2.1-液压控制系统的数学模型

• 其中，u(t)是输入量，y(t)是输出量，在实际对象 中n>=m。如果对象处在零初始条件，上式经拉 式变换后，其传递函数为
Y ( s ) bm 1 s m bm s m 1 b2 s b1 G ( s) U ( s) s n an s n 1 a2 s a1
负载流量与负载压力
• 定义负载流量
• 定义负载压力
1 Q L (Q1 Q2 ) 2
p L p1 p2
• 对于对称液压缸，假定活塞处于中位并 使液压缸两腔初始容积相等，这时压缩 流量对Q1 和Q2 的影响相同， 则Q1 和 Q2相等，可得 p p p
s 1 2
负载流量线性化方程
• 动态方程
x Ax Bu y Cx Du
• 式中
0 A k m
1 0 b , B 1 ， 1 0 D 0 C ， m m
该系统的状态变量方块图
u
1 m
x2
b m

-
x2

x1 y
-
k m
• 注意，积分器的输出为状态变量 • 所谓状态变量方块图，就是根据系统的动 态方程的频域描述所做出的方块图 • 具有比例积分两种典型环节 • 便于模拟电路装置和计算机实现
式中 Vt V1 V2 2V0
dt
4 e
dt
力平衡方程
• 考虑惯性负载，忽略库仑摩擦等非线性因 素以及油液的质量和弹性负载的条件下， 来建立力平衡方程。根据牛顿第二定律可 以得到 2
dy F A p ( p1 p 2 ) A p p L m 2 Bc dt dt d y
•
• •
阀口流量方程
• 当阀作正向移动时， • 流进液压缸进油腔的流量为
• 由液压缸回油腔流出的流量为 2 p2 Q2 Cd xv
Q1 Cd xv 2( p s p1 )

式中 Cd ——为滑阀流量系数； ω——滑阀阀口的面积梯度，(m)； xv——阀芯位移，(m)； ρ——压力油密度，(kg/m3)； p1、p2 ——为液压缸活塞两边压力，(pa )
T 1 2 n
状态方程 输出方程
x(t ) Ax(t ) bu(t ) y(t ) Cx(t ), x(t0 )
• 该机械系统是线性的。外力u(t)是系统的输 入量，质量的位移y(t)是系统的输出量。位 移y(t)从无外力作用时的平衡位置开始计算。 该系统是个单输入单输出系统。 • 可以得到系统方程
• 机电液一体化的理论基础——键合图理论 （Power Bond Graph）——多学科仿真软件 AMESim
§2.2动态系统数学模型的两种模式
• 输入输出模式：线性常微分方程或传递函数 • 状态变量模式：动态方程，包括状态方程与输出 方程
2.2.1微分方程和传递函数
• 若对象的特性是线性时不变的，即可用线性常微 分方程来描述
y ( n ) (t ) an y ( n 1) (t ) an 1 y ( n 2) (t ) a2 y (t ) a1 y (t ) bm 1u ( m ) (t ) bmu ( m 1) (t ) b2u (t ) b1u (t )
传递函数
• 在液压控制系统动态特性分析上用的较多 （基于古典控制理论） • 把液压控制系统转化为线性系统（例如阀 口流量方程） • 为了便于分析，液压控制系统经常简化为 三阶系统 • 用于分析系统的稳定性（分析参数对稳定 性的影响以及分析系统的稳定余量）
传递函数法的局限
• 线性化可能造成很大的误差 • 不适合多输入多输出系统 • 它只描绘系统的输出变量，对系统内部的 其他变量不给出任何信息 • 不适合初始条件不为零的情况 • 只有系统相当简单的时候，才能求取瞬态 响应
式中m——活塞及负载的总质量，(kg)； Bc——活塞和负载的粘性阻尼系数，(N/(m/s))； F——液压缸产生的驱动力，(N)
传递函数……
• 三个基本方程
QL K q xv K c pL Vt dpL dy QL A p C tc p L dt 4 e dt d2y dy A p p L m 2 Bc dt dt
PL
Ap
fa
1 m

x2

x1 y
x3

Kc
Ctc
4e Vt
Bc
xv
Kq
QL
Ap
• 任何线性系统都可以写成动态方程的统一形式 • 求解系统状态方程，很容易考虑初始条件，既有 由初始状态所决定的零输入解，又有由输入量决 定的零状态解 • 完全描述一个动态系统的需要的状态变量的个数 是由系统的阶数决定的，但是状态变量的选择不 是唯一的。状态变量可以选择能够测量的物理量， 也可以选择不容易观测的物理量，或者不具任何 物理意义的表达式
状态方程
• 三个基本方程
QL K q xv K c pL
Vt dpL dy QL A p C tc p L dt 4 e dt d2y dy A p p L m 2 Bc dt dt
• 定义三个状态变量x1(t)、 x2(t) 和x3(t)为
x1 (t ) y(t ) x2 (t ) y(t )
• 此时，负载流量方程化为
Q L C d x v ps pL

