运输问题 PPT课件
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《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 4
使运输费最小的目标函数为： minz＝6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 Xij>=0 一般运输问题的线性规划的模型： 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资。 Al，A2，…，Am表示某种物资的m个产地；Bl，B2，… ，Bn表示某种物资的n个销地； 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量，ai=bj 称为产销平衡。 Cij表示把物资从产地Ai运到销地Bj的单位运价。 同样设Xij表示从产地Ai运到销地Bj的运输量。
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 8
证：记∑ai= ∑bj=Q Xij=aibj/Q就是一个可行解，因为Xij≥0，且满足 ∑Xij=ai, ∑Xij=bj 又因为Cij≥0,Xij≥0,所以目标函数有下界零。 因而运输问题一定有最优解。 1、确定初始基可行解 最常用的方法是最小元素法。——既简便，又尽可能接近 最优解。 最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最 小的运价开始确定供销关系，同时兼顾各产销地的需求，然 后次小，一直到给出初始基可行解为止。
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 X11 X21 150 B2 X12 X22 150 B3 X13 X23 200 产量 （件） 200 300 500
满足产地产量的约束条件为： X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 满足销地销量的约束条件为： X11+X21＝150 X12+X22＝150 X13+X23＝200
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 9
P83例2.1： 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂，每 日的产量分别为 A1－7 吨， A2－4 吨， A3－9 吨。该公司把 这些产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量为B1－3 吨，B2－6吨，B3－5吨，B4－6吨。已知从各工厂到各销售 点的单位产品的运价如下表所示。 产销平衡表 销售点 产量 B1 B2 B3 B4 加工厂 A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 销量 3 6 5 6 20
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 5
则产销平衡的运输问题的线性规划模型如下所示：
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n i 1,2, , m 产量约束 xij ai j 1 m x b j 1,2, , n 销量约束 ij j i 1 xij 0 运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。由于 产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立，因此，运输问 题的基变量只有m+n–1 个。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 7
二、表上作业法
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方 法，其实质是单纯形法。 (1)给出初始调运方案——初始基可行解：即在(m×n)产 销平衡表上给出m+n-1个数字格。用最小元素法或伏格尔法。 (2)检验方案是否最优，若是最优解，则停止计算；否则 转下一步。求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的 检验数。在表上用闭环回路法或乘数法。 (3)调整调运方案，得新的方案。——确定入基和出基变 量，找出新的基可行解。在表上用闭环回路法。 (4)重复(2),(3)直到求出最优方案。 【定理】：产销平衡的运输问题一定有可行解，且一定 有最优解。
第三章 运输问题
内 容
1 2
3 4
运输问题 表上作业法
产销不平衡的运输问题
运输问题的应用
一、运输模型（产销平衡）
例 1 ． 某公司从两个产地 A1、A2 将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地的每件物品的运费如下表所示： 问：应如何调运，使得总运输费最小？
最小元素法中的退化情况
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B 4 产量
销地 产地
B1 3 3 4 10 8 5
5
3
3
0 6
6 5
2 4
6
7 4 9
A1 A2 A3
第一次划去第1列B1，第二次最小运价为2，对应的销地B2 销量和产地A3的产量未分配量皆为6，故同时划去B2列和A3 行。非零的数字格小于(m+n-1)个。 出现退化时，要在同时被划去的行列中选一个空格填0， 此格作为有数字格。
销地 运费单价 产地 A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 （件） 200 300
设 Xij 表示从产地 Ai 调运到 Bj 的运输量 (i＝1，2；j＝1 ，2，3)，现将安排的运输量列表如下：
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 3
产销平衡表
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 6
共有2个产地和3个销地，产销平衡。 基变量的个数为2+3-1=4 Objective value: 2500
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 50 100 150 B2 150 0 150 B3 0 200 200 产量 （件） 200 300 500
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 10
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B 4 产量
销地 产地
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3 6
3 6
4 1
5
3 3
6
7 4 9
