数项级的敛散性判别法

第六讲 数项级数的敛散性判别法
§1 柯西判别法及其推广
比较原理适用于正项级数，高等数学中讲过正项级数的比较原理： 比较原理I ：设
1
n n u ∞=∑，1
n
n v
∞
=∑都是正项级数，存在0c >，使
（i ） 若
1
n
n v
∞
=∑收敛，则
1
n
n u
∞
=∑也收敛；（ii ） 若
1
n
n u
∞
=∑发散，则
1
n
n v
∞
=∑也发散．
比较原理II （极限形式）设
1
n n u ∞
=∑，1
n
n v
∞
=∑均为正项级数，若
则
1
n n u ∞
=∑、1
n
n v
∞
=∑同敛散．
根据比较原理，可以利用已知其敛散性的级数作为比较对象来判别其它
级数的敛散性．柯西判别法和达朗贝尔判别法是以几何级数作为比较对象而 得到的审敛法．下面用比较判别法推出更宽泛的柯西判别法． 定理1（柯西判别法1）设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，
（i ）若从某一项起（即存在N ，当n N >
1q ≤<（q 为常数）
， 则
1
n
n u
∞
=∑收敛；
（ii
1≥，则1
n n u ∞
=∑发散．
证（i ）若当n N >
1q ≤<，即n
n u q
≤，而级数
1
n
n q
∞
=∑收敛，
根据比较原理I 知级数
1
n
n u
∞
=∑也收敛．
（ii ）
1≥，则1n u ≥，故lim 0n n u →∞
≠，由级数收敛的必要条件知1
n
n u ∞
=∑发散．定理证毕．
定理2（柯西判别法2） 设
1
n
n u
∞
=∑
为正项级数，n r =，则：（i ）当1r <时，1
n
n u ∞
=∑
收敛；（ii ） 当1r
>（或r =+∞）时，1
n n u ∞
=∑发散；
（iii ）当1r =时，法则失效． 例1 判别下列正项级数的敛散性
23123(1)()()()357
21
n
n n +++
+++；n n
n e
∞
-∑n=1
(2)
n n x α∞
∑n=1
(3)（
α为任何实数，0x >）．
解 (1) 因为1
12
n r
==
<，所以原级数收敛．
(2) 因为lim n n n
r
e
→∞===∞，所以原级数发散．
(3) 对任意α，n r
x ==．当01x <<时收敛；当1x >时发散；当1x =时，
此时级数是p -级数，要对p α=-进行讨论，当1α->，即1α<-时收敛；当1
α-≤时，即1α
≥-时发散．
例2 判别级数
11[(1)]3
n n
n
n ∞
=+-∑的敛散性． 解 由于
不存在，故应用定理2无法判别级数的敛散性．又因为 由定理1（柯西判别法1）知原级数收敛．
例3（98考研）设正项数列{}n a 单调减少，且1(1)n
n n a ∞
=-∑发散，试问级数111n
n n a ∞
=⎛⎫ ⎪
+⎝⎭
∑是否收敛？并说明理由．
解 答案：级数111n
n n a ∞
=⎛⎫
⎪
+⎝⎭
∑收敛，证明如下：
由于{}n a 单调减少且0,n a ≥根据单调有界准则知极限lim n n a →∞
存在．设lim ,n n a a →∞
=则
0a ≥．如果0,a =则由莱布尼兹判别法知
1
(1)n
n
n a
∞
=-∑收敛，这与
1
(1)n
n
n a
∞
=-∑发散矛盾，
故0a >．再由{}n a 单调减少，故0,n a a >>取1
11
q a =
<+， 根据柯西判别法1知111n
n n a ∞
=⎛⎫
⎪
+⎝⎭
∑收敛．
下面介绍柯西判别法的两个推广，称它们为广义柯西判别法． 定理3（广义柯西判别法1） 设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，如果它的通项n u 的
()0an b a +>次根的极限等于r
，即lim an n r →∞
=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，
级数发散；当1r =级数可能收敛也可能发散．
证
因为lim an n r →∞
=，即对任给正数ε，存在正整数1N ，当1n N >时，有
(
)()an r r εε-<<+ （1）
对于任给常数b ，总存在2N ，当有2n N >时有
0an b +> （2）
取{}12max ,N N N =，当n N >时，式（1）和式（2）同时成立．
当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上述讨论，存在N ，当n N >时，式（1）
和式（2）同时成立，那么有an b
n u q
+<，正项级数
11
()an b
b
a n
n n q
q
q
