第三章 岩石的弹塑性本构关系

张量知识简介
一、预备知识 1. 坐标系 二、张量的定义 1. 坐标变换 2. 零阶张量（标量） 3. 一阶张量（向量） 4. 二阶张量
2. 约定求和
3. 克罗尼克尔符号 ij
4. 置换符号
ijk
1. 坐标系
• 1）直线坐标系 由坐标原点与三条不共面标架
直线构成
• 2）仿射坐标系 各标架上单位尺度不同
• 例1 ：
a11
a12
a13 a23 a33
| aij | a21 a22 a31 a32
a11a22 a33 a12 a23a31 a13 a21a32 a13a22 a31 a12 a21a33 a11a23 a32 ijk a1i a2 j a3k ijk ai1a j 2 ak 3 i, j , k 1, 2,3


q 1 3
1 p ( 1 2 3 ) 3
用剪应力和平均应力来表示
• 有限元计算中常用的应力空间有：
J 2 ~ I1 空间，
I1 1 2 3
2．应力路径（stress route） 1）定义：应力空间中用来表示应力状态变 化历史的一条曲线。 2）举例： ① 不同应力空间中常规三轴加载条件下的
• 一阶张量=向量
4．二阶张量
32 9 个元素， • 有
Tij
i, j 1,2,3
• 它们随坐标系的变化规律为
Tij im jnTmn
• 或
i, j, m, n 1,2,3
Tij mi njTmn
• 则由这9个元素所组成的整体称为二阶张 量，记作
T11 T12 T (Tij ) T21 T22 T 31 T32
整理得：
2Gs ij ( K s ) ij kk 2Gs ij 3
二、张量的定义
• 张量是由满足一定关系的一组元素所组 成的整体，元素的个数由空间的维数N及
张量的阶数n决定，我们以N=3为代表，
给出各阶张量的定义。
1．笛卡尔直角坐标系间的坐标变换： 式中： ij 是
xi ij x j
• 两端乘
(2 3)
ij
ij ij kk
1 1 1 ij ij ij ij 2Gs 6Gs 9 K s 1 1 1 ii ii 2Gs 2Gs 3K s
kk
• 调整参数
1 kk kk 2G
克定律）
1 s s ij ij kk百度文库 ij Es Es
(2 1)
(2 2)
2 ij ( K s Gs ) kk ij 2Gs ij 3 Es Es Gs Ks 3(1 2vs ) 2(1 s )
例：将（2-1）式转换为（2-2）式
3．一阶张量（向量）
• 有31=3个元素 Ti , ( i = 1, 2,3)，它们随坐标系 变化的规律为
Ti ij T j
• 或
i 1,2,3
Ti jiT j
i 1,2,3
• 该3个元素组成的整体称为一阶张量，记作 T
Ti
i = 1, 2,3
称为 T 的分量，记作
T (Ti ) (T1, T2 , T3 )
x1 x1
¢ x2
x 13 133 x311 32 23 22 21 3 x2121
2
x2
12
22
x3
13
23 33
3
11
21
x3
31
32
2．零阶张量（标量）
有30=1个元素，是坐标变换下的不变量， 即
( x1, x2 , x3 ) ( x1, x2 , x3 )
1轾 J 2 = 犏 1 - s 2 ) 2 + (s 2 - s 3 ) 2 + (s 3 - s 1 ) 2 (s 臌 6
•
•
oct
——八面体剪应力
J 2 ——偏应力第二不变量；与形变能V有关
1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 V 6E • 轴对称情况（常规三轴试验）：
1 0 0 11 12 13 I 0 1 0 21 22 23 ij 0 0 1 32 33 31
• 例3：
ii 11 22 33 3
• 例4：
• i) 用三个主应力来表示：
• ii) 用二个主应力来表示：
• iii) 用剪应力和平均应力来表示
用剪应力和平均应力来表示 • 应力分解：
0 1 m 0 0 1 0 0 m 0 2 m 0 0 2 0 0 m 0 0 0 0 0 0 m 0 0 3 m 3
i 1, j 1,2,3
i 2, j 1,2,3
A31B31 A32 B32 A33 B33
i 3, j 1,2,3
例4
Aij B j Ai1B1 Ai 2 B2 Ai3 B3 ↓
j 1,2,3
A11 B1 A12 B2 A13 B3 A21 B1 A22 B2 A23 B3 A B A B A B 32 2 33 3 31 1
oxi 轴与 ox j
i ,i j
i 1,2,3
轴夹角的余弦， 为坐标轴的单位向量
bij = iiⅱ j i
即：
x1 11 x1 12 x2 13 x3 x2 21 x1 22 x2 23 x3 x x x x 31 1 32 2 33 3 3
用剪应力和平均应力来表示 • 常用二维：
•
ts
空间表示
其中：
s1 + s 3 t= , 2 s1- s3 s= 2
