1 第一型曲线积分 (1)
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a
b
因此当在(2)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式. 注1：仿照定理1, 对于空间曲线积分, 当曲线 L 由参 量方程 x ( t ), y ( t ), z ( t ), t [ , ]表示时, 其计算公式为:
L
f ( x , y , z )ds
f ( ( t ), ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt .
数, 当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体
的质量. 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题.
(1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i ( i 1, 2, , n).
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
f ( P ) 为 上的连续函数, 故当 i 的弧长都很小时,
L O R x
( )
R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
3
sin 2 d 2R 4 2 0 R 3 ( sin cos )
3 2 R sin
2
x 2 ln x 1 x2
1 1 2 dx x
3 x ln xdx ln4 . 4
的圆弧 L 对于它的对 例7. 计算半径为 R ,中心角为 称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
y
I y 2 ds
L
x R cos L: y R sin
被平面
解: 由对称性可知 x 2 ds y 2 ds z 2 ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a d s a 2 π a 3 3 2 3 πa 3
2
思考: 例5中 改为 计算
, 如何
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x , y ) 为
定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L分成
n 个可求长度的小曲线段 Li ( i 1, 2, , n), Li 的弧长
记为 si , 分割 T 的细度为 || T || max si , 在 Li 上任取 一点 ( i ,i ) ( i 1, 2, , n). 若有极限
I x y 2 ( x , y )ds
L
I y x 2 ( x , y )ds
L
例6. 求线密度为 ( x , y )
y 1 x
2
的曲线段
L : y ln x ,1 x 2
对于 y 轴的转动惯量. 解
I y L
1
2
x y 1 x2
2
ds 1
注2： 当曲线 L 由方程 y ( x ), x [a , b] 表示, 且 ( x ) 在
[a , b] 上有连续的导函数时, (1)式成为
L
f ( x, y )ds f ( x, ( x )) 1 2 ( x )dx;
a
b
注3： 当曲线 L由方程 x ( y ), y [c , d ] 表示, 且 ( y )在
i 1
n
lim 0. 所以 t 0
再由定积分定义
t 0
lim f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i)t i
i 1
n
f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t )dt .
X x 1 2 2 2 2 X Y Z a 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
( X 1) ds
2
利用质心公式
2 X ds
2 3 π a 2 X 2 π a 3
圆 的质心 在原点, 故
每一小段 i 的质量可近似地等于f ( Pi ) i , 其中 i
为小曲线段 i 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式
f ( P ) .
i 1 i i
n
(3) 当对 的分割越来越细密(即 d max i 0 )
1i n
时, 上述和式的极限就应是该物体的质量.
L
f ( x , y , z )ds .
如果 L 是闭曲线 , 则记为
L
f ( x , y , z )ds .
2.积分性质
(1)
f ( x, y, z ) g ( x, y, z )ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
X 0
注： 由第一型曲线积分的 定义, 线密度为 ( x , y ) 的 曲线状物体的质心坐标：
x ( x, y )d s x ( x, y)d s
L L
y ( x, y )d s y ( x, y )d s
L L
曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为
由 2 ( t ) 2 ( t ) 的连续性与积分中值定理, 有
si 2 ( i ) 2 ( i )ti (ti 1 i ti ).
所以
f ( , )s
i 1 i i
n
i
i 1
n
2 2 f ( ( i ), ( i )) ( i ) ( i )t i ,
曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分曲面积分 积分域 区 间 平面域 曲线积分 空间域
曲线弧
曲面域
第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 第一型曲面积分（对面积的曲面积分） 曲面积分
第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）
§1 第一型曲线积分
本节将研究定义在平面或空间曲线 段上的第一型曲线积分 . 此类积分的典 型物理背景是求非均匀分布的曲线状 物体的质量. 一．第一型曲线积分的定义 二．第一型曲线积分的计算
f ( x, y , z ) d s
1
（, 为常数)
2
( 2)
f ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
组成)
(由
( l 为曲线弧 的长度)
二． 第一型曲线积分的计算
x ( t ), t [ , ], 定理1 ：设有光滑曲线 L : y ( t ), f ( x , y ) 为定义在 L 上的连续函数, 则
一．第一型曲线积分的定义
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
B
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
为计算此构件的质量, 采用
n
“分割，近似，求和，取极限”
可得
M
A
k 1
设某物体的密度函数 f ( P ) 是定义在 上的连续函
练习. 设 C 是由极坐标系下曲线 r a, 0 及 π 4 所围区域的边界, 求
y
yx ra
π 4
提示: 分段积分
O
y0 a x
例4. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
[c , d ] 上有连续导函数时, (1)式成为
L
f ( x , y )ds f ( ( y ), y ) 1 2 ( y )dy.
c
d
例1. 设 L 是半圆周
x a cos t , L: 0 t π, y a sin t ,
试计算第一型曲线积分 L 提示.