∞
∞
+===∑∑收敛（因为其为等
比级数且公比01n
q <<），由比较审敛法知，级数
1
n
n u
∞
=∑收敛．
当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>，由上面的讨论，存在N ，当n N >时，式（1）
和式（2）同时成立，则an b
n u q
+>，正项级数
1
1
()an b
b
a n
n n q
q
q
∞
∞
+===∑∑发散，由比较审敛法知，
级数
1
n
n u
∞
=∑发散．
当1r =时，取1n p
u n =
，那么，对任何0,a b >为常数，
有/()1lim lim 1an p an b n n n +→∞→∞==．而11n n ∞
=∑发散，2
11n n
∞
=∑收敛．说明此时级数可能收敛也可能发散．定理证毕． 例4 判别级数21
1131n n n -∞
=⎛⎫ ⎪
-⎝⎭
∑的收敛性．
解
因为21
lim lim
01,31
n n n →∞
→∞==<-由广义柯西判别法1知，级数
21
1131n n n -∞
=⎛⎫ ⎪-⎝⎭
∑收敛．
注 例4也可用柯西判别法2(定理2)，但比较麻烦，而用广义柯西判别法1要简单得多． 定理4（广义柯西判别法2） 设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，如果它的一般项n u 的m n （m 是大于
1的正整数）次根的极限等于r
，即lim n r →∞
=．则当1r <时，级数收敛；当1r >时，
级数发散；当1r =时，级数可能收敛也可能发散．
证
因为lim n r →∞
=，即对任给的正数ε，存在正整数N ，当n N >时有
当1r <时，取ε足够小，使1r q ε+=<．由上面的讨论，存在N ，当n N >时， 有m n n u q <．因为m
n n
q
q <，
又正项级数1n
n q ∞
=∑收敛（因(0,1)q ∈），由比较审敛法知1
m
n
n q ∞
=∑收敛 ，所以
1
n
n u
∞
=∑收敛．
当1r >时，取ε足够小，使1r q ε-=>．由上面的讨论，存在N ，当n N >时，有
1m
n n u q
>>，那么lim 0n n u →∞
≠，所以级数1
n n u ∞
=∑发散．
当1r =时，同样取()1
0n p u p n
=
>，那么 这说明1r =时，级数可能收敛也可能发散．定理证毕．
注 广义柯西判别法是柯西判别法2(定理2)的推广[1]．事实上，在广义柯西判别法1中，取1,0a b ==，在广义柯西判别法2中，取1m =便得定理2（柯西判别法2）．
例5 判断级数
2
121n n n n ∞
=⎛⎫
⎪+⎝⎭
∑的收敛性． 解
因为1
lim lim lim
1212
n n n n n →∞→∞→∞===<+，由广义柯西判别法2知原级数
收敛．
定理5（广义柯西判别法3） 设,0,0,(1,2,
)n n n n n w u v u v n =≥≥=，若
n u =，1
lim
n
n n v v v →∞-=．则当1uv <时，级数1n n w ∞=∑收敛；当1uv >时，级数1n n w ∞
=∑发散[2]．
为证明定理5，需要一些预备知识：
Stolz 定理 设{}n a 、{}n b 为两个数列，数列{}n b 在某顶之后单调递增,且
lim n n b →∞
=+∞，若11lim
n n n n n a a l b b -→∞--=-，（或+∞），则lim n n n
a
l b →∞=（或+∞）．
命题1 设数列{}n x ．若lim n n x l →∞
=，则12lim lim n
n n n x x x l x n
→∞→∞
++
+==。

证 令12n n a x x x =+++，n b n =，由Stolz 定理，
命题证毕．
命题2设0n a >，(1,2,
)n =．lim n n a a →∞
=，则2
lim n n n n a a a →∞
==．
证 由0n a >，考虑数列{}ln n a ，由对数函数的连续性易知limln ln n n a a →∞
=．再
由命题1知
根据指数函数的连续性便得
0a =或a =+∞时，结论仍成立，这里证明略去． 命题3 设0n v >
，1lim
n n n v v v →∞-=，则1lim n n n n v
v v →∞-==．
证 令11a v =，1
(2,3)n
n n v a n v -=
=，由命题2 命题证毕．
证明定理5 由命题3知，
再用柯西判敛法(定理2) 便得结论．定理证毕．
显然，定理2(柯西判敛法2)是广义柯西判别法3当1n v =时的特例． 例6 判定级数
()
2
1!
