分形理论在期货交易中的应用

分形理论在期货交易中的应用
首创期货杜鹏
摘要：本文对近年国内外分形理论在期货研究中应用的新进展作了综述，介绍了分形的概念以及分形理论在期货市场中的应用方法。

提出了当前相关研究中所遇到的问题，及今后分形理论在期货研究中的发展方向。

关键词：分形理论；R／S分析；Hurst指数; 分形维，李雅普诺夫指数；多重分形谱;
一、分形与分形市场理论
被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。

曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无章的几何对象。

分形体具有一些共同的特征，如自相似性、标度不变性、长期记忆性、分形维以及局部随机性与整体确定性共存。

分形市场理论(FMH)是分形理论在金融市场中的具体应用，对有效市场理论进行了有力的扩展，对有效市场理沦无法解释的实际现象进行了比较好的解释。

分形市场理论认为大多数资本市场价格走势实际上是一个分形时间序列，分形时间序列是以长期记忆过程为特征，具有循环和趋势双重特征。

分形市场理论为我们提供了确定目前价格走势与未来走势的一种方法，从而提高我们的交易效率。

同时其与证券组合理论、资本资产定价研究、套利定价研究、期权定价研究以及金融风险的规避策略等等理论的结合，也为我们应用现有的技术手段重新审视资本市场这个复杂的非线性动力学系统提供了有效的方法。

同时，我们可以应用分形与混沌理论从复杂多变的价格变化结果中找到有序的过程，反过来我们就可以利用这种过程的有序性来分析和预测资本市场复杂多变的结果，并进一步指导投资者的交易过程。

二、分形理论在期货市场中的研究现状
分形理论作为一门新兴的边缘学科，发展相当迅速，在各学科领域中得到了广泛的应用并取得了许多重要成果。

近年来，国内外学者对应用分形理论对国内国外期货市场进行了尝试性的研究，并取得了初步的进展。

例如，王军慈，张艳丽(2006)对国内外大豆期货价格时间序列进行分形诊断，得出了国内期货市场效率相对较低的结论；何凌云、郑丰（2005）分析了国际原油价格系统中存在的分形特征，得到了不同时间标度下原油价格的Hurst指数，并得到了长程记忆的非周期循环长度；王铮、梁林芳通过对伦敦黄金市场价格时间序列的分析，得出其Hurst指数和其平均的循环长度；黄光晓、陈国进（2006）通过对1993—2004年伦敦金属交易所(LME)3月铜期货价格的非线性特征分析，得出LME3月铜期货价格的时间序列具有分形特征，其Hurst指数为O.563，具有一个200周左右的非周期性循环。

同时指出，Hurst指数和长期记忆周期可作为风险分析的参考指标，以弥补方差分析中时间信息的缺失；谭庆美、吴金克（2007）利用多重分形消除趋势分析法(MF－DFA)对纽约原油期货日收益率时间序列进行分析，发现纽约原油期货市场具有明显的多重分行特征；李建功（2004）利用G—P法计算了上海期货交易所铜期货和约的价格时间序列的关联维，并通过分析证明了其价格波动的混沌过程，从而也验证了中国期货市场存在混沌现象。

通过以上的文献综述我们可以看出，我国分形理论在期货市场中的应用取得了一些成果，但仍属于探索阶段，尤其是大部分的研究都是集中于对期货市场分形结构的描述与统计之上，而在将分形理论应用于期货交易过程，从而指导期货交易策略，丰富期货交易手段，优化交易技术手段方面的研究乏善可陈。

可以说，分形理论在期货市场中的应用尚处于萌芽阶段，随着我国资本市场的逐步对外开放，我们已经看到，在世界金融中心的华尔街，诸多的基金经理已经在利用各种各样的数理工具对股票、期货、外汇的价格进行预测，进而做出投资决策，混沌理论与分形理论的应用就是其中之一。

