常见的几个函数不等式和应用

常见的几个函数不等式及其应用

武汉市教育科学研究院 孔峰

在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.

一、函数不等式的介绍

（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x x

x

①

证明：令x x x f -+=)1ln()(，则x

x

x x f +-=

-+='1111)(. 当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f . 所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ， 所以)1()1ln(->≤+x x x .

令x x

x x g +-+=1)1ln()(，则2

2)1()1()1(11)(x x x x x x x g +=

+-+-+='. 当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，

)1)(1ln(1->+≤+∴x x x

x . 综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x x

x

.

变式：)0(1ln >-≤x x x ， ②

)0(11

ln >≥+x x x . ③

（2）)1)(1

(21ln ≥-≤x x x x ④

)10)(1

(21ln ≤<-≥x x

x x ⑤

证明：令)1

(21ln )(x x x x f --=，则02)1()11(211)(22≤--=+-='x x x

x x f .

所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.

所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤

变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x x

x ⑥

（3）)1(1)

1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦

)10(1

)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧

证明：令1)

1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(2

2≥+-=

'x x x x f . 所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.

当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤

（4）)10(2

1

1)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨

证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=

，则2

21

)1(ln )1(1)(x x x x f +

++-='， 而)

1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(2

22222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-

+='， 由⑥式)0(1

)1ln(≥+≤+x x x

x 知，0)(<'x f ，

所以)(x f 在10≤

ln 1

)1()(-=≥f x f .

由⑦式)1(1

)

1(2ln ≥+-≥x x x x 知

211)1ln(1<-+x x . 综上可知，不等式⑨成立.

（5）)0(1

)

211()1ln(≥++≤

+x x x x x ⑩ 证明：令1)

211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(2

2≤+-=

'x x x f . 故0)0()(=≤f x f . 所以，不等式⑩成立.

变式：)0)(1

1

1(21)11ln(>++≤+x x x x ⑪

利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式： （6）贝努尼不等式：当1->x 时， )0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ， ⑫ )10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬

（7）)0(2

1)1ln(2

≥-

≥+x x x x ⑭

二、常见的函数不等的作用

利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。

（1）求函数的单调区间或研究函数的单调性，求函数的极值或最值

例1 （2008年湖南卷，理21）已知函数x

x x x f +-+=1)1(ln )(22

.

（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；

（Ⅱ）若不等式e )1

1(≤++αn n

对任意的*∈N n 都成立，求α的最大值.

解：（Ⅰ）对)(x f 求导数，得

2

2

)1()1(211)1ln(2)(x x x x x x x f +-+-+⋅+='

)]111(21)1[ln(12x

x x x +-+-++=

. 由不等式④)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ，⑤)10)(1

(21ln ≤<-≥x x

x x 可知：

当0≥x 时，11≥+x ，有)11

1(21)1ln(x

x x +-+≤+，0)(≤'x f ；

当01≤<-x 时，110≤+

1(21)1ln(x x x +-+≥+，0)(≥'x f .