121n n n n n n n ∞
=+⎛⎫
⎪⎝⎭+∑
的敛散性. 解 设2
1n n n u n +⎛⎫
=
⎪⎝⎭，()
!21n n
n v n =+则 由于11
122e e ⋅
=<，根据广义柯西判别法3知，级数()2
1!121n n n n n n n ∞
=+⎛⎫ ⎪⎝
⎭+∑收敛． 例7 判定2
1
213341n
n n n n n x n n x -∞
=⎛⎫-+⋅ ⎪+-+⎝⎭∑()0x >的敛散性． 解 设2123,341n
n n n n
n n x u v n n x -⎛⎫
-+== ⎪+-+⎝⎭
，则 2
2
3
lim 134
n n n n n n →∞-+==+-，
所以，当01x <<时，级数21
213341n
n n
n n n x n n x -∞
=⎛⎫-+⋅ ⎪+-+⎝⎭
∑收敛．当1x ≥时，由于
1
lim
1n
n n n v v →∞-=，
广义柯西判别法3失效．然而1x ≥时
由级数收敛的必要条件知，当1x ≥时级数21
213341n
n n
n n n x n n x -∞
=⎛⎫-+⋅ ⎪+-+⎝⎭
∑发散． §2达朗贝尔判别法及其推广
用比较原理也能推出更宽泛的达朗贝尔判别法． 定理6（达朗贝尔判别法1） 设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数,
（i ） 若从某项起(,)N n N ∃>，有1
1n n u q u +≤<，则1n n u ∞
=∑收敛；
（ii ） 若从某项起(,)N n N ∃>，有1
1n n u u +≥，则1
n n u ∞=∑发散．
证明（i ）由n N >时，有
1
1n n
u q u +≤<，从而
1N N u qu +≤，221N N N u qu q u ++≤≤，33N N u u q +≤，,
k N k N u u q +≤
由于
1
k
N
k u
q
∞
=∑收敛，由比较原理知
1
N k
k u
∞
+=∑收敛，故
1
n
n u
∞
=∑收敛．
（ii ）若存在N ，当n N >时，有
1
1n n
u u +≥，则1n n u u +≥，故lim 0n n u →∞≠，
由级数收敛的必要条件知
1
n
n u
∞
=∑发散．定理证毕．
定理7（达朗贝尔判别法2）设1
lim n n n
u r u +→∞=，则（i ）若1r <，则1n n u ∞
=∑
收敛；（ii ）若1r
>（或r =+∞）
，则1
n n u ∞
=∑发散；（iii ）若1r =，敛散性不能确定．这正是高等数学中的达朗贝尔判别法．
例8判别下列级数的敛散性．
1!(1)n n n n
∞=∑； 23
2222(2)123n
n
+++
++；
1
(3)(0,0)n
s
n s n
αα∞
=>>∑
．
解 （1）因为11
lim 1n n n
u r u e +→∞==<，所以级数1!n n n n ∞
=∑收敛．
（2） 因为1
lim
21n n n
u r u +→∞==>，所以原级数发散．
（3） 对任意0S >，11lim
lim (1)n s
n s n
n n n u n r u n ααα++→∞→∞===+．当01α<<时，级数收敛(0)s ∀>；当1α>时，级数发散；当1α=时原级数为11
s n n
∞
=∑
的敛散性要进一步判定．当
1S >时级数收敛，当1S ≤时级数发散．
例9判别级数1[(1)!]2!