有鉴于此，本文试图通过对分形理论框架的介绍，并结合对LME3月铜合约市场的分析，对分形理论在期货市场中的应用前景进行一些初步的探索，希望能起到抛砖引玉的作用。

三、分形理论在期货交易中的应用
分形理论及方法在期货交易中的应用可以集中在以下几个方面，首先是利用赫斯特指数进行投资收益率的风险度量；其次是R／S分析(重标极差分析法)方法
确定非周期循环的长度；第三是来研究期货市场奇异吸引子的分形维数，从而确定投资收益率的影响因素；最后可以利用分形理论来研究期货和约时间序列的非线性动力学特性，从而预测期货投资的回报及期货投资市场的周期变化规律。

分形理论在这几方面都为我们提供了强有力的分析方法和工具。

1. 风险度量
传统的资本市场理论用方差来度量资产的风险，其假定的资产价格分布符合随机运动，且这一假定限制了该方法的适用范围。

而对于具有分形特征的资本市场而言， R ／S 分析(重标极差分析法)按照单位波动率下数据的极差来表示风险，同时R ／S 分析可以显示时间序列是否具有持久性及其长记忆周期。

在记忆周期内，投资者可以利用Hurst （赫斯特）指数来进行风险管理。

在分形理论中，R ／S 分析法(重标极差分析法)是研究分形时间序列的一种常用方法。

它是由赫斯特(Hurst) 基于曼德勃罗提出的分形几何理论，于1965年提出并应用于美国证券市场之上的。

它可以区分分形时间序列和随机时间序列，并且可以估算系统的初始条件信息完全丢失的时间的长度，即系统演化的平均轨道周期。

其基本思路如下：
对股票价格形成的时间序列t x ，分为A 个长度为N 的等长子区间，对于每一子区间，令()l a a 1+1t 1(a t)x - 1X =∑N(－)＝，（M ）
其中，(a t)X ，为第a 个区间的累积离差，a l +i x N(－)为区间a 的第i 个观测值，a M 为区间a 的平均值，t ＝1，2，⋯ ，N 。

对每一子区间，可得到N 个累积离差，N 个离差中的最大值和最小值之差即极差
()()()()()ax a,t in a,t 2R M X M X =－
用每个区间测得的标准差去除极差，这个“重标极差”应随时间增加。

赫斯特建立了如下关系:
()()H
/ bN 3R S =
其中，R 表示重标极差，N 为区间长度，b 为某一常数，H 为赫斯特指数，且0≤H ≤1。

对每个子区间计算R／S，可得A个R／S，求出这A个R 的平均值，可得出用N 来等分时间序列下的R／S估计值。

用不同常数N来等分，便可得到不同的R／S。

根据R／S随N的变化关系，可研究时间序列不同时段的统计特性，由Ln(R／S)相对于Ln(N)函数变化斜率得出赫斯特指数H。

赫斯特指数可衡量一个时间序列的统计相关性。

当H=0.5时，时间序列为标准的随机游走，不同时间的值是不相关的，收益率呈正态分布，即有效市场（EHM）条件下出现的状态；当H≠0.5时，收益率不再呈正态分布，时间序列各个观测值之间不是互相独立的，后面的观测值都带着在它之前的观测值的“记忆”随时间延长，前面观测值对后面观测值影响越来越少。

对式(3)两边取对数，得
()()
（）＋（）
=
ln/ln N ln a4
R S H
由ln(R／S)相对于ln (N)的斜率便可估计出H。

通过ln (R／S)-N 图，很容易观察出赫斯特指数在何处发生突变，并进一步估计出周期长度。

本文通过Matlab编程进行运算，采用的样本数据为LME3月铜合约的日线数据，数据类型为日收盘价，数据个数为3681个，数据来源为富远期货行情系统。

LME3月铜合约的最高价为8600美元，最低价为1338美元，均值为2739.08美元,标准差为1707.86美元。

从图1可以看出，计算得到时间序列有H＝0.63，说明LME3月铜期货价格时间序列具有分形特征，同时市场表现出趋势增强行为，系统具有长记忆性，即价格的变化不是独立的，它受到历史价格的影响。