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (2)
令 t max{t1 , t 2 ,, t n }, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0.
这里 t i 1 i , i ti . 设
f ( ( i), ( i))[ 2 ( i ) 2 ( i ) 2 ( i) 2 ( i)]ti ,
i 1 n
则有
f ( , )s
L
f ( x, y ) ds
2 2 f ( ( t ), (t )) (t ) ( t )dt . (1)
证： 由弧长公式知道, L 上由 t ti 1 到 t ti 的弧长
si
ti t i 1
2 ( t ) 2 ( t )dt .
L
2 O
2x
提示: 利用对称性 2 xy ds 0
L
x2 y2 原式 =12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds
L上
2 xy ds
L下
2 xyds
2x
2 x( )
例5. 计算
其中 为球面 所截的圆周.
[ , ]上一致连续, 即对任给的 0, 必存在 0,
使当 t 时,
2 ( i) 2 ( i) 2 ( i ) 2 ( i ) ,
从而
| | M t i M (b a ),
0
y2 y 1 dy 4
2 3 2 2 0
2 y 2 (1 ) 3 4 4 (2 2 1). 3
例3. 计算曲线积分 线
其中 为螺旋
的一段弧.
2
解: ( x y z ) d s
2 2
a k
2
2
0
2π
[a 2 k 2 t 2 ] d t
2π 2 a k 2 (3a 2 4 π 2 k 2 ) 3
例8. 设均匀螺旋形弹簧 L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 I z ; (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). (1) I z ( x y ) d s
(0 π ) 4
π 4 r cos
L1 : r a cos 2
利用对称性 , 得
O
x
4 4
π 0 4 a 2 cos
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
d
x2 y2 练习. 已知椭圆 L : 1 周长为a , 求 y 4 3 2 2 3 ( 2 xy 3 x 4 y ) d s
n ||T ||0 i 1
1 i n
lim f ( i , i )si J ,
且 J 的值与分割 T 与点 ( i , i ) 的取法无关, 则称此 极限为 f ( x, y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L
f ( x , y )ds .
若 L为空间可求长曲线段 , f ( x , y , z ) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x , y , z )在空间曲线 L 上 的第一型曲线积分, 并且记作
( x 2 y 2 )ds .
(x
L
2
y )ds a
wk.baidu.com2 0
π
2
a (cos t sin t )dt a π.
2 2 2 3
解
例2.设 L 是 y 2 4 x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段,
试计算第一型曲线积分 L yds . 解
A
L
yds
2
t 0
因为复合函数 f ( ( t ), ( t )) 关于 t 连续, 所以在闭区 间 [ , ]上有界, 即存在常数 M , 使对一切 t [ , ] 都有
| f ( ( t ), ( t )) | M .
再由 2 ( t ) 2 ( t ) 在 [ , ] 上连续, 所以它在
b
因此当在(2)式两边取极限后, 即得所要证的(3)式. 注1：仿照定理1, 对于空间曲线积分, 当曲线 L 由参 量方程 x ( t ), y ( t ), z ( t ), t [ , ]表示时, 其计算公式为:
L
f ( x , y , z )ds
f ( ( t ), ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t ) 2 ( t )dt .
数, 当 是直线段时, 应用定积分就能计算得该物体
的质量. 现在研究当 是平面或空间中某一可求长度的曲线 段时物体的质量的计算问题.
(1) 分割：把 分成 n 个可求长度的小曲线段 i ( i 1, 2, , n).