4!(2)!n
n n n ∞
=+⋅∑的敛散性．
解 因为
及111lim 1,32n n n e →∞
⎛⎫-=< ⎪+⎝⎭故存在,N 当n N >时，有11132
n
n ⎛
⎫-< ⎪+⎝⎭．从而，当n N >时，11
2n n u u +<．根据定理6，可知级数1[(1)!]2!
4!(2)!n
n n n ∞
=+⋅∑
收敛． 下面介绍达朗贝尔判别法的推广，也称它们为广义达朗贝尔判别法． 定理8（广义达朗贝尔判别法１） 设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，k 是某正整数，
（i ） 如果对一切n ，有
1n k
n
u q u +≤<，则级数收敛； （ii ） 如果
1n k
n
u u +≥，则级数发散． 证（i ） 由于
n k
n
u q u +≤，则n k n u qu +≤，从而 其中m 是任意正整数，可见，对1,2,,i k =，都有lim 0mk i m u +→∞
=．考虑级数的部
分和序列
即{}
(1)m k S +有上界，从而(1)lim m k m S +→∞
存在，设(1)lim m k m S S +→∞
=．注意到
故12(1)lim lim lim lim mk mk mk k mk k m m m m S S S S S +++-+→∞
→∞
→∞
→∞
==
===，
即lim n n S S →∞
=，所以1
n n u ∞
=∑收敛． 若
1n k
n
u u +≥成立，则n k n u u +≥，从而1(1)110mk m k u u u +-+≥≥>，故lim 0n n u →∞≠，所以级
数发散．定理证毕． 例10判别级数
221111
112323
23
n
n +++++
++的收敛性．
解 取2k =，由于
根据定理8知该级数收敛．
定理9（广义达朗贝尔判别法2） 设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，k 是某一正整数，
lim
()n k
n n
u q u +→∞=∞或+
（i ） 如果1q <,则级数收敛；（ii ） 如果1q >,则级数发散． 证 （i ） 如果1q <，对102
q
ε-=>，存在N ，当n N >时，有 从而
由定理8（广义达朗贝尔判别法1）知
1
n
n u
∞
=∑收敛．
如果1q >，则从某项开始，00,n k n u u +≥此时lim 0n n u →∞
≠，故原级数发散．
例11确定下列级数的敛散性 （1）
(1)
1
2
n
n n ∞
---=∑；（2）
2sin cos 221
.n n n n e
ππ⎧
⎫∞
+-⎨⎬
⎩⎭
=∑
解 （1） 取2k =，由于2
(2)(1)
2(1)21
lim lim 14
2n n n n n n n n
u u +-+--+---→∞→∞
==
<，所以原级数收敛． （2） 取 4k =，由于(4)(4)2sin
cos (4)2244
2sin cos 221
lim
lim
1n n n n n n n n n n
u e
u e e
ππππ++⎧⎫
+-+⎨⎬⎩⎭
+⎧
⎫→∞→∞
+-⎨⎬
⎩⎭
==
<，所以原级数收敛．
§3 积分判别法
积分判别法是利用非负函数的单调性及其积分性质，把无穷区间上的广义积分作为比较对象来判别正项级数的敛散性．
定理10（柯西积分判别法） 对于正项级数
1
n
n u
∞
=∑，设{}n u 单调减少，作单
调减少的连续函数
()(()0)f x f x ≥，使()n u f n =单调减少，则级数1
n n u ∞
=∑与
广义积分1
()f x dx +∞
⎰
同时收敛，同时发散．
证由
()f x 单调减少，故对[1,]x k k ∈-，
1(1)()()k k u f k f x f k u -=-≥≥=，
所以
1
1
1
1
2
2
()()n
n
n
k
n
k k k k k k u
f x dx f x dx u --===≥=≥∑∑∑⎰
⎰ （3）
若广义积分
1
()f x dx +∞
⎰
收敛，则对任何自然数,n 由上不等式（3），有
既部分数列{}n S 有界，故级数
1
n
n u
∞
=∑收敛．
反之，若级数
1
n
n u
∞
=∑收敛，则由不等式（3），则对任何自然数(1),n n >有
