运筹学对偶理论

max z c1x1 c2 x2
s.t.2111xx11
12 22
x2 x2
b1 b2
x1 0, x2 0
令 x2 ' x2 0
max z c1 x1 c2 x2 '
s.t.2111xx11
12 22
x x
' 2
' 2
b1 b2
x1
,
x
' 2
0
min w b1 y1 b2 y2
产品1
2 y1 + y2 + 3y3≥2 产品2
y1 , y2 , y3 ≥0
3.1.2 规范形式线性规划的对偶问题
原问题（LP1）
对偶问题（LP2）
max z CX
min w b'Y
AX b
s.t.
X
0
A'Y C'
s.t.
Y
0
原问题（LP1） 目标max型 有n个变量（非负） 有m个约束 （小于等于） 价值系数 资源系数 技术系数矩阵
b1 b2
x1 0, x2无约束
min w b1 y1 b2 y2
s.t.1121yy11
21y 22 y
2 2
c1 c2
y1, y2 0
解:令
2 约束方程不是“≤”的情况
max z c1x1 c2 x2
s.t.2111xx11
12 22
x2 x2
b1 b2
x1 0, x2 0
3.1.3 非规范形式线性规划的对偶问题
max z c1 x1 c2 x2
min w b1 y1 b2 y2
s.t.2111xx11
12 22
x x
2 2
b1 b2
x1 , x2 0
s.t.1121yy11
21y 22 y
2 2
c1 c2
y1 , y2 0
1 变量取值范围不符合非负要求的情况
11y1 21y2 12 y1 22 y2
c1 c2
y1 0, y2无约束
令
得到原
问题的对偶问题为：
3.1.4 总结
方程对变量，变量对方程；
正常对正常，不正常对不正常；
变量正常是非负，方程正常看目标(max ≤ ，min ≥)。
• 例 求解下面线性规划的对偶规划
min z=3x1+2x2-6x3+x5 2x1+ x2- 4x3+x4+3x5≥7 x1+ 2x3 -x4 ≤ 4 -x1+3x2 -x4+ x5 = -2 x1,x2,x3≥0; x4≤ 0;x5无约束
对偶问题 （LP2） 目标min型 有n个约束（大于பைடு நூலகம்于） 有m个变量（非负） 资源系数 价值系数 技术系数矩阵的转置
max z CX
AX b
s.t.
X
0
(3.1)
矩阵转置
min w b 'Y
s.t.
A'Y C Y 0
'
(3.2)
y1
y2
Y
yn
(A±B)'=A'±B' (AB)'= B'A' (A')'=A
4x1+3x2 ≤9
+x5 = 9
xx11,x,x22≥,x03 ,x4 , x5≥0
对偶变量
y1 y2 y3
LP2: min w = 5y1+4y2+9y3
yy11++ 2yy22++44yy33–≥3y4 = 3 st. 2yy11++ yy22++33yy33≥2 – y5 = 2
y1 ,yy12, ,yy23, ≥y03 , y4 , y5 ≥0
15/2
0
1
3/2
0
0
原问题松弛变量
x3
x4
x5
对偶问题剩余变量
y4
y5
b
-1/4
1/4 1/2
1/2
-3/2 1/2
3/2
1 13/2
原问题变量
x1
x2
3
2
0
CB XB
x1
x2
x3
0
x3
1
2
1
0
x4 [2]
1
0
0
x5
4
3
0
3
2
0
0
s.t.1121yy11
21y2 22 y2
c1 c2
y1, y2 0
min w b1 y1 b2 y2
将其约束方程第二行 左右同乘-1：
s.t.
11y1 12 y1
21y 22 y
2 2
y1, y2 0
c1 c2
max z c1x1 c2 x2
s.t.
11x1 12x2 21x1 22x2
min w 5 y1 9 y2 4 y3
y1 3y2 2 y3 2
s.t.2
y1 3 y1
y
2 2y
2y 2
3 1 4 y3
3
y1
y1
y2 0,
y2
y3
0,
5
y
无约束
3
LP1: max z=3x1+2x2
xx11++22xx2 2≤+5x3
=5
st.
2x1+ x2 ≤4 +x4 = 4
max ω=7y1+4y2-2y3
2y1+ y2 - y3≤ 3
y1
+3y3≤ 2
-4y1+ 2y2 ≤ -6
y1 - y2 - y3 ≥ 0
3y1 + y3 = 1
y1≥0, y2≤0, y3无约束
max z 2x1 x2 3x3 5x4 x1 2x2 3x3 x4 5
s.t. 3x1 x2 2x3 x4 9 2x1 2x2 4x3 x4 4 x1 0, x2 0, x3无约束，x4 0
对偶变量 x1 x2
原问题变量
原问题松弛变量
CB
XB
x1
x2
x3
x4
x5
b
0
x3
0
3
x1
1
2
x2
0
0
1
5/2
-3/2
3/2
0
0
3/2
-1/2
3/2
1
0
-2
1
1
-σj
0
0
0
1/2
1/2
13/2
对偶问题剩余变量
对偶问题变量
y4
y5
y1
y2
y3
CB
XB
4
y2
9
y3
σj
对偶问题变量
y1
y2
y3
-5/4
1
0
第3章 线性规划对偶理论 及其应用
3.1 线性规划的对偶问题 例1 穗羊公司的例子
I
A（千克）
1
B（吨）
2
C（百工时）
4
单位产品利润（万元） 3
II 每周可使用量
2
5
1
4
3
9
2
穗家公司由于订单较多，希望收购穗羊公司的各种 资源以扩大自己的生产能力，那么穗羊公司的资源 该如何定价呢？
产品1 产品2
生产计划问题（LP1）max z 3x1 2x2
x1 2x2 5 原料A
s.t.42
x1 x1
x2 4 3x2 9
原料B 工时C
Y1 Y2 Y3
x1 , x2 0
方程对变量，变量对方程 原料A 原料B 工时C
资源定价问题（LP2）min w = 5y1+4y2+9y3
y1+ 2 y2 + 4y3≥3
解：约束方程第二 行左右同乘－1：
其对偶规划为：
令
得到原
问题的对偶问题为：
max z c1x1 c2 x2
s.t.2111xx11
12x2 22 x2
b1 b2
x1 0, x2 0
解:约束方程第二行的等 式拆为两个不等式:
其对偶规划为：
min w b1 y1 b2 y2
s.t.