第4章多分辨率分析与正交小波变换(1)

小波变换及其应用
教师 王学伟 教师：王学伟
2014年3月13日
《北京化工大学》信息学院王学伟
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本章内容简介 ● 主要内容
4.1 几种正交小波基 4.2 多分辨率分析 4.3 二尺度方程及多分辨率滤波器组
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4.1 ●几种正交小波基 离散小波框架信息量是冗余的。我们希望减少 冗余度 冗余度，直至得到一组正交基，该正交基我们称之 得到 交基 该 交基我们称之 为正交小波基。 在离散框架的基础上 我们取定 a0 = 2, 在离散框架的基础上，我们取定 2 Δτ = 1。
ψ m,n = 2 ψ ( 2 t − n) ,
− −m
m 2
m, n ∈ Z
ψ m,n 能否构成正交基，如何构造母函数 ψ ( t )，数
学上的方法就是多分辨率分析的方法 学上的方法就是多分辨率分析的方法。
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4.1 ●几种正交小波基 (1)Haar小波 数学家A.Haar A Haar 1910年提出Haar系 1 ⎧ 1 0 ≤ t < ⎪ 母函数 2
h (t )
m − 2
hm ,n ( t ) = 2
h ( 2− m t − n )
⎪ ⎪ = ⎨−1 ⎪ ⎪0 ⎪ ⎩
1 < t ≤ 1 2 其 它
作业1 画出 作业1：画出 m = 2,3时hm ,n ( t )
m, n ∈ Z
h ( t ) 的时域图形和频域图形：
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4.1 ●几种正交小波基
作业2：『同 ：『同一尺度 尺度
m上 {h ( t )} 中任意两个函
m,n n∈z
数支集不相交，所以同一尺度的基函数相互正交 ；在不同尺度m与 l 间的基函数也是正交的；求 母函数的付氏变换表达式 』 母函数的付氏变换表达式。』 『重要结论：在不同尺度间的基函数也是正交的
2 L h ，并且 m ,n 构成 ( R ) 上的完备标准正交基。Haar
小波在频域随 ω 的衰减速度仅为 ω ，频域局部性 频域局部性 差。』
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4.1 ●几种正交小波基 (2) Littlewood-Paley小波基(shanon小波)
1 4.3 ψ ( t ) = ( sin 2π t − sin π t ) πt ⎧1 π ≤ ω ≤ 2π 其傅里叶变换为 Ψ (ω ) = ⎨
其他 ⎩0 可以证明式(4.3) ψ ( t ) 按式4.1进行平移伸缩得到的{ψ m,n ( t )}m ,n∈Z 2 L 是 ( R ) 的一个完备正交基，称之为Littlewood-Paley正交小 证明Littlewood-Paley Li l d P l 小波的正交性 波基 作业3：证明 波基。 1 频域具有较好的局域性，时域衰减速度太慢仅为 t 。
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4.1 ●几种正交小波基 (3) Meyer小波 Haar与Littlewood小波正则性较差，即时域 或频域衰减速度太慢 局部性能不好 有没有时 或频域衰减速度太慢，局部性能不好。有没有时 域,频域都具有好的局部性的小波基，1985年 Y Meyer构造出称为Meyer的小波。 Y.Meyer 的小波 Meyer小波由它的频域形式来构造。
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Ψ (ω ) = ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩
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ω 1 ⎡π ⎛ 3 ⎞⎤ i 2 sin ⎢ v ⎜ ω − 1⎟ ⎥ e 2π ⎠⎦ ⎣ 2 ⎝ 2π ω 1 ⎡π ⎛ 3 ⎞⎤ i 2 cos ⎢ v ⎜ ω − 1⎟ ⎥ e 2π ⎠⎦ ⎣ 2 ⎝ 2π 0
2π 4π ≤ω ≤ 3 3 4π 8π ≤ω ≤ 3 3 其它
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4.1 ●几种正交小波基 其中 v ( x ) 为 为一任意阶连续可导的函数 任意阶连续可导的函数, 满足
x≤0 ⎧0 ⎪ v ( x ) = ⎨v ( x ) + v (1 − x ) = 1; 0 ≤ x ≤ 1 ⎪1 ⎧ x ≥1 ⎩ 4.6 46
0 x≤0 0 < x < 1 4.7 47 x ≥1
若取 v ( x ) 一阶连续可导
则 v ( x ) 与 Ψ (ω ) 的波形如图4.3 4 3所示：
⎪ π ⎪ v ( x ) = ⎨sin 2 x 2 ⎪ ⎪ ⎩ 1
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4.1 ●几种正交小波基 若 v ( x ) 四阶连续可导： 四阶连续可导 v ( x ) = x 4 35 − 84 x + 80 x 2 − 20 x3 ,
相应的Meyer小波的 ψ ( t ) 及 Ψ (ω ) 的波形如图4.4
(
)
0 < x <1
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4.1 ●几种正交小波基 用 k 表示 v ( x ) 的连续可导阶数， 的连续可导阶数 Meyer小波的时 域衰减速度为
ψ ( x ) ≤ Ck 1 + x
(
2
)
−k
式中，Ck 为一常数，提高 k 值，可改进Meyer y 小 波的时域局部性，得到时频域都具有较好局部 性的小波。 其它正交小波：Strombery； Battle-lemarie
作业4：证明Meyer小波的正交性；从频域证明。
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