1
11
1
1
()n n
n k k k k f x dx S u u S -∞
-==≤≤≤=∑∑⎰
（4）
又知()0f t ≥,则()()x
a
F x f t dt =⎰
是x 的单增函数，由（4）可知()F x 有上界S ，根据单
调有界准则知广义积分
1
()f x dx +∞
⎰
收敛．定理证毕．
例12讨论级数
11(ln )
p n n n ∞
=∑的敛散性，其中0p >为常数．
解 取
1
(),0(ln )
p
f x p x x =
>．它在[3,)+∞上非负，单调减少且连续．令
n u =1
().(ln )
p
f n n n =
当1p =时，3
1
lim
lim[lnln lnln3],ln x
x x dt x t t
→∞→∞=-=+∞⎰
当1p ≠时，113
11lim
lim [(ln )(ln3)](ln )1x
p p
p x x dt x t t p
--→∞→∞=--⎰
故级数
11
(ln )
p n n n ∞
=∑当1p >收敛，当01p <≤时发散．
注
对于正项级数11,(ln )(lnln )
p n n n n ∞
=∑考察广义积分1,ln (ln ln )p dx
x x x +∞⎰同 样可推得当1p >收敛，当01p <≤时发散．
§4 拉贝尔判别法与高斯判别法
柯西判别法和达朗贝尔判别法是基于把所要判别的级数与某一几何级数相比较的想法而得到的，也就是说，如果给定级数的通项收敛于零的速度比某收敛的等比（几何）级数的通项收敛于零的速度快，则能判定该级数收敛．如果级数的通项收敛于零的速度较慢，它们就无能为力了．拉贝（Raabe ）以p -级数
11
p
n n
∞
=∑作为比较对象，得到了拉贝判别法．高斯(Gauss)以级数
11(ln )
p n n n ∞
=∑作为比较对象，得到了高斯判别法．
定理11 （拉贝判别法）设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，若有
111(),n n u o n u n n α+⎛⎫
=-+→∞ ⎪⎝⎭
（5） 则在1α>时，级数
1
n
n u
∞
=∑收敛；而在1α<时，级数
1
n
n u
∞
=∑发散．
证略．
注 等式（5）式其实相当于
1lim 1n n n u n u α+→∞⎛⎫⋅-= ⎪⎝
⎭ （6） 推论（拉贝判别法的极限形式）设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，且极限（6）存在，
则：（i ）当1α>时，级数1
n
n u
∞
=∑收敛；（ii ）当1α<时，级数
1
n
n u
∞
=∑发散；（iii ）当1
α=时，拉贝判别法失效．
例 13 讨论级数
113(21)24(2)s
n n n ∞
=⎛⎫⋅- ⎪⋅⎝⎭
∑当1,2,3s =时的敛散性．
解 对于任何,s 都有
121lim lim 122s
n n n n
u n u n +→∞→∞+⎛⎫
== ⎪+⎝⎭． 因此，用达朗贝尔判别法不能判别其敛散性．下面用拉贝判别法来讨论： 当1s =时，由于
故当1s =时级数发散； 当2s =时，由于
此时，拉贝判别法不能判别级数的敛散性； 当3s =时，由于
3213
21(12187)3
111()22(22)2n n u n n n n n n n u n n +⎡⎤⎛⎫+++⎛⎫-=-=→>→∞⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦
因
此，当3s =时级数收敛．
还有比拉贝判别法更“精密”的判别法，例如高斯判别法： 定理12（高斯判别法）设
1
n
n u
∞
=∑为正项级数，若有
1111(),ln ln n n u o n u n n n n n β+⎛⎫
=--+→∞ ⎪⎝⎭
（7） 则在1β>时级数
1
n
n u
∞
=∑收敛；而在1β<时级数
1
n
n u
∞
=∑发散．
