DEA效率测度模型及其应用 PPT

❖ 对 评于价每指一数：个决策单元DMUj都有相应的效率
s
hj
uTyi vTxj
ur yrj
r1 m
, j 1,2,,n
vixij
i1
我们总可以适当的取权系数向量v和u，使得 hj≤1, j=1,…，n
❖ 对第j0个决策单元进行效率评价，一般说来，hj0越 大表明DUMj0能够用相对较少的输入而取得相对较 多的输出。这样我们如果对DUMj0进行评价，看 DUMj0在这n个DMU中相对来说是不是最优的，我 们可以考察当尽可能的变化权重时， hj0的最大值究 竟是多少。
DEA效率测度模型及其应用
Measuring the efficiency of decision making units------
EJOR(1978)
❖ A. CHARNES The University of Texas, Austin TX, U.S.A.
❖ W.W. COOPER Graduate School of Business Administration, Harvard University, Cambridge MA, U.S.A.
❖ E. RHODES State University of New York at Buffalo, Albany NY, U.S.A.
DEA方法简介
❖ 数据包络分析方法（ DEA，Data Envelopment Analysis ）由Charnes、Coopor和Rhodes于1978 年提出，该方法的原理主要是通过保持决策单元（ DMU, Decision Making Units） 的输入或者输出不 变，借助于数学规划和统计数据确定相对有效的生 产前沿面，将各个决策单元投影到DEA的生产前沿 面上，并通过比较决策单元偏离DEA前沿面的程度 来评价它们的相对有效性。
Biblioteka Baidu
u r y rj
s .t.
r 1 m
1, j 1,2, n
v i x ij
i1
u 0,v 0
❖ 上述规划模型是一个非线性分式规划，使用Charnes－ Cooper变化，令：
t 1 ,wtv,tu
vTx0
由tvt1x0 wtx0 1
可变成如下的线性规划模型P：
maxhj0 T yo
（P） s.t.wT xj T yj 0, j 1,2,n
wT x0 1
w 0, 0
❖ 利用线性规划的最优解来定义决策单元j0的有 效性，从模型可以看出，该决策单元j0的有效 性是相对其他所有决策单元而言的(在同等约 束条件下进行求解的)。
❖ 对于CCR模型可以用规划P表达，而线性规 划一个重要的有效理论是对偶理论，通过建 立对偶模型更容易从理论和经济意义上作深 入分析（将规划问题转化为对偶问题）
s .t .
jx j s x0
j 1
n
j y j s y0 j 1
j 0 , j 1,2 , n
无约束，
s 0, s 0
将上述规划（D）直接定义为规划（P）的（带约束 的）对偶规划
❖ 线性规划（P）和对偶规划（D）均存在可行 解，所以都存在最优值。假设它们的最优值 为别为hj0*与θ*，则有hj0*＝ θ*
❖ DEA方法假定每个输入都关联到一个或者多个输出，且输入 输出之间确实存在某种联系，但不必确定这种关系的显示表 达式
DEA基本原理和模型
定义：
权系数
1 2 3 … j …n
v1
1 x11 x12 x13 … x1j … x1n
v2
2 x21 x22 x23 … x2j … x2n
. . . . . . ….
DEA方法的特点：
❖ 适用于多输出-多输入的有效性综合评价问题，在处理多输 出-多输入的有效性评价方面具有绝对优势
❖ DEA方法并不直接对数据进行综合，因此决策单元的最优效 率指标与投入指标值及产出指标值的量纲选取无关，应用 DEA方法建立模型前无须对数据进行无量纲化处理（当然也 可以）
❖ 无须任何权重假设，而以决策单元输入输出的实际数据求得 最优权重，排除了很多主观因素，具有很强的客观性
❖ 当然对于权重变化的要求是在同等标准下进行，即 对于所有决策单元而言，效率评价指数在规定统一 的标准下进行测度。
❖ 如果考虑第j0个决策单元的效率指数，以所有决策 单元的效率指数为约束，就有如下的CCR（C2R
）模型：
s
u r y rj o
max
h jo
r 1 m
v i x ij o
i1
s
.
ur
. . . . . …. .
ys1 ys2 ys3 … ysj … ysn s
us
权系数 s种输出
各字母定义如下：
❖ xij-------- 第j个决策单元对第i种类型输入的投入总 量.xij〉0
❖ yrj-------- 第j个决策单元对第r种类型输出的产出总 量.yrj〉0
❖ vi -------- 对第i种类型输入的一种度量，权系数 ❖ ur -------- 对第r种类型输出的一种度量，权系数 ❖ i ----------1,2,…,m ❖ r ----------1,2,…,s ❖ j ----------1,2,…,n
❖ DEA方法以相对效率概念为基础，以凸分析 和线形规划为工具的一种评价方法，应用数 学规划模型计算比较决策单元之间的相对效 率，对评价对象做出评价，它能充分考虑对 于决策单元本身最优的投入产出方案，因而 能够更理想地反映评价对象自身的信息和特 点；同时对于评价复杂系统的多投入多产出 分析具有独到之处。
vi
.. .
.
. Xij … .
. . . . . . ….
vm
m xm1 xm2 xm3 … xmj … xmn
n个 决策单元 （DMU）
m种输入
y11 y12 y13 … y1j … y1n
1
u1
y21 y22 y23 … y2j … y2n 2
u2
. . . . . …. .
...
. yrj … .
❖ 规划P的对偶规划为规划D/ ：
（D/）
min
n
s .t . j x j x 0 j1
n
jy j y0 j1
j 0 , j 1,2 , n
无约束
❖ 为了讨论和计算应用方便，进一步引入松弛 变量s＋和剩余变量s－，将上面的不等式约束 变为等式约束，可变成：
min
（D）
n