(2) 近似求和：在每一个 i 上任取一点 Pi . 由于
f ( P ) 为 上的连续函数, 故当 i 的弧长都很小时,
L O R x
( )
R 2 sin 2 ( R sin ) 2 ( R cos ) 2 d
3
sin 2 d 2R 4 2 0 R 3 ( sin cos )
3 2 R sin
2
x 2 ln x 1 x2
1 1 2 dx x
3 x ln xdx ln4 . 4
的圆弧 L 对于它的对 例7. 计算半径为 R ,中心角为 称轴的转动惯量 I (设线密度 = 1). 解: 建立坐标系如图, 则
y
I y 2 ds
L
x R cos L: y R sin
被平面
解: 由对称性可知 x 2 ds y 2 ds z 2 ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a d s a 2 π a 3 3 2 3 πa 3
2
思考: 例5中 改为 计算
, 如何
定义1 设 L 为平面上可求长度的曲线段, f ( x , y ) 为
定义在 L 上的函数. 对曲线 L 做分割 T ,它把 L分成
n 个可求长度的小曲线段 Li ( i 1, 2, , n), Li 的弧长
记为 si , 分割 T 的细度为 || T || max si , 在 Li 上任取 一点 ( i ,i ) ( i 1, 2, , n). 若有极限
I x y 2 ( x , y )ds
L
I y x 2 ( x , y )ds
L
例6. 求线密度为 ( x , y )
y 1 x
2
的曲线段
L : y ln x ,1 x 2
对于 y 轴的转动惯量. 解
I y L
1
2
x y 1 x2
2
ds 1
注2： 当曲线 L 由方程 y ( x ), x [a , b] 表示, 且 ( x ) 在
[a , b] 上有连续的导函数时, (1)式成为
L
f ( x, y )ds f ( x, ( x )) 1 2 ( x )dx;
a
b
注3： 当曲线 L由方程 x ( y ), y [c , d ] 表示, 且 ( y )在
i 1
n
lim 0. 所以 t 0
再由定积分定义
t 0
lim f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i)t i
i 1
n
f ( ( t ), ( t )) 2 ( t ) 2 ( t )dt .
X x 1 2 2 2 2 X Y Z a 解: 令 Y y 1 , 则 : X Y Z 0 Z z
( X 1) ds
2
利用质心公式
2 X ds
2 3 π a 2 X 2 π a 3
圆 的质心 在原点, 故
每一小段 i 的质量可近似地等于f ( Pi ) i , 其中 i
为小曲线段 i 的长度. 于是在整个 上的质量就近似地等于和式
f ( P ) .
i 1 i i
n
(3) 当对 的分割越来越细密(即 d max i 0 )
1i n
时, 上述和式的极限就应是该物体的质量.
L
f ( x , y , z )ds .
如果 L 是闭曲线 , 则记为
L
f ( x , y , z )ds .
2.积分性质
(1)
f ( x, y, z ) g ( x, y, z )ds f ( x, y , z ) d s g ( x, y , z ) d s
X 0
注： 由第一型曲线积分的 定义, 线密度为 ( x , y ) 的 曲线状物体的质心坐标：
x ( x, y )d s x ( x, y)d s
L L
y ( x, y )d s y ( x, y )d s
L L
曲线状物体对于 x , y 轴的转动惯量分别为
由 2 ( t ) 2 ( t ) 的连续性与积分中值定理, 有
si 2 ( i ) 2 ( i )ti (ti 1 i ti ).
所以
f ( , )s
i 1 i i
n
i
i 1
n
2 2 f ( ( i ), ( i )) ( i ) ( i )t i ,
曲线积分与曲面积分
积分学 定积分二重积分三重积分 曲线积分曲面积分 积分域 区 间 平面域 曲线积分 空间域
曲线弧
曲面域
第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） 第二型曲线积分（对坐标的曲线积分） 第一型曲面积分（对面积的曲面积分） 曲面积分
第二型曲面积分（对坐标的曲面积分）
§1 第一型曲线积分
本节将研究定义在平面或空间曲线 段上的第一型曲线积分 . 此类积分的典 型物理背景是求非均匀分布的曲线状 物体的质量. 一．第一型曲线积分的定义 二．第一型曲线积分的计算
f ( x, y , z ) d s
1
（, 为常数)
2
( 2)
f ( x, y , z ) d s
f ( x, y , z ) d s
组成)
(由
( l 为曲线弧 的长度)
二． 第一型曲线积分的计算
x ( t ), t [ , ], 定理1 ：设有光滑曲线 L : y ( t ), f ( x , y ) 为定义在 L 上的连续函数, 则
一．第一型曲线积分的定义
1.引例: 曲线形构件的质量 假设曲线形细长构件在空间所占 弧段为AB , 其线密度为
B
Mk ( k ,k , k ) s k M k 1
为计算此构件的质量, 采用
n
“分割，近似，求和，取极限”
可得
M
A
k 1
设某物体的密度函数 f ( P ) 是定义在 上的连续函
练习. 设 C 是由极坐标系下曲线 r a, 0 及 π 4 所围区域的边界, 求
y
yx ra
π 4
提示: 分段积分
O
y0 a x
例4. 计算
其中L为双纽线
(x2 y2 ) 2 a2 (x2 y2 ) ( a 0 )
解: 在极坐标系下 它在第一象限部分为
y
[c , d ] 上有连续导函数时, (1)式成为
L
f ( x , y )ds f ( ( y ), y ) 1 2 ( y )dy.