A1 A2 A3
1）找出最小运价为1，先将A2的产品供应给B1，因a2>b1 ，A2除满足B1的全部需要外，还可多余1吨产品。在(A2,B1) 的交叉格处填上3。并将B1列运价划去。 2）在未划去的元素中再找出最小运价 2，确定 A2 多余的1 吨供应B3。在(A2,B3)的交叉格处填上1。并将A2行运价划去 3）在未划去的元素中再找出最小的运价 3，这样一步步进 行下去，直到运价表上的所有元素划去为止。 最后在(A1,B4)的交叉格处填上3，将A1行和B4列运价同时 划去，得到一个初始调运方案。这方案的总运费为86元。
使运输费最小的目标函数为： minz＝6X11+4X12+6X13+6X21+5X22+5X23 Xij>=0 一般运输问题的线性规划的模型： 有m个产地生产某种物资，有n个地区需要该类物资。 Al，A2，…，Am表示某种物资的m个产地；Bl，B2，… ，Bn表示某种物资的n个销地； 令a1, a2, …, am表示各产地产量， b1, b2, …, bn表示各 销地的销量，ai=bj 称为产销平衡。 Cij表示把物资从产地Ai运到销地Bj的单位运价。 同样设Xij表示从产地Ai运到销地Bj的运输量。
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证：记∑ai= ∑bj=Q Xij=aibj/Q就是一个可行解，因为Xij≥0，且满足 ∑Xij=ai, ∑Xij=bj 又因为Cij≥0,Xij≥0,所以目标函数有下界零。 因而运输问题一定有最优解。 1、确定初始基可行解 最常用的方法是最小元素法。——既简便，又尽可能接近 最优解。 最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最 小的运价开始确定供销关系，同时兼顾各产销地的需求，然 后次小，一直到给出初始基可行解为止。
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 X11 X21 150 B2 X12 X22 150 B3 X13 X23 200 产量 （件） 200 300 500
满足产地产量的约束条件为： X11+X12+X13=200 X21+X22+X23=300 满足销地销量的约束条件为： X11+X21＝150 X12+X22＝150 X13+X23＝200
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 9
P83例2.1： 某公司经销甲产品，它下设三个加工厂，每 日的产量分别为 A1－7 吨， A2－4 吨， A3－9 吨。该公司把 这些产品分别运往四个销售点。各销售点每日销量为B1－3 吨，B2－6吨，B3－5吨，B4－6吨。已知从各工厂到各销售 点的单位产品的运价如下表所示。 产销平衡表 销售点 产量 B1 B2 B3 B4 加工厂 A1 3 11 3 10 7 A2 1 9 2 8 4 A3 7 4 10 5 9 销量 3 6 5 6 20
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 5
则产销平衡的运输问题的线性规划模型如下所示：
min z cij xij
i 1 j 1
m
n
n i 1,2, , m 产量约束 xij ai j 1 m x b j 1,2, , n 销量约束 ij j i 1 xij 0 运输问题有mn个决策变量，m+n 个约束条件。由于 产销平衡条件，只有m+n–1个相互独立，因此，运输问 题的基变量只有m+n–1 个。
《运筹学》
第三章 运输问题
Slide 7
二、表上作业法
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方 法，其实质是单纯形法。 (1)给出初始调运方案——初始基可行解：即在(m×n)产 销平衡表上给出m+n-1个数字格。用最小元素法或伏格尔法。 (2)检验方案是否最优，若是最优解，则停止计算；否则 转下一步。求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的 检验数。在表上用闭环回路法或乘数法。 (3)调整调运方案，得新的方案。——确定入基和出基变 量，找出新的基可行解。在表上用闭环回路法。 (4)重复(2),(3)直到求出最优方案。 【定理】：产销平衡的运输问题一定有可行解，且一定 有最优解。
第三章 运输问题
内 容
1 2
3 4
运输问题 表上作业法
产销不平衡的运输问题
运输问题的应用
一、运输模型（产销平衡）
例 1 ． 某公司从两个产地 A1、A2 将物品运往三个销地 B1、B2、B3，各产地的产量、各销地的销量和各产地运 往各销地的每件物品的运费如下表所示： 问：应如何调运，使得总运输费最小？
最小元素法中的退化情况
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B 4 产量
销地 产地
B1 3 3 4 10 8 5
5
3
3
0 6
6 5
2 4
6
7 4 9
A1 A2 A3
第一次划去第1列B1，第二次最小运价为2，对应的销地B2 销量和产地A3的产量未分配量皆为6，故同时划去B2列和A3 行。非零的数字格小于(m+n-1)个。 出现退化时，要在同时被划去的行列中选一个空格填0， 此格作为有数字格。
销地 运费单价 产地 A1 A2 销量 B1 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 （件） 200 300
设 Xij 表示从产地 Ai 调运到 Bj 的运输量 (i＝1，2；j＝1 ，2，3)，现将安排的运输量列表如下：
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 3
产销平衡表
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 6
共有2个产地和3个销地，产销平衡。 基变量的个数为2+3-1=4 Objective value: 2500
销地 运输量 产地 A1 A2 销量 B1 50 100 150 B2 150 0 150 B3 0 200 200 产量 （件） 200 300 500
《运筹学》 第三章 运输问题 Slide 10
销地 B1 产地 A1 A2 A3 销量 B2 B3 B 4 产量
销地 产地
B1 3 1 7
B2 11 9 4
B3 3 2 10
B4 10 8 5
3 6
3 6
4 1
5
3 3
6
7 4 9
A1 A2 A3
1）找出最小运价为1，先将A2的产品供应给B1，因a2>b1 ，A2除满足B1的全部需要外，还可多余1吨产品。在(A2,B1) 的交叉格处填上3。并将B1列运价划去。 2）在未划去的元素中再找出最小运价 2，确定 A2 多余的1 吨供应B3。在(A2,B3)的交叉格处填上1。并将A2行运价划去 3）在未划去的元素中再找出最小的运价 3，这样一步步进 行下去，直到运价表上的所有元素划去为止。 最后在(A1,B4)的交叉格处填上3，将A1行和B4列运价同时 划去，得到一个初始调运方案。这方案的总运费为86元。