分形理论在期货交易中的应用

分形理论在期货交易中的应用

首创期货杜鹏

摘要：本文对近年国内外分形理论在期货研究中应用的新进展作了综述，介绍了分形的概念以及分形理论在期货市场中的应用方法。提出了当前相关研究中所遇到的问题，及今后分形理论在期货研究中的发展方向。

关键词：分形理论；R／S分析；Hurst指数; 分形维，李雅普诺夫指数；多重分形谱;

一、分形与分形市场理论

被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，它是由美籍法国数学家曼德勃罗（Benoit Mandelbrot）创造出来的。曼德勃罗是想用此词来描述自然界中传统欧几里得几何学所不能描述的一大类复杂无章的几何对象。分形体具有一些共同的特征，如自相似性、标度不变性、长期记忆性、分形维以及局部随机性与整体确定性共存。

分形市场理论(FMH)是分形理论在金融市场中的具体应用，对有效市场理论进行了有力的扩展，对有效市场理沦无法解释的实际现象进行了比较好的解释。分形市场理论认为大多数资本市场价格走势实际上是一个分形时间序列，分形时间序列是以长期记忆过程为特征，具有循环和趋势双重特征。分形市场理论为我们提供了确定目前价格走势与未来走势的一种方法，从而提高我们的交易效率。同时其与证券组合理论、资本资产定价研究、套利定价研究、期权定价研究以及金融风险的规避策略等等理论的结合，也为我们应用现有的技术手段重新审视资本市场这个复杂的非线性动力学系统提供了有效的方法。同时，我们可以应用分形与混沌理论从复杂多变的价格变化结果中找到有序的过程，反过来我们就可以利用这种过程的有序性来分析和预测资本市场复杂多变的结果，并进一步指导投资者的交易过程。

二、分形理论在期货市场中的研究现状

分形理论作为一门新兴的边缘学科，发展相当迅速，在各学科领域中得到了广泛的应用并取得了许多重要成果。近年来，国内外学者对应用分形理论对国内国外期货市场进行了尝试性的研究，并取得了初步的进展。例如，王军慈，张艳丽(2006)对国内外大豆期货价格时间序列进行分形诊断，得出了国内期货市场效率相对较低的结论；何凌云、郑丰（2005）分析了国际原油价格系统中存在的分形特征，得到了不同时间标度下原油价格的Hurst指数，并得到了长程记忆的非周期循环长度；王铮、梁林芳通过对伦敦黄金市场价格时间序列的分析，得出其Hurst指数和其平均的循环长度；黄光晓、陈国进（2006）通过对1993—2004年伦敦金属交易所(LME)3月铜期货价格的非线性特征分析，得出LME3月铜期货价格的时间序列具有分形特征，其Hurst指数为O.563，具有一个200周左右的非周期性循环。同时指出，Hurst指数和长期记忆周期可作为风险分析的参考指标，以弥补方差分析中时间信息的缺失；谭庆美、吴金克（2007）利用多重分形消除趋势分析法(MF－DFA)对纽约原油期货日收益率时间序列进行分析，发现纽约原油期货市场具有明显的多重分行特征；李建功（2004）利用G—P法计算了上海期货交易所铜期货和约的价格时间序列的关联维，并通过分析证明了其价格波动的混沌过程，从而也验证了中国期货市场存在混沌现象。

通过以上的文献综述我们可以看出，我国分形理论在期货市场中的应用取得了一些成果，但仍属于探索阶段，尤其是大部分的研究都是集中于对期货市场分形结构的描述与统计之上，而在将分形理论应用于期货交易过程，从而指导期货交易策略，丰富期货交易手段，优化交易技术手段方面的研究乏善可陈。可以说，分形理论在期货市场中的应用尚处于萌芽阶段，随着我国资本市场的逐步对外开放，我们已经看到，在世界金融中心的华尔街，诸多的基金经理已经在利用各种各样的数理工具对股票、期货、外汇的价格进行预测，进而做出投资决策，混沌理论与分形理论的应用就是其中之一。有鉴于此，本文试图通过对分形理论框架的介绍，并结合对LME3月铜合约市场的分析，对分形理论在期货市场中的应用前景进行一些初步的探索，希望能起到抛砖引玉的作用。

三、分形理论在期货交易中的应用

分形理论及方法在期货交易中的应用可以集中在以下几个方面，首先是利用赫斯特指数进行投资收益率的风险度量；其次是R／S分析(重标极差分析法)方法

确定非周期循环的长度；第三是来研究期货市场奇异吸引子的分形维数，从而确定投资收益率的影响因素；最后可以利用分形理论来研究期货和约时间序列的非线性动力学特性，从而预测期货投资的回报及期货投资市场的周期变化规律。分形理论在这几方面都为我们提供了强有力的分析方法和工具。

1. 风险度量

传统的资本市场理论用方差来度量资产的风险，其假定的资产价格分布符合随机运动，且这一假定限制了该方法的适用范围。而对于具有分形特征的资本市场而言， R ／S 分析(重标极差分析法)按照单位波动率下数据的极差来表示风险，同时R ／S 分析可以显示时间序列是否具有持久性及其长记忆周期。在记忆周期内，投资者可以利用Hurst （赫斯特）指数来进行风险管理。

在分形理论中，R ／S 分析法(重标极差分析法)是研究分形时间序列的一种常用方法。它是由赫斯特(Hurst) 基于曼德勃罗提出的分形几何理论，于1965年提出并应用于美国证券市场之上的。它可以区分分形时间序列和随机时间序列，并且可以估算系统的初始条件信息完全丢失的时间的长度，即系统演化的平均轨道周期。其基本思路如下：

对股票价格形成的时间序列t x ，分为A 个长度为N 的等长子区间，对于每一子区间，令()l a a 1+1t 1(a t)x - 1X =∑N(－)＝，（M ）

其中，(a t)X ，为第a 个区间的累积离差，a l +i x N(－)为区间a 的第i 个观测值，a M 为区间a 的平均值，t ＝1，2，⋯ ，N 。

对每一子区间，可得到N 个累积离差，N 个离差中的最大值和最小值之差即极差

()()()()()ax a,t in a,t 2R M X M X =－

用每个区间测得的标准差去除极差，这个“重标极差”应随时间增加。赫斯特建立了如下关系:

()()H

/ bN 3R S =

其中，R 表示重标极差，N 为区间长度，b 为某一常数，H 为赫斯特指数，且0≤H ≤1。