最短路径问题的算法分析及建模案例

最短路径问题的算法分析及建模案例

一.摘要2

二.网络最短路径问题的基础知识3

2.1有向图5

2.2连通性错误!未定义书签。

2.3割集错误!未定义书签。

2.4最短路问题6

三．最短路径的算法研究错误!未定义书签。

3.1最短路问题的提出6

3.2 Bellman最短路方程错误!未定义书签。

3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误!未定义书签。

3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误!未定义书签。

3.5实例错误!未定义书签。

3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误!未定义书签。

3.7 Dijkstra算法的基本思想6

3.8 Dijkstra算法的理论依据6

3.9 Dijkstra算法的计算步骤6

3.10 Dijstre算法的建模应用举例7

3.11 两种算法的分析错误!未定义书签。

1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法思想有很大的区别错误!未定义书签。

Bellman-Ford算法在求解过程中，每次循环都要修改所有顶点的权值，也就是说

源点到各顶点最短路径长度一直要到Bellman-Ford算法结束才确定下来。错误!

未定义书签。

2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法的限制错误!未定义书签。

3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误!未定义书签。

4.Bellman-Ford算法的改进错误!未定义书签。

摘要

近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的一个典型例子。

由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究，使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题的建模问题中。

关键词：计算机图论交通道路网最短路径

A. In this paper,

Computer developing rapidly in recent years, graph theory research also have been greatly developed, and the shortest path problem is a typical problem in graph theory, it has been applied in geographical information science, computer science, and many other fields. And in the transportation network of the shortest route between two cities in is a typical example of the shortest path problem.

Due to the shortest path problem is widely used in various aspects, and the researchers on the in-depth study of the shortest path, make in the shortest path problem also generates a lot of classical algorithm. In this topic I'll suggest some algorithm and the algorithm of the shortest path problem between the comparison, finally the algorithm is applied to the modeling of the actual problem again.

Key words: computer graph traffic road network The shortest path

前言

最短路径问题是图论以及运筹学中的一个非常重要的问题，在生产实践，运输及工程建筑等方面有着十分广泛的应用。本文对图论中的最短路径问题进行分析，对其运算解法进行分析寻求比较快捷的模型解法；主要解决的是从某个顶点到其余各个顶点的最短路径问题。本文从Floyd算法以及Dijkstra算法两种算法入手，概述了这两种方法的原理，提出了求解最短路径问题的算法思想，并且对两种算法进行分析比较，提出改进的方法。

一 网络最短路径问题的基础知识

图1

1.1 图

图G 是一个（无向）图，其中有序二元组（V,E ），V=｛1v ，2v ,...n v ｝是顶点集，E=｛ij e ｝是集，ij e 是一个无序二元组{i v ，j v }它表示该边连接的是顶点i v ，

j v 。图1就是一个图。

注释：图形的大小，位置，形状是无关紧要的。

若ij e ={i v ,j v }则称ij e 连接i v 和j v ；点i v 和j v 称为ij e 的顶点，i v 和j v 是邻接的顶点；如果两条边有公共的一个顶点，则称这两边是邻接的。 1.2 无环图

定义：没有环的图称之为无环图。 1.3 简单图

定义：没有环且没有重边的图称之为简单图。

设G=（V,E ）是一个简单图，则有|E|不大于|V|（|V|-1）/2 1.4 完全图 定义：若上式的等号成立那么该图中每对顶点恰好有一条边相连，则称该图为完全图。

1.5 有向图

定义：一个有向图G 是一个有序二元组（V,A ），V=｛1v ，2v ，...,n v ｝是顶点集，A=｛ij a ｝称为G 的弧集，ij a 为有序二元组。

称ij a 为i v 连向j v 的弧，ij a 为i v 的出弧，j v 的入弧；i v 称为ij a 的得尾，j v 称为a ij 的头；i v 称为j v 的前继，j v 称为i v 的后继。图2就是一个有向图。

图2 1.6 环

定义：头尾重合的弧称为环。 1.7 简单有向图

定义：没有环和重弧的有向图称为简单有向图。 1.8 完全有向图

定义：设G=（V,E ）是一个简单有向图，则|A|不大于|V|（|V|-1），若等号成立则称这样的图为完全有向图。 1.9 途径，迹，路

定义：设图G=（V,E ），若它的某些顶点与边可以排成一个非空的有限交错序列（0v ，1e ，1v ,...k e ,k v ）,这里该途径中边互不相同，则称为迹；如果顶点互不相同，则称之为路。显然路必为迹，但反之不一定成立。 1.10 连通图

定义：图G 中如果存在一条从顶点i v 到j v 的途径，则称i v 和j v 是连通的。如果图G 中任何两个顶点都是连通的，则称G 是连通图。 1.11 有向途径