |x=0=1, y '|x=0= 2

1代入2312x x y C e C e =+及231223x x y C e C e '=+，得 121211232

C C C C +=⎧⎪⎨+=⎪⎩。