注 级数的敛散性是用部分和数列的极限来定义的．一般说来，部分和n S 不易求得，于是级数的敛散性判别法就应运而生．以正项级数而言，从部分和有界这个充要条件出发，推出了比较原理．它须用预知其敛散性的级数作比较对象．若用几何级数充任比较级数，得到了柯西判别法与达朗贝尔判别法．这两个方法简单易行，但当极限为1时，方法就失效了．若要得出结果，只能用比几何级数收敛得更“慢”的级数作为比较级数．拉贝选取了p -级数，从而得到了以他命名的判别法．拉贝判别法较柯西判别法及达朗贝尔判别法应用广泛，但拉贝判别法的α可能为1，此法仍可能失效．于是又得寻求比p -级数收敛得慢的级数，级数
1
1
(ln )p
n n n ∞
=⋅∑就符合此要求，高斯就是用它从而建立了以他命名的判别法，此法较拉贝判别法的用途更广．沿此思路下去又会发现级数11ln (ln ln )p n n n n ∞
=⋅⋅∑较1
1
(ln )p
n n n ∞
=⋅∑收敛散得更慢，从理论上讲，还可以建立较高斯判别法更“精密”的判别法．如果某级数，用上述的
判别法都无能为力，我们可以用敛散性定义、充要条件（部分和有界）或柯西（Cauchy ）收
敛准则去解决，没有必要再设法建立更精密的判别法了． §5 阿贝尔判别法与狄立克雷判别法 阿贝尔变换 为了求和数11221...m
i i m m i S a b a b a b a b ===+++∑，阿贝尔给出了一个初等变换，引进
和数 即
1
11
1
()m
m i i
m m i i i i i a b
a B a a B -+===-+∑∑
1
11
()m m m i i i
i a B a a B -+==--∑ （8）
公式(8)称为阿贝尔变换公式，它与分部积分公式十分相似：
()()()()b
a
f b G b G x df x =-⎰ （9）
其中，(),()
()0x
a
g t dt G x G a ==⎰．如果把i B 换成()G x ，1i i a a +-换成()df x ，
∑换成b
a ⎰，则(8)式就转化为(9)式．
阿贝尔引理 如果 （i ）{}(1,2,,)i a i
m =单调（增或减）的；
（ii ）{}(1,2,
,)i B i m =有界，即存在0,M >使;i B M ≤
则
11
(2)m
i i
m i S a b
M a a ==
≤+∑ （10）
证 利用阿贝尔变换： 由于1
i i a a +-是同号（n a 单调）
，i B M ≤，于是有 1
111
()2m m i i m i a S M a M a a M a -+=+≤-≤+∑．
推论 如果,0(1,2,
,)i
a i m ≥=，并且123m a a a a ≥≥≥≥．那么
1S Ma ≤
（11）
下面用阿贝尔引理来建立比莱布尼兹判别法更为一般的收敛判别法：阿贝尔判别法及狄立克
雷判别法．用它们判别形如 级数的敛散性十分有效．
定理13（阿贝尔判别法） 如果：（i ）
1
n
n b
∞
=∑收敛，（ii ）数列{}n a 单调有界，即存在正数
K ，使得||(1,2,3,...)n a K n ≤=．则级数
1
n n
n a b ∞
=∑收敛．
证 利用阿贝尔引理来估计和数
1
1
n m m
k
k
n i
n i k n i a b a
b +++=+==∑∑ （12）
由条件（i ）
1
n
n b
∞
=∑收敛，即对任给0ε
>，存在N ，当n N >时,对任何自然数P ，有
取ε为阿贝尔引理中的M , 再由条件（ii ），则有
11
1
(2)3n m
m
k
k
n i n i
n n m k n i a b
a
b
a a K εε+++++=+==
≤+≤∑∑，
由柯西收敛原理知级数
1
n n
n a b ∞
=∑收敛．定理证毕．
定理14（狄立克雷判别法）如果：（i ）级数
1
n
n b
∞
=∑的部分和n B 有界，即存在正数M ，使
(1,2,3...)n B M n ≤=；
（ii ）并设数列{}n a 单调趋向于零，则级数1
n n n a b ∞
=∑收敛． 证 由于lim 0n
n a →∞
=，故对任意0ε>，存在N ，当n N >时，就有 n a ε<．再由条件（i ）
有
注意这里的2M 就是引理中的M ，所以当n N >时，对任何自然数m ，有
由柯西收敛原理知
1
n n n a b ∞
=∑收敛．
注 在狄立克雷判别法中，特取(1)n
n b =-，就是莱布尼茨判别法．因此，莱布尼茨判别法
是狄立克雷判别法的特殊情况．
例14 若级数1n n u ∞=∑收敛，证级数1n n u n ∞
=∑
，1
n ∞=，11
n n nu n ∞
