几个初等函数构成的共形映射映射.ppt

映 射
(k 0, 1, 2,)
y
(z)
v
(w)
y 4π
y 2π y
z xx
w ez
w ex
y
u 6
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 二、指数函数 w ez
六 章
1. 映射特点
(z)
共
hi (h 2π)
形
映
射
z1
π h
z
w ez
特别有
πi
( z1 )
w1 ez1
六 章
共
2. 保形性 解析性
(1) 在 z 平面上处处可导，且
dw dz
nzn1 ;
形 映
(2) 当
z 0 时， dw dz
0.
射
单值性 在 z 平面上不是双方单值的，比如：
对于 w z4,
取
z1

π
e2
i
z2 eπi , 则 z14 z24 .
结论 幂函数 w zn 在 z 平面上除原点外是第一类保角映射。

i
z 1
(z1 ) 1 0 1
z2

z1 z1
Hale Waihona Puke Baidu

1 1
2
(w) 1
w z2 i z2 i
(z2 )
14
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
解 共 形 映 射
2
z1
z 2
(z)
2

z z

2 2
2

i
w
(z1 )

P158 例6.15
πi
(z)
π 2
i
2(z i)
we 2
z1

z
π 2
i
π 2
i
(z1 )
z2 2z1
(w)
w ez2
πi
(z2 )
10
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 三、综合举例
六 章
主要步骤 (一般)
共 (1) 预处理
形 目标 使区域的边界至多由两段圆弧(或直线段)构成。

i i
.
w
1

z2 z2

i i
(z1 )
π
6
01

z2 z16
(z2 )
16
§6.4 几个初等函数构成的映射
第
六
P159 例6.16
章
解 共
(z)
1 i
将 2 , 0 0,
(w)
形 映 射
2 0
z1
z z2
12 (z1 )
w
有ez21πi(
zkz
2z)
z 2i
,
再e要2π求i ( z将z 2
)
1

ii
1
i,
1
w z4 i z4 i
0
i
1 2
得
k 1,
故
z1
z z2
.
(z4 )

z2 iz1
z4 ez3
1 2
i
(z2 )
z3 2πz2
πi (z3)
17
§6.4 几个初等函数构成的映射
第
六
章
解
共
形
2
映
射
z1
z2 z2
(z)
6
3
2
4
(z1 )
π
e3
i
(
z2 z2
)
i
e w
π 3
i
(
z2 z2
)
i
2 03
z2 iz1
3i (z2)
z3

π 3 z2
(w)
1
1
w z4 i z4 i
(z4 )
z4 ez3
πi (z3)
18
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共解
πi 2z

(w)
w


1 1
ei iz2 ei iz2
2

π 2
z2
π 2
z1
(z2 )
π 2
(利用前例的结果)
20
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 *例 设区域 D 如图所示，求一共形映射将 D 映射成单位圆域。
六
章解
(z)
(w)
共
D
形
1
1
映 射
w z1 z1
z z0
( 由附加条件确定 0 , z0 )
12
§6.4 几个初等函数构成的映射
第
六 章
解 共
P161 例6.18
(z)
w z2 ？(错！！)
形 映 射
1
1
01
z1

z1 z1

z z

1 1

2

i
w

z z

1 1

2

i
(w)
z2 z12
w (z a)2 h2 i
(z1 )
(z a)2 h2 i
hi
w z4 i z4 i
(z4 )
z2 z12
(z2 )
z3 z2 h2
h2
z4 z3
(z3 )
22
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共 形 映 射
休息一下 ……
23
z z

2 2

2

i
1
z2
1 z1
1
1 1 (z2)
z3 z2
(w)
1
1
w z5 i z5 i
(z4 )
z4

z3 z3

1 1

2
(z3 )
1 1
15
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 例 设区域 D 由两个圆弧围成(如图所示)，其中 r 1, 求一
在角形域 0
0 上，如果 0
2π n
，则幂函数
w

zn
是
共形映射。
3
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共 形 映
解
πi
令 w1 ze 4 ,
则 w w14 .
射 如图，所求的象区域 G 为：
G { z : | z| 8, Im z 0}.
2i
(z)
z2 z15
(z2 )
5
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 二、指数函数 w ez
六 章
回顾
令 z xiy,
有 w ez ex (cos y i sin y) ex ei y ,
共 形
即

|w| ex,
Arg w y 2kπ ,
由 z 的实部得到 w 的模； 由 z 的虚部得到 w 的辐角。
第 六 章
共 形
解
令 w1 iz , 则 w ew1.
映 射
如图，所求的象区域 G 为：
G { z : | z| 1, Re z 0}.
i
(w)
w ew1
i
(z)

