第五章多体问题和近似方法

( m1 m1 m2
)
2
2 e
2
2m1 m1 m2
e
2 2
(
m2 m1 m2
)2
2 e
2
2m2 m1 m2
e
（4） （5）
（4）和（5）式代入（1）有
2 [
2
( 12 m1
2 2
)]
m2
V (r2 r1)
E
2 2
[( m1
1 m2
)
2 e
(1 m1
1 m2
)2 ]
V (r2 r1)
H Pij HPij1
（对易）
三 全同粒子体系波函数的特点
1、 和 Pjk 都是体系的可能状态
i
H
t
用 Pjk 作用二边
i t
(Pjk )
Pjk H
H (Pjk )
（为什么？）
结论得证。
Pjk
2、全同性原理：
全同粒子体系粒子的任意两粒子的互换对换不改变体系的状态。
即：
和 Pjk 表示同一态。
第四章
多体问题与近似方法
$4-1 二体问题和多体问题
一、二体问题 1、什么是二体问题：
研究的体系含二个粒子。
2、两粒子体系的定态薛定谔方程为
(
2 2m1
12
2 2m2
22 )
V (r2 r1)
E
（1）
3、质心坐标和相对坐标。 (坐标系略)
设：第一个粒子的质量为m1，坐标为 r1 (x1 , y1 , z1 )
平动 （10）
[ 2 2 V (r)] E i i (r) 2
二 多体问题
（11） 相对运动
1、什么是多体？两个以上质点的体系。数学上无准确解。
2、多体体系的波函数。
(q1, q2 , , qn , t)
3、| (q1, q2 , , qn , t) |2 的意义：
在时刻t，第一个粒子在q1，第一个粒子在q2，…， 第n个粒子在qn的几率。
（2）
引入相对坐标 r (x, y, z)
定义： r r2 r1
所以分量
x x2 x1
y y2 y1
z z2 z1
（3）
其中 转换坐标
1
x1
i
y1
j
z1
k
2
x2
i
y2
j
z 2
k
r r r 1 和 r2 到
和e
（从（2）和（3）出发）
xe x m1 x1 xe x1 x x1 m1 m2 xe x
二 全同粒子体系哈密顿算符的特点
P 1、交换算符（
）
ij
Pij f ( , qi , , q j , ) f ( , q j , , qi , )
Pij1
Pji
H 2、全同粒子体系的哈密顿算符 在 Pij 的作用下不变
(全同粒子体系的哈密顿算符对于任何一对粒子的坐标互换是不变的)
3、H 和 Pij 之间的数学关系
六、Slater 行列式
在单电子模型下，N个电子的波函数用一个行列式表示。
A (q1, q2 ,...qN )
1 (q1 ) 1 (q2 )
1 2 (q1 ) 2 (q2 )
N!
N (qN ) N (q2 )
1(qN ) 2 (qN )
N (qN )
Байду номын сангаас
A (q1, q2 ,...qN )
四、对称波函数和反对称波函数
因为
Pjk
那么： 取值如何？
用
Pjk
作用（1）式两边
Pjk Pjk Pjk 2
（1） （2）
Pjk
Pjk
1
1
对称波函数 反对称波函数
五 Pauli 原理
微观粒子： 玻色子 自旋量子数为整数 费米子 自旋量子数为半整数
对称波函数 反对称波函数
4、多体体系的薛定谔方程
[
i
2 2mi
2 i
Vij ]
i j
E
5、 由于数学上无法对多体体系的薛定谔方程进行求， 必须引出用近似方法进行解决问题。（在下一节将作详细介绍）
$4-2 全同性原理
一 全同粒子和全同粒子体系
1、全同粒子：质量、电荷、自旋等一切固有性质都相同的粒子。
2、全同粒子体系：多个全同粒子构成的体系。
Pij H ( , qi , , q j , ) ( , qi , , q j , )
H ( , q j , , qi , ) ( , q j , , qi , )
H ( , qi , , q j , )Pij ( , qi , , q j , )
Pij H HPij
H
P 1 ij
HPij
1
2
dx1 dx2 { 1*
(
x1
)
* 2
(
x2
)h(1)1
( x1
)
2
(x2
)
* 2
( x1
)
* 1
(x2
)h(1)
2
( x1
)1
(
x2
)
1*
(
x1
)
同理且对称。
ye y m1 y1 ye y1 y y1 m1 m2 ye y
ze z m1 z1 ze z1 z z1 m1 m2 ze z
1
m1 m1 m2
e
同理有
2
m1 m1 m2
e
12
11
[ m1 m1 m2
e
][ m1 m1 m2
e
]
E
[ 2 2
1 M
2 e
21 2 ] 2
V (r)
E
（6） （7）
方程（7）可以用变量分离求解
e (re ) i (r)
(8)
1
(8) 代入（7）并乘以
2
2M
e
e2
e (re )
1 i (r)
[
2
2
2
V (r)]
E
Ee
Ei
（9）
从（9）式即得：
2 2M
e2
e (re )
E e
e (re )
第二个粒子的质量为m2，坐标为 r2 (x2 , y2 , z2 )
质心坐标为：
re (xe , ye , ze )
根据质心坐标定义： re (m1 m2 ) r1m1 r2m2
分量表示为
xe (m1 m2 ) x1m1 x2m2
ye (m1 m2 ) y1m1 y2m2
ze (m1 m2 ) z1m1 z2m2
1 N!
P
(1) p P1 (q1 )1 (q1 ) 2 (q2 ) N (qN )
七、有关slater 行列式的计算。 （一）H2的矩阵元计算。
1、Hamiltonian
Hˆ
(
1 2
12
A
ZA r1A
)
(
1 2
2 2
A
ZA) 1 r2 A r12
h(1) h(2) 1 r12
O1 O2
2、计算能量。
E0 0 | H | 0 0 | h(1) | 0 0 | h(2) | 0 0 | O2 | 0
可分别计算：
0 | h(1) | 0 dx1dx2[21/ 2 (1 (x1 ) 2 (x2 ) 2 (x1 )1 (x2 ))]*
h(1)[21/ 2 (1 (x1 ) 2 (x2 ) 2 (x1 )1 (x2 ))]