用剪应力和平均应力来表示 • 常用三维：
pq
空间表示
1 P = (s 1 + s 2 + s 3 ) 3 1 q= (s 1 - s 2 ) 2 + (s 2 - s 3 ) 2 + (s 3 - s 1 ) 2 2 3 = 3J 2 = t oct 2 t oct = 2 1 J2 = (s 1 - s 2 ) 2 + (s 2 - s 3 ) 2 + (s 3 - s 1 ) 2 3 3
i 1,2,3 j 1,2,3
• 例6：
im mj ij
4. 置换符号 • 1）定义：
ijk
0 ijk 1 1
当i, j , k中有两个相同者 当i, j , k为1,2,3的偶排列 当i, j , k为1,2,3的奇排列
即：
111,112 ,113 ,121,122 ,131,133 211,212 ,221,222 ,223 ,232 ,233 0 , , , , , , 311 313 322 323 331 332 333 123 231312 1 1 321 213 132
i 1, j 1,2,3 i 2, j 1,2,3 i 3, j 1,2,3
3. 克罗尼克尔符号 ij
• 定义：
0 ij 1
• 故有：
i j i j
ij ji
• 例1：在笛卡尔直角坐标系中：
i i i j ij
• 例2：单位矩阵可表示为
线性弹性理论
一、空力空间和应变空间 二、用cauchy方法给出的本构方程
一、空力空间和应变空间
• 1．应力空间： ① 定义：以应力分量
ij
作为笛卡尔坐标
系中的坐标轴所形成的空间（一般概念上来说 应是一个9维空间），岩体中某一点的应力状 态可用应力空间中的一点（坐标）来表示。
• ② 常用应力空间 • 9维空间不直观。通常采用三维——二维空间
T13 T23 T33
5. 应力、应变张量
• ① 应力张量：
是二阶对称张量， ij
• ② 应变张量：
是二阶对称张量， • ③ 广义虎克定律：
im jn mn
ij im jm mn
ij Eijkp kp
式中：——弹性系数张量，根据张量识别定理， 是4阶张量，共有34=81个分量。
• 3）笛卡尔坐标系 各标架上单位尺度相同
① 笛卡尔直角坐标系 标架直线互相垂直 ② 笛卡尔斜角坐标系 标架直线不互相垂直 • 以 xi , i 1,2,3 表示笛卡尔直角坐标系的坐 标 i1 ，i 2 ，i 3 ，分别表示三个坐标的单位矢 量。
2. 约定求和
• 定义：如果在同一项中，某个指标重复出现两 次，就表示对这个指标从1到3求和。
11 A1 12 A2 13 A3 A1 im Am 21 A1 22 A2 23 A3 A2 A A A A 33 3 3 31 1 32 2 Ai i 1, 2,3
• 例5：
B1 j Bi1 im Bmj B2 j Bi 2 Bij B B3 j i 3
Es • 由 Ks 3(1 2vs )
• 得：
Es Gs 2(1 s )
vs 1 1 Es 6Gs 9K s
Es 2Gs (1 s )
• （2-1）式可以写成
1 1 1 ij ij ij kk 2Gs 6Gs 9 K s
例1 例2
Ai Bi A1B1 A2 B2 A3B3
Ai A1 A2 A3 xi x1 x2 x3
i 1,2,3
i 1,2,3
例3:
Aij Bij A11B11 A12 B12 A13 B13
A21B21 A22 B22 A23 B23
• 或
1 1 1 kk kk 3K 2G 3K
kk 3K kk
• 代入（2-3）式，得
1 1 1 ij ij ij 3K s kk 2Gs 6Gs 9 K s
1 ij 2Gs
Ks 1 ij kk 2Gs 3
• 例2 ：
i1 A B A1 B1
i2 B2 B2
i3 A3 B3
ijk i i Aj Bk ijk Aj Bk i i
• 2）
ij 和 ijk 的关系
1i 1 j 1k ijk 2i 2 j 2 k 3i 3 j 3 k
练习
• 将下式写成常见的应力-应变方程组（广义虎
第三章
岩石的弹塑性本构模型
岩石的弹塑性本构模型
• 前言 • 张量知识简介 • 线性弹性理论 • 非线性弹性理论 • 应力空间表述的弹塑性本构理论
前言
• 1、条件：将岩石介质看作成一种连续介质— —宏观分析。 • 2、主要研究内容： ① 研究材料固有的特性，建立应力~应变及与 温度之间关系的表达式（本构关系） ② 分析弹塑性变形体内应力、应变分布，研究 物体在各种荷载下的稳定性问题——求解边值 问题或求解初值-边值问题。 ③应用数学问题，探求各种解析方法或数值方 法。 • 本章着重解决本构关系。
1 式中： m ( 1 2 3 )为平均应力 3
骣1 0 ÷ çs ÷= ç ç 0 s 3÷ ÷ 桫 骣1 + s 3 s 珑 珑 珑 2 珑 珑 珑 珑 0 珑 珑 桫 s 鼢 骣1 - s 3 0 鼢 鼢 2 鼢 鼢 + 鼢 s1 + s 3鼢 鼢 鼢 鼢桫 0 2 0 s 3 - s1 2
应力路线
3．应变应空间与应变路径