=+∑都收敛． 证 取n
n b u =，分别取1
n a n =
，n a =，1
n
n
a n =
+，它们都是单调有界的，由阿贝尔判别法知它们均收敛． 例15 若数列
{}n a 单调趋于零，证明：
（1） 级数
1sin n
n a
nx ∞
=∑对任何x 都收敛；
（2） 级数
1
cos n
n a
nx ∞
=∑对任何2x k π≠都收敛，而当2x k π=时，须根据n a 的性
质进一步判定．
证 （1） 先考虑当2x k π≠时，级数
1
sin n nx ∞=∑的部分和1
sin n
k kx =∑，由积化和差公式
[]1
sin sin cos()cos()2
A B A B A B =
--+，有 从而
1
21sin 2sin
sin 2
2
n
k kx x x =≤
=
∑ （2x k π≠）
由狄立克雷判别法知
1
sin n
n a
nx ∞
=∑收敛．
当2x k π=时，级数的通项为零，级数自然收敛． （2） 由和差化积公式（2x k π≠） 有
[]2sin
cos cos2cos 2
x
x x nx +++
从而
1
21cos 2sin
sin 2
2
n
k kx x x =≤
=
∑
由狄立克雷判别法知 1
cos n
n a
nx ∞
=∑收敛．
习题 选择题 （1）设1
0(1,2,)n a n n
≤≤
=，则下列级数中肯定收敛的是（ ） （2
）设(1)ln 1n n u ⎛=- ⎝，则级数（ ） （3）下列各选项正确的是（ ） （4）若级数
1
n
n a
∞
=∑收敛，则级数（ ）
用比较判别法判别下列级数的敛散性： 设级数
1
1
1
,n
n
n
n n n a b c ∞∞∞
===∑∑∑,,有,n
n n a
b c ≤≤试证1
1
n n n n a c ∞∞==∑∑,,收敛时，1
n n b ∞
=∑
敛．
4．判别下列级数的敛散性：
5．判别下列级数的敛散性，若收敛，是绝对收敛，还是条件收敛． 6.设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数，且
0()lim 0x f x x →=,证明级数1
1n f n ∞
=⎛⎫
⎪⎝⎭
∑绝对收敛． 7．设11112,(1,2,)2n n n a a a n a +⎛⎫
==+= ⎪⎝⎭
．证明：（1）lim n n a →∞存在；（2）级数111n n n a a ∞
=+⎛⎫
- ⎪⎝⎭
∑收敛．
8．若两个正项级数
1
n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑发散，问
1
1
max(,),min(,)n
n
n
n
n n u v u v ∞
∞
==∑∑两级数的敛散
性如何？
9．讨论下列级数的敛散性．
10．讨论下列级数的绝对收敛和条件收敛性．
11
1
(1)sin(2)
sin (1);(2)
;(3)!n
n n n n x nx
n x
n n ∞∞∞
===-+∑∑∑． 11．设{}n na 收敛，
11
()n
n n n a
a ∞
-=-∑收敛，证明1
n n a ∞
=∑也收敛．
12．设级数11
()n
n n a
a ∞
-=-∑收敛，又1
n n b ∞
=∑是收敛的正项级数，证明1
n n n a b ∞
=∑绝对收敛．
答案 1．(1);
(2);(3);(4).D C A D
2. (1)发散; (2)收敛; (3)12λ<-
时收敛, 1
2
λ≥-时发散; (4)收敛. 4. (1)收敛; (2)收敛; (3)收敛; (4)发散.
5. (1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛; (4) 条件收敛. 8．
1
max(,)n
n
n u v ∞=∑发散，1
min(,)n
n
n u v ∞
=∑敛散性不能确定．
9．(1)发散；(2)0σ>时收敛, 0σ≤时发散． 10． (1)条件收敛; (2)绝对收敛; (3)条件收敛． 参考资料
[1] 根值审敛法的几个推论．侯亚君高峰．《高等数学研究》2003.NO2
[2] 柯西根值判敛法的推广．花树忠．《高等数学研究》2004.NO1．
[3] D Alembert判别法的一个推广．徐文雄龚冬保．《数学学习》1994.NO2．。