π 2
π 2
w1 iz ,
(w1 )
π 2
i

π 2
i
9
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共解 形 映 射
第 三、综合举例
六 章
主要步骤 (一般)
共 (3) 将角形域( 或者带形域 )映射为上半平面
形 工具 w zn , w n z . ( 对于角形域 ) 映
射
w ez .
( 对于带形域 )
(4) 将上半平面映射为单位圆域
工具
w zi . zi
( 无附加条件 )
w ei0 z z0 .
射
取 z1 x1 i y1, z2 x1 i( y1 2π), 则 ez1 ez2 .
结论 指数函数 w ez 在 z 平面上是第一类保角映射。
在水平带形域 0 y h上，如果 h 2π , 则指数函数 w ez
是共形映射。
8
§6.4 几个初等函数构成的映射
形
映 射
0
2π n
w zn
n 0 2π
0 R
znw
n 0 Rn
特点 幂函数 w zn 扩大顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。
类似地，根式函数 w n z 作为幂函数的逆映射，其映射 特点是缩小顶点在原点的角形域( 或扇形域 )。
2
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 一、幂函数 w zn, ( n 2 整数 )
映 射
工具 几种简单的分式映射、幂函数、指数函数等。
(2) 将区域映射为角形域( 或者带形域 )
方法 将区域边界的一个交点 z1 映射为 ; [ 另一个(交)点 z2 映射为 0 ]。
工具
w k 1 , 或者 w k z z2 .
z z1
z z1
11
§6.4 几个初等函数构成的映射
(w)
h (h 2π)
π
w1 w h
(?) 单值性？
(w1 )
π
1
1
特点 指数函数 w ez 将水平带形域变为角形域。
7
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 二、指数函数 w ez
六 章
2. 保形性
共
解析性 在 z 平面上处处可导，且 dw ez 0 .
dz
形
映
单值性 在 z 平面上不是双方单值的，比如：
第 *例 设区域 D {z : Im z 0, | z 1 | 1, | z 1 | 1}, 求一共形
六
22 22
章
映射将 D 映射成上半平面。 P162 例6.20
1
1 (z1 )
共解 形
(z)
z1
1 z
映
射
1 0 1
w

1
ie
πi 2z
2
1 ie
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六
§6.4
几个初等函数构成的映射
章 一、幂函数
共 形
二、指数函数
映 射
三、综合举例
1
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 一、幂函数 w zn, ( n 2 整数 )
六 章
1. 映射特点
共 令 z r ei , 则有 w r nein , 即 | w | r n, arg w n .
形

π 2
映
射
(z)
π 2
z1 i z
P162 例6.19
w


1 1
ieiz ieiz
2
(z1 )
π 2
i

π 2
i
z2 ez1 i
i
(z2 )
z3 iz2
1
(w)
w 1 z3 2 1 z3
(z3 ) 1
19
§6.4 几个初等函数构成的映射
01
(z1 ) 1
w z2 i z2 i
(z2 )
注
从上半单位圆域到上半平面的映射为 w
z z

1 1

2
.
13
§6.4 几个初等函数构成的映射
第
六
章 解
共
形
1
映
射
(z)
01
1

z z

1 1
2
i
w
z1 z

z

1

2
六 章
共形映射将 D 映射成单位圆域。 P160 例6.17
共解 形 映 射
(z)
π
i
6
1r i
z1

i
zi zi
将 i 0, i ,
(w)
w
再有 要zi1求zz将kii
z z6
1
i ii
, 1,
得
ki
zi z i ,i
故6
iz1

1
iz z
z1
1 z
w z2
(z1 ) 1 0 1
z2


z1 z1
1 1
(z2 ) 01
21
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 *例 求一共形映射，将有割痕 Rez a , 0 Im z h 的上半平面
六
映射成单位圆域。
章
解 共
hi (z)
(w)
形
a
映 射
z1 z a
π 4π
4 2
πi
w1 ze 4
(w)
2i
(w1 )
π
w w14
8
8
π 4
2
4
§6.4 几个初等函数构成的映射
第 六 章
共解 形 映 射
P157 例6.14
(z)
4π 5
z1 4 z
w

(4 (4
z z
)5 )5
i i
(w)
w z2 i
1
1
z2 i
(z1 ) π 5