我国学者在股票市场上的相关研究成果表明，在我国证券市场上，贝塔系数并没有表现出与标准差、收益率相关度较高的特征，同CAPM模型的理论有较大的差距。

而Hurst指数与理论的意义比较吻合，尤其是对于股票的总体走势的拟合度比较高。

从总体来看，Hurst指数与相对波动率也存在着正相关，而且与日平均收益率也可能存在一定程度的关系。

在我国期货市场上，其投机气氛更加浓烈，利用方差度量风险具有很大的局限性，而作为度量分型市场特征的赫斯特指数在风险评估上无疑具有其先天的的优势，首先，Hurst指数从收益率时间序列的相关性和持续性角度来度量风险，对所衡量的资产的收益率分布没有要求，补充了方差衡量风险的缺陷；其次，
Hurst 指数作为非线性理论的一种方法，它更符合期货市场的实际情况，用其衡量风险更接近风险的定义，因为风险就是未来收益的不确定性，而这种不确定性应该和收益率时间序列的相关性和持续性有关，即，Hurst 指数大的期货合约趋势性越强，未来不确定性越小，风险就越小，越具有投资价值，反之则反是。

图1：LME3月铜期货日线数据H-t 演化分析图
2. 周期分析
由于社会经济现象中大量存在非周期性循环，在R ／S 分析及Log/Log 绘图中。

曲线的斜率在变化，即序列在不同的时间长度内,其相关性是不同的。

对于非常长的周期n,长期记忆耗散后，序列会收敛到H=0.5，变得像随机游走。

此时，该转折点对应的时间长度，即为序列的平均循环周期。

为获得序列的平均循环周期，赫斯特提出V 统计量，即：
(
)()N /5V R S =（）
对于H>0.5的持久性时间序列。

R ／S 是以大于时间增量n 的平方根标度的，这
时 n V 是关于Log(n)向上倾斜的，曲线有更陡峭的斜率；反之，
n V 则是关于Log(n)向下倾斜的。

n V 图形形状的改变将意味着R ／S 随时间增量标度的方式发生变化，原来的长记忆因系统发生突变而消失。

200400600800100012001400160018002000
t Hurst
图2：LME3月铜期货日线数据V 统计量演化分析图
对于独立的随机过程，统计量n V 关于log(n)是平坦的。

对于具有持续状态的且H>0.5的持久性时间序列来说，n V 是关于log(n)向上倾斜的；当n V 发生突变时，长记忆消失。

我们用时间段为1993年4月1日至2007年1O 月23日的LME3月铜合约日线数据进行R ／S 分析的结论是，LME 铜期货市场价格波动不是随机游走。

而是典型的有偏随机游走；时间序列存在长记忆性的分形特征，并且具有一个946天的非周期循环。

分形周期理论表明，处在同一分形周期中的价格如果在前一时期是向上的(或向下)，那么下一时期延续这一趋势的可能性更大，这与实际情况无疑也是是相符的。

这也说明投资者之间实际上是相互影响的，并且投资者对价格变化的判断往往要等待趋势明显后才作出；信息被市场完全吸收需要一段时间，这种延续造成价格以非线性方式对新信息作出反应；价格具有长记忆性，以前发生事情的影响会延续到长记忆消失。

log （T ）l o g （R /S ）a n d V n 图4:LME3月铜期货非周期循环长度分析图
图3：LME3月铜期货非洲其循环长度分析图
分形周期在期货市场上的主要功能就是帮助投资者功能就是帮助投资者判断收益率时间序列非周期性循环的长度，同时结合赫斯特指数的演化特征，可以判断分形市场的起点与终点，从而把握期货的大势涨跌周期。

在看清大势之后，就可以进行大势周期波的长线操作并指导短线投机或进行套期保值，这就是分形周期研究给我们的最大的启示。

3. 影响因素分析
期货市场作为经济系统的一个重要组成部分，其价格变化过程受许多经济因素支配，其演化过程具有很大的不确定性，任何一个因素的微小变化都可能导致难以预料的结果。

因此，对于投资者来说，如果能够从复杂多变的价格变化中找到资本市场的复杂性形成的机理背后的决定因素，就有可能利用这种过程的有序性对期货市场进行有效的分析和预测。

对于一个非线性系统，分形维是描述系统复杂程度的重要指标，它还可以决定系统受几个主要状态变量影响，且因其代表了决定股票市场系统本质因素之特征，状态变量的数目及对系统影响程度的改变即可通过分形维反映出来，故分形
维可作为一个先行指标在一定程度上预测期货市场的未来变化。