c
d
例1. 设 L 是半圆周
x a cos t , L: 0 t π, y a sin t ,
试计算第一型曲线积分 L 提示.
i 1 i i n i 1
n
i
f ( ( i), ( i)) 2 ( i) 2 ( i )t i . (2)
令 t max{t1 , t 2 ,, t n }, 则当 T 0 时, 必有
t 0. 现在证明 lim 0.
这里 t i 1 i , i ti . 设
f ( ( i), ( i))[ 2 ( i ) 2 ( i ) 2 ( i) 2 ( i)]ti ,
i 1 n
则有
f ( , )s
L
f ( x, y ) ds
2 2 f ( ( t ), (t )) (t ) ( t )dt . (1)
证： 由弧长公式知道, L 上由 t ti 1 到 t ti 的弧长
si
ti t i 1
2 ( t ) 2 ( t )dt .
L
2 O
2x
提示: 利用对称性 2 xy ds 0
L
x2 y2 原式 =12 ( )ds 12 ds 12a L 4 L 3
分析:
L
2 xy ds
L上
2 xy ds
L下
2 xyds
2x
2 x( )
例5. 计算
其中 为球面 所截的圆周.
[ , ]上一致连续, 即对任给的 0, 必存在 0,
使当 t 时,
2 ( i) 2 ( i) 2 ( i ) 2 ( i ) ,
从而
| | M t i M (b a ),
0
y2 y 1 dy 4
2 3 2 2 0
2 y 2 (1 ) 3 4 4 (2 2 1). 3
例3. 计算曲线积分 线
其中 为螺旋
的一段弧.
2
解: ( x y z ) d s
2 2
a k
2
2
0
2π
[a 2 k 2 t 2 ] d t
2π 2 a k 2 (3a 2 4 π 2 k 2 ) 3
例8. 设均匀螺旋形弹簧 L的方程为 (1) 求它关于 z 轴的转动惯量 I z ; (2) 求它的质心 . 解: 设其密度为 ρ (常数). (1) I z ( x y ) d s
(0 π ) 4
π 4 r cos
L1 : r a cos 2
利用对称性 , 得
O
x
4 4
π 0 4 a 2 cos
0
r 2 ( ) r 2 ( ) d
d
x2 y2 练习. 已知椭圆 L : 1 周长为a , 求 y 4 3 2 2 3 ( 2 xy 3 x 4 y ) d s
n ||T ||0 i 1
1 i n
lim f ( i , i )si J ,
且 J 的值与分割 T 与点 ( i , i ) 的取法无关, 则称此 极限为 f ( x, y ) 在 L 上的第一型曲线积分, 记作
L
f ( x , y )ds .
若 L为空间可求长曲线段 , f ( x , y , z ) 为定义在 L上 的函数, 则可类似地定义 f ( x , y , z )在空间曲线 L 上 的第一型曲线积分, 并且记作
( x 2 y 2 )ds .
(x
L
2
y )ds a
wk.baidu.com2 0
π
2
a (cos t sin t )dt a π.
2 2 2 3
解
例2.设 L 是 y 2 4 x 从 O(0,0) 到 A(1,2) 一段,
试计算第一型曲线积分 L yds . 解
A
L
yds
2
t 0
因为复合函数 f ( ( t ), ( t )) 关于 t 连续, 所以在闭区 间 [ , ]上有界, 即存在常数 M , 使对一切 t [ , ] 都有
| f ( ( t ), ( t )) | M .
再由 2 ( t ) 2 ( t ) 在 [ , ] 上连续, 所以它在