连续优化建模

第12章 连续优化建模

引言

在第7章，我们已经学习过线性规划模型

Optimize f (X)

满足不等式约束

i i g b >=⎧⎫

⎨⎬<=⎩⎭

i ∈I (12.1) 对线性规划模型来说，只有一个目标函数f ,并且它是决策变量（矢量X 的分量）的线性函数，约束函数i g 也必须是线性的。如果决策变量被限制为整数值,

这个问题就是一个整数规划。

在这一章,我们考虑目标函数f 连续但在非线性情况下的优化问题。此外,约束函数i g 可以是非线性的,且它们是等式约束 ()i i g X b = i ∈I

我们将注意力限定X 只有不超过两个分量的问题，这是在微积分学过的优化模型。

在第12.1节，我们介绍了一类特殊的问题,这些问题只利用基本的微积分就可以解决。在本节的例子中,我们建立了确定最优库存策略的模型。这一问题关心的是如何确定订货的数量和频率，使总的库存持货成本最小。由于各种子模型的限制条件是很重要的,所以我们也考察最优解对假设条件的敏感性。(在 7.4节建立了一个假设条件较弱的仿真模型) 。12.1节强调的是模型的解法和模型的敏感性。

在12.2节，我们研究多变量函数，通过两种方法找到最优解:一种是常规的多变量微积分方法(解决偏导数等于零的方程组)；另一种是用数值近似技术—梯度搜索算法。

在12.3节,我们研究具有等式约束的优化问题。在例子里，我们建立了利用有限容量储存设备进行石油运转的模型。12.3节强调的是这类优化问题的模型的解法和模型敏感性。我们将介绍分析这样的问题的拉格朗日乘子法。

在12.4节,我们介绍如何利用图形进行优化。介绍的例子是渔业管理问题，讨论自由市场是否会引导渔业主、客户和生态学家获得满意解，以及是否某些类型的政府干预是必要的。例子中利用图形进行分析，为某些类型的解决模型提供了一种定性的分析方法，这些解析模型在第10章和第11章中是用微分方程方法建立的。

本章的最后的研究课题中，可以对本章讨论过的优化问题做进一步的详细研究。例如,如果学生愿意，可以利用研究课题中的UMAP教学单元，研究Lagrange 乘子方法和变分发的基本思想。

12.1存货成本最小化的问题:送货和储存

案例A某连锁的加油站聘请我们为咨询员,希望确定向每个加油站多长时

间送一次货和每次送多少汽油。经过询问,我们知道每一次送货时，加油站花费d美元,这不包括汽油的本身成本,并与送货的数量也没有关系。

汽油储存同时也有成本。这类费用中的一种费用是库存占用的资金导致的费用,钱投资在储存的汽油上就不能用于其他地方了。这种费用通常的计算方法是：将汽油公司投入到储存的汽油上的成本乘以汽油储存的当前利率得到。其他与储存相关的费用包括储存汽油的油罐和设备的折旧摊销、保险、税收、和安全措施费用等。

加油站位于州际高速公路附近,那里每周的汽油需求几乎是常数。记录可以得到每个加油站每天出售的汽油数量（加仑）。

识别问题假设公司希望最大化其利润，并且汽油的需求和价格在短期内

都是常数。那么,因为总收益是常数，通过最小化总成本利润就能实现最大化。总成本有许多不同的组成部分 ,如管理成本和员工报酬等。如果送货的数量和送货的时间对这些成本有影响,那么就应该考虑它们。我们假设这些成本不受它们的影响,集中考虑以下问题: 每个加油站在保证持有足够的汽油满足消费者的需求的前提下，使每天平均的送货和库存持货成本最小。从直观上来看,这样的成本存在最小值。如果送货所需费用很高,持货成本很低,我们就希望不要频繁的送货，每次送货量大一些。反之,如果送货费用很低,并且持货成本很高,我们就希望频繁的送货，每次送货量小些。

假设下面我们考虑哪些因素对于决定维持多大的库存是重要的。明显需要考虑的因素是送货成本、仓储成本和产品的需求率。储存产品的变质问题也是一

个值得考虑的重点。在汽油的案例中,当容器中的汽油量越来越少时，浓缩效应将变得越明显。同时,还可以考虑产品的售价和原材料成本市场上的稳定性。例如,如果产品的市场价格很不稳定,销售方就不愿意存储大量的产品。另一方面,预计原材料的价格在不久的将来会有大幅的增长，则应该大规模储存原料。另一值得考虑的因素是顾客对产品的需求量的稳定性。产品的需求量会发生季节性的波动，技术上的突破也可能使产品滞销。计划的时间跨度也是极为重要的。在短期内，可能已经与其他公司签订了租用储存空间的协议，而长期来看其中的一部分可能是不必要的。另一个需要考虑的因素是，偶尔发生的不能满足需求（缺货）的事件的重要性有多大。有些公司会选择高成本的库存策略，保证从不缺货。从以上讨论可以看出，库存决策不是一件容易的事情，也不难构建前面谈到的某个因素会导致某种特殊的储存策略的情景。这里我们将初始的模型限制为只考虑以下变量：

平均每日成本=f(存储成本、运输成本、需求率)

子模型

储存费用我们需要去考虑单位库存成本是如何随储存产品的数量大小而

变化的。我们是否可以租赁其他公司的仓库，当储存数量达到一定的水平后可以获得折扣吗?还是先租用最便宜的仓库(有需要时增加更多的空间),如图12-1b

所示?我们是否需要租用整座仓库或楼层吗?如果是这样,单位产品的存储费用似乎会随着储存数量的增加而减少，直到需要租用另仓库或楼层，如图12-1c所示。公司是否拥有自己的仓储设施?如果是，这些设备还有什么其他用途?在我们的模型中，我们认为单位产品的储存费用是常数。

送货费用在很多情况下所需费用与送货数量是有关的。例如,如果需要一

个更大的卡车或额外增加货车，就还有一个额外的费用。在我们的模型中，我们假设送货费用是常数，与送货量无关。

需求对某一特定的加油站，如果我们绘制出它对汽油日常需求量图,我们

将很有可能得到图一张类似如图12-2a的图。如果我们绘制出一定时期内(例如,1年)内不同的需求量发生的频率,我们可能会得到一张如图12-2b所示的图。如果这些需求量很紧凑地分布在频率最大的需求量周围，那么我们可以认为需求量是常数（假设这就是我们在这里的模型中要考虑的情形）。最后,虽然我们知道需求是发生在离散时间段上，为了简单起见,我们认为需求是发生在连续的时间段上。这种连续需求的模型如图12-2c所示,其中的斜率代表常数需求率。请注意，我们假设需求模型是线性的，这一点很重要。此外,如图12-2b所示,约有半数时间的需求超过其平均值。当我们考虑不能满足的可能性时，我们将在实施阶段考察这一假设的重要性。