分形维的计算有许多种方法，如拓扑维、Hausdorff 维、信息维和相关维等。

20世纪80年代初期，Grassberger 和Procaccia 等人根据嵌入理论和重建相空间的思想，提出了从时间序列直接计算关联维数(即系统相空间的分形维数)D 的算法，称之为G —P 算法。

由于相关维具有保守性、计算简洁性和稳定性特点。

因此本文采取G —P 算法进行分形维的计算。

其基本思想如下：
设{}k x ;k 1,2,...,N =是观测某一系统得到的时间序列，将它嵌入到m 维欧氏空间m R 中，得到一个R(m)向量集，其中的元素记为：
()()(){}()n n (n+)n+(m-1))m m R m X X m,x ,x ,...,x ,n 1,...,N N N M 1ττττ
====--τ是m 维欧氏空间m R 中的不同维之间的延迟时间，任取两点i i X (m,),X (m,)ττ计算他们之间的距离，
()()1/2
m 12i,j i j i l j l l 0r =d X X x x ττ++⎡⎤-⎢⎥⎣⎦∑-=，= 求遍所有的m m i j i=1,...,N ,j 1,...,N ,=，,得到两点之间的距离矩阵m m i,j N N (r )⨯然后利用这个矩阵，就可以求关联积分函数：
m N m ij i,j=1
m m 2C (r)H(r r )N (N 1)=--∑ 其中，H 是Heaviside 函数：
1,x 0H(X)0,x 0
>⎧=⎨≤⎩ 对于充分小的r ，关联积分函数逼近于下式：()()m lnC r =lnC+D m ln r 因此，m R 中的子集R(m)的关联维数为：()()m r D m limln C r /ln r →∞
= 当D(m)不随相空间维数m 升高而改变时，D 就是系统的吸引子的关联维数。

当
D =1时，系统是一个自持周期振荡；当D =2时，系统是一个具有两种不可约频率的准周期振荡；当D 不是整数或者D >2时，系统表现为一种对初始条件敏感的混
沌振荡。

在上述算法中关于时延t与嵌入维的选取技术上，现在主要有两种观点。

一种观点认为两者是互不相关的，如求时延的自相关法m、互信息法，求嵌入维的G-P算法或FNN(flase nearest neighbors)法等。

另一种观点认为两者是相关的，如嵌入窗法、C-C方法。

1996年，D.Kugiumtzis提出了相空间重构的嵌入窗法，指出时延t的选取不应独立于嵌入维，而应依赖于嵌入窗。

1999年，H.S.Kim等人基于嵌入窗法的思想提出了C-C方法，该方法使用关联积分同时估计出时延与嵌入窗。

我们选取LME3月铜合约的日线数据。

利用互信息法求出延迟时间和用cao方法求出嵌入维，重构相空间，计算两点之间的距离矩阵，利用距离矩阵计算关联积分，由C（r）和r的对数并做线性回归，得到在这个嵌入维下的相关维D，当D 趋于稳定时，就得到了系统相空间的分形维。

由分维图可以看出，随着m的增大，直线的斜率趋向于收敛，对不同m，随着变小，lnC(r)对lnr的回归趋向于一条直线，然后针对每一段直线，进行回归，得到相应的关联维数，针对不同的嵌入维数m，求得不同指数的分维数，当嵌入维逐渐增大时，分维数呈现出收敛的趋势，求得其均值为2.91。

图5：LME3月铜期货日线数据关联维数演化分析图关联维数的计算结果表明：LME3月铜期货和约的价格序列的关联维数为
2.91，其饱和嵌入维数为6。

这一结果告诉我们，LME3月铜期货市场是一个具有分形维结构的低自由度混沌系统，期货和约价格的变化遵循着某种确定性的规律。

分维数代表的是一个系统的混沌吸引子的自由度，从混沌的角度来分析问题，也就是说，系统最终要收缩到维数为3的吸引子上，这样一个系统需要有3个本质的因素来确定，即这3个变量完全决定了系统的变化趋势。

