高中数学奥林匹克竞赛全真试题

2003年全国高中数学联合竞赛试题

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1、删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列.这个新数列的第2003项是（ ）

A ．2046

B ．2047

C ．2048

D ．2049

2、设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么，直线ax －y ＋b =0和曲线bx 2＋ay 2=ab 的图形是（ ）

3、过抛物线y 2=8（x ＋2）的焦点F 作倾斜角为60°的直线.若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点,则线段PF 的长等于( )

A ．

163 B ．83 C 1633

D ．834、若5[,]123x ππ∈--，则2tan()tan()cos()366

y x x x πππ

=+-+++的最大值是（ ）.

A 1225

B 1126

C 1136

D 1235

5、已知x 、y 都在区间（－2，2）内，且xy =－1，则函数2

2

4949u x y =

+

--的最小值是（ ）

A ．

85 B ．2411

C ．127

D ．125 6、在四面体ABCD 中，设AB =1，CD 3AB 与CD 的距离为2，夹角为3

π

，则四面体ABCD 的体积等于（ ）

A 3

B ．12

C ．1

3 D 3 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7、不等式|x |3－2x 2－4|x |＋3<0的解集是__________.

8、设F 1，F 2是椭圆22

194

x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1，则△

PF 1F 2的面积等于__________.

9、已知A ={x |x 2－4x ＋3<0，x ∈R }，B ={ x |21－

x ＋a ≤0，x 2－2（a ＋7）x ＋5≤0，x ∈R }.若A B ⊆，则实数a 的取值范围是__________.

10、已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且35

log ,log 24

a c

b d ==，若a －

c =9，b －

d =__________.

11、将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于__________.

12、设M n ={（十进制）n 位纯小数0.12

|n i a a a a 只取0或1（i =1，2，…，n －1），a n =1}，

T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则lim

n

n n

S T →∞=__________.

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、设

3

52

x ≤≤

，证明不等式14、设A ，B ，C 分别是复数Z 0=ai ，Z 1=1

2

＋bi ，Z 2=1＋ci （其中a ，b ，c 都是实数）对应

的不共线的三点.证明：曲线Z = Z 0cos 4t ＋2 Z 1cos 2t sin 2t ＋Z 2sin 4t （t ∈R ）与△ABC 中平行于AC 的 中位线只有一个公共点，并求出此点.

15、一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA =a ，折叠纸片，使圆周上某一点A ′刚好与A 点重合.这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当A ′取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合.

加 试

一、（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B .所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间.在弦CD 上取一点 Q ，使∠DAQ =∠PBC .

求证：∠DBQ =∠P AC . 二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数l ，m ，n ，且l >m >n .已知

444333{}{}{}101010

l m n

==，其中{x }=x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值. 三、（本小题满分50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形，其中n =q 2

＋q ＋1，l ≥

1

2

q （q ＋1）2＋1，q ≥2，q ∈N .已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q ＋2条连线段.证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A ，B ，C ，D 和四条连线段AB ，BC ，CD ，DA 组成的图形）.

答 案

一、选择题

1、注意到452=2025，462=2116，故2026=a 2026－45=a 1981，2115= a 2115－45= a 2070.而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数.

又1981＋22=2003，故a 2003= a 1981＋22=2026＋22=2048.故选（C ）.

2、题设方程可变形为题设方程可变形为y =ax ＋b 和22

1x y a b

+=，则观察可知应选（B ）.

3、易知此抛物线焦点F 与坐标原点重合，故直线AB 的方程为y

. 因此，A ，B 两点

的横坐标满足方程：3x 2－8x －16=0.由此求得弦AB 中点的横坐标04

3x =

，纵坐标0y =，进

而求得其中垂线方程4)3y x =-，令y =0，得P 点的横坐标416433x =+=，即

16

3

PF =，故选（A ）.