斐波那契数列通项公式的推导方法

…………
猜想： a n = 3n13n2 2 3n3 2 ... 3 2 2
2 1 3n1
=3n1 1 3
= 2
n1
3
1
n
2
上式当 n=1
时也成立，
a 整理ppt
n =2
n1
3
1
n N
(证略)
15
问题二的解答
思路： bn = an +1=（2 an1 +1）+1=2（an1 +1）=2b n 1 ， 构造法
a （2）求数列{ n }的通项公式。
整理ppt
13
问题一的解答
思路一：
a 2 =3×1+2=5，
a 3 =3×5+2=17，
a 4 =3×17+2=53，
…无法继续下去。
整理ppt
14
思路二： a 2 =3×1+2=3+2，
a3 =3×（3+2）+2= 32 3 2 2 ，
a 4 =3×（ 32 3 2 2 ）+2=33 32 2 3 2 2 ，
二、设计问题，发现公式 的推导方法
整理ppt
12
a 问题一 已知数列{
n
}满足
a1 1
an
3an12(n2)
求数列{ a n }的通项公式。
问题二
a 已知数列{
a1 1
n
}满足 an
2an11(n2)
a 数列{ b n }满足：b n = n + 1；
（1）求证：数列{ b n }为等比数列；
5
时，同理可得：
5 an)
q
1 2
5
1 5
设 b n = a n1
2
a n ………(2)，
1 a n1 2
5
1 a n = 2
5 n ………(5)
则 b n1
= an2
1 2
构造法 5
这是等差数列的性质，
故{ an }是等差数列，
其中公差 d=3-1=2，
an = a1 +(n-1整)d理=pp2tn-1
20
三、斐波那契数列通项 公式的推导方法
整理ppt
21
设 an2 pan1 q(an1 pan) ………(1)，
其中
b1 =
a2
1 2
5
1 a1 = 2
5
，
其中 p、q 满足
数学家泽林斯基在一次国际数学会议上提出 树木生长的问题：如果一棵树苗在一年以后 长出一条新技，然后休息一年．再在下一年 又长出一条新枝，并且每一条树枝都按照这 个规律长出新枝．那么第1年它只有主干1枝， 第2年有2枝，第3年有3枝，第4年有5枝，第5 年有8枝等等. 每年的分枝数顺次组成的数列 符合斐波那契数列（除第一项外）
利用转化思想
求斐波那契数列的通项公式
象山县第三中学 谢刚伟
整理ppt
1
一、与斐波那契有关的事实
整理ppt
2
1、斐波那契和“兔子问题”
整理ppt
3
意大利数学家(约1170约1250年)，12、13世 纪欧洲数学界的代表人 物，生于比萨。他的书 保存下来的共有5种。 最重要的是《算盘书》 （1202年完成，1228年 修订），其中最耐人寻味 的是，这本书出现了中国 《孙子算经》中的不定方 程解法。另一个「兔子问 题」也引起了后人的极大 兴趣 。这数列与后来的 整理「ppt 优选法」有密切关系。 4
「兔子问题」： 假定一对大兔子每 一个月可以生一对小兔子，而小兔 子出生后两个月就有生殖能力．问 从一对大兔子开始，一年后能繁殖 成多少对兔子？
这就产生了斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34…
整理ppt
5
2、介绍斐波那契数列的应用 和植物生长的有趣现象
整理ppt
6
它是一种特殊的线性递归数列，在数学的许 多分支中有广泛应用。
植物生长的螺旋现象等
整理ppt
7
3、概括斐波那契数列的 特征，写出递推关系
整理ppt
8
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
其规律是从第三项起，每一项都是前 两项的和．用递推公式表达就是：
a a
1
1
2
a a a
n2
n1
n
整理ppt
9
4、斐波那契数列 通项公式的发现与证明
q
pq
p 1
1
，
待定系数法
公比
1
q=
5
2
解得 p
1 2
5
或
p
1 2
5
q
1 2
5
q
1 2
5
①
当 p
1 2
5 时，
q
1 2
5
an2
1 2
5
a n1
1
2
5
(a n1
1 2
bn
= b1
q
n
1
=
1
2
5
n
即：
a n1
1 2
5
an
=
1
2
5
n
………(4)
②当 p
1 2
bn1 =3 bn { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +2=3,q=3，
bn =3n an =3n -2n
整理ppt
19
a1 1
问题三
：已知数列{
a
n
}满足
a
2
3
an 2an1 an2(n 3)
思路一：用计算、猜想、证明的方法(略)
,求an 。
思路二：对递推式变形得：
an an1 an1 an2
即 bn =2 bn1 数列{ bn }为等比数列， 其中b1 = a1 +1=2,q=2 bn =2 2n1 = 2n an 2n 1
整理ppt
16
问题一思路三：设 bn = a n +1，则bn1 = an1 +1， bn =3bn1 { bn }为等比数列，其中b1 =a1 +1=2,q=3， bn =2 3n1 = 2 3n1 an = 2 3n1 －1
n
，
{
bn
}为等比数列，最后求得
bn
=（a+
c
d
1
）
c
n
1
，
a
n
=（a+
c
d
1
）
c
n1
－
c
d
1
整理ppt
18
练习：数列{an
}满足
a1 a n 1
1
3an
2n
，求数列{a
n
}的通项公式。
解：设 an1 x • 2n1 3(a n x • 2n) ，易得 x=1，
再设 bn = an 2n ，则 bn1 = an1 2n1 ，
整理ppt
10
1680年意大利──法国学者卡西尼发现该数列的某个 重要关系式。
a a a (1) 2
n
n1 n1
n
1730年法国数学家棣莫弗给出其通项表达式
a n
15125n125n
19世纪初另一位法国数学家比内首先证明这一表 达式，现在称为之为比内公式。1963年美国还创 刊《斐波那契季刊》来专整理门pp研t 究斐波那契数列。 11
整理ppt
17
概括出这类数列的一般特征和解法： 概括出这类数列的一般特征和解法
a1 a
数列{ an
}特征： an
can1
d (c
0且 c
1, d
0)
解法：设 an +
x
=c
(an1 +
x)，则
c
x－x =
d，
d
x=
c 1
；
令
bn
=
a
n
+
c
d
1
，则
bn
1
=
a
n
1
+
c
d
wk.baidu.com
1
，代入得
bn
=c
a