而嵌入维数的确定能描述投资收益率变动的动力系统的变量的个数，即我们可以用3~6个三个动态变量来建立起这个系统的价格运动模型。

在具体进行投资可行性分析和进行投资控制时，可以先用以上方法分析混沌时间序列，找出关联维和嵌入维数，了解有多少因素影响资本投资收益率，再结合其它分析方法确定是什么影响因素。

从以上的分析看出，LME期货市场中的混沌吸引子是存在的，并得到了混沌吸引子的关联维数，此维数反映了此段时间内价格波动的复杂程度，关联维数值越大，期货价格波动越复杂，其市场越活跃，所以，此参数也可用来测定期货市场在某一段时间内的活跃程度。

另外，混沌理论认为，混沌吸引子的结构具有无标度性，即在无标度区间波动具有自相似性，借用分形理论可以对股票的自相似结构进行深入的研究，它将为市场价格的预测提供一个可行的方法。

4.敏感性分析
混沌系统的三大特征就是对初始条件的敏感依赖，吸引子是系统被吸引并最终固定于某一状态的性态。

有三种不同的吸引子控制和限制物体的运动程度：点吸引子、极限环吸引子和奇异吸引子（即混沌吸引子或Lorenz吸引子）。

点吸引子与极限环吸引子都起着限制的作用，使得系统呈现出静态的、平衡的特征，故它们也叫做收敛性吸引子；而奇异吸引子则与前二者不同，它使系统偏离收敛性吸引子的区域而导向不同的性态。

它通过诱发系统的活力，使其变为非预设模式，从而创造了不可预测性。

李雅普诺夫指数描述了系统轨道演化过程的特性，度量了系统对于初始条件的敏感性，其各指数符号组合能很好判断出系统演化最终是否会出现混沌现象，（若最大的λ>0，则系统是混沌的，最大的λ<0，则系统是非混沌的），并能区分可能出现的吸引子的类型。

在李雅普诺夫指数中，最大的指数非常重要。

一是其倒数是系统长期演化的可预测时间长度的界限；二是若一个股票市场系统是混沌的，则至少有一个正的李雅普诺夫指数，它反映了轨道从初始条件附近开始的
指数发散速度。

这就为我们认识资本投资环境提供了判据，同时为我们选用适宜的制定投资对策的方法提供了前提。

计算最大李雅普诺夫指数的主要步骤为：
(1)应用实测时间序列重构一个高维的相空间照相空间中的点集。

(2)以初始相点0x 为基点，在重构的相空间中选取一个与0x 相距至少一个轨道周期的最近点作为端点。

构成一个初始向量0V ，求出该向量的长度，记为0L 。

(3)经过一个进化时间0τ，初始向量0V 运动发展为另一个向量1V ，其相应的起点和端点分别为()00t +τ和 ()00y t +τ，计算出其相长度为1L ,相长度在时间
0τ内由0L 变为1L ，如果用1λ表示在此时间段内相长度的指数增长率。

则有
1010e L L λτ＝
即 ()1100
1
log /L L λτ＝
(4)以()00x t +τ为新的基点，选取一个新的向量1V ，
，称为发展向量，发展向量应具有小的长度与1V 保持较小的夹角．再以1V ，
为初始向量，用同样方法可得到指数增长率2λ， ()2211
1
log /L L λτ＝
上述过程一直发展到点集终点，取出增长率k λ的平均值作为最大的李雅普
夫指数的估计值，即
()k
N k k-1k 1k k-1
1
1
ln /N T L L λ=∑＝ (5)增加嵌入维数m ．重复上面的计算步骤，直到指数估计随m 保持平衡为止，最终得到的计算结果，即为所要求的最大李雅普诺夫指数。

现在我们来计算LME3月铜合约的最大李雅普诺夫指数。

在李雅普诺夫计算过程中。

根据前面对分形维的计算，我们选取了一组嵌入维数为6、时滞为1个交易日、平均周期为3个交易日的参数，经过长时间的演化，LME3月铜合约市场系统的最大李雅普诺夫指数用wolf 法得到的数值为0.0606比特/日，这样一个正的最大李雅普诺夫指数收敛值意味着两个意思：
首先，因LME3月铜期货市场演化具有正的李雅普诺夫指数，而正的李雅普诺
夫度量的是系统中邻近的点随着系统的演化相互之间发散的速率，无论系统怎么演化，最后都不可能趋向于点吸引子和极限环的形式，故正的李雅普诺夫指效排除了系统是一个周期或稳定的过程，从这可以我们已经可以确定，LME3月铜市场存在混沌现象。

其次最大的李雅普诺夫指数还代表了对期货系统演化的预测能力衰减速率，LME3月铜期货市场系统最大李雅普诺夫指数最终收敛到0.0606比特/日。

它表示我们以0.0606比特/日的速率对系统的演化失去预测能力。

即假设最我们准确知道今天证券市场价格是多少。

那么在1／0.0606（16.5个）交易日后，价格参数或其变化形式对系统会失去全部预测能力。

5.预测功能
目前国内外学者广泛使用重标极差分析(R／S分析法)方法和趋势消解波动分析(DFA法)对金融时间序列进行分形分析，但是这类方法均局限于对金融时间序列的单分形过程进行研究，即它是用一个简单唯一的参数来刻画时间序列在不同时点或不同时间尺度上的分形特征。

由于资产价格变化的复杂性，单分形过程只能描述资产价格过程变化的一个宏观概貌和长期统计行为，而对资产价格过程在某一时刻上的局部特性的描述远远不够细致和全面。

我们经常遇到的时间序列是具有随着时间变动而变动的奇异性指数的函数或时间序列，它是定义在分形结构上的由多个标度指数的分形测度组成的无限集合，我们称之为多重分形。

它刻画了分布在子集E的具有不同标度和标度指数的分形子集的局部标度性。

从几何的观点看，组成分形集的若干个子集的标度、分形维数都不同。

多重分形函数的局部规则程度由奇异测度频谱来描述。

目前国内对期货市场进行多重分形分析的研究成果寥寥可数，应用多重分形理论指导期货投资的相关文献更是几乎是处于空白阶段。

在本文撰写过程中仅仅找到谭庆美，吴金克（2007）利用多重分形消除趋势分析法(MF—DFA)对纽约原油期货日收益率时间序列进行多重分形特征分析的文章。

有鉴与此，本文应用混沌时间序列局域法多步预报模型对LME3月期铜合约建立了30日多步预测验证模型，以期能为分形理论的预测功能在期货市场中的进一步应用提供一定的借鉴意义。

本文构建了基于相空间重构技术的加权一阶局域法多步预报模型，并与广泛
使用的lyap 法预报模型进行比较。

实证检验证明，该模型对混沌时间序列的多步预测具有一定的效果。

下面仅将加权一阶局域法多步预报模型的构建过程简述如下：
加权一阶局域法一步预报模型的实质是在重构的相空间中找到与参考点最相似的（m+1）个相点，并根据这（m+1）个相点演化一步的规律进行一步预报。

对于混沌时间序列，相空间中一对最近邻随时间演化遵循的是一种指数规律
t e λ-，参数λ是最大Lyapunov 指数，体现了系统初始闭轨道的指数发散速率。

因此，当嵌入维数1>m ，且需进行k （k >1）步预测时，可以类似加权一阶局域法一步预报模型，根据这（m+1）个相点演化k 步的规律进行k 步预报。

具体推导如下：
设中心点M Y 的参考向量集
{}Mi Y ，i ＝1,2，…，q ，其演化k 步后的相点集为
{}k Mi Y +，一阶局域线性拟合为：
Mi
k k k Mi Y b e a Y +=+，i ＝1,2，…，q ，
根据加权最小二乘法有：
()min 112
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑∑==+q
i m j j Mi k k j k Mi i x b a x P
将上式看成是关于未知数
k
a ，
k
b 的二元函数，两边求偏导得：
()(
)
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=--∑∑∑∑==+==+001111q i m
j j
Mi j Mi k k j k Mi i q i m j j
Mi k k j k Mi i x x b a x P x b a x P ，
化简得：
()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑==+====+====q i m
j j
k
Mi
i q i m j j Mi i k k q i m j j Mi j k Mi i q i m j j Mi i k q i m j j Mi i k x P x P b m a x x P x P b x P a 11111111211
写成矩阵形式为：。