• 对其线性化后得到
QL K q xv K c pL
滑阀总的流量增益 滑阀总的流量压力系数
Kq
( ps p L ) QL Cd xv
QL C d xv ( p s p L ) Kc p L 2( p s p L )
如何导出状态方程 （例二液压位置伺服系统）
• 基于液压系统的三个基本方程，即阀口的 流量方程、液压缸的流量连续性方程、液 压缸负载的力平衡方程
伺服作动器的三种结构形式
•
• •
双出杆对称 作动器 单出杆非对 称作动器 单出杆对称 作动器
三种作动器比较
作动器形式 所需 负载 空间 驱动特点 刚度 所需 流量 结构 复杂性 价格
2.2.3两种模式的相互转换
• 由动态方程到传递函数 • 由传递函数到动态方程
由动态方程到传递函数
• 对单入单出动态方程进行拉氏变换，得到
x Ax bu y cT x
sX ( s ) X (0) AX ( s ) bU ( s ) Y ( s ) cT X ( s )
• 对以上三式进行拉式变换，求出其传递函数
Kq Ap Y 1 G( s) BcVt Bc Kce X V s Vt m 2 mKce s ( 2 ) s (1 ) 2 2 2 4e Ap Ap 4e Ap Ap
• 思考：根据三个基本方程，如何选取状态变 量，进而给出状态方程与输出方程？
机电液系统的相似性
• 影响各类系统动态性能的因素，一般可以归纳 为三类，即阻尼、弹性（或容性）和惯性（或 感性） • 系统之间功率流的传递
– 机械系统：力与速度的乘积 Power F v – 电气系统：电压与电流的乘积 Power u i – 液压系统：压力与流量的乘积 Power p q
• 液压系统中所使用的 油液是可压缩的，即 具有弹性 • 液容C可能是常量，也 可能不是常量，例如 液压缸容腔随活塞位 置的变化，油液体积 弹性模量的变化
1 p V qdt V0 C
e
油液的惯性
• 与机械物体一样，液体在流动中，当其流速变 化时，也有惯性的作用
• 要使管道中质量为m的液体产生加速度 所需的外力为
dy V0 dp1 Q1 Ctc ( p1 p 2 ) A p dt e dt
同理，可得到液压缸低压腔的连续性方程为
dy V0 dp2 Ctc ( p1 p2 ) Q2 Ap dt e dt
两式相减 Q A dy C p Vt dpL L p tc L
机械系统
• 机械阻尼
粘性摩擦力F f v
• 机械弹性
• 机械惯性
1 弹性力F kx v dt F0 C
dv 惯性力F ma m dt
电气系统
• 电阻
u Ri
• 电容
1 u i d阻尼 • 液体弹性 • 油液的惯性
流量连续性方程
假定： • 所有连接管道都是短而粗的，管道内的摩 擦损失、流体质量影响和管道动态特性忽 略不计； • 液压缸每个工作腔内各处压力相同，油液 温度和容积弹性模量可以认为是恒定不变 的常数； • 液压缸的内、外泄漏为层流流动； • 忽略液压缸的外泄漏
• 液压缸进油腔的流量连续性方程可以写成
液压控制系统数学模型及求解
姜洪洲 哈尔滨工业大学机电学院 流体控制及自动化系
主要内容
• 数学模型 • 数学模型的描述形式 • 系统动态响应的求解
§2.1 数学模型
• 要分析和综合液压控制系统，首先要建立它的数 学模型； • 系统的数学模型是描述系统中各物理变量之间关 系的数学表达式； • 控制系统是动态系统，变量与时间有关，因此数 学模型常用微分方程或差分方程来描述； • 要建立控制系统的数学模型，必须了解其内部的 物理规律，例如电路基本定律、力学定律、热平 衡与传热、流体力学定律； • 另外如果对系统的机理不清楚，还可以采用系统 辨识方法。
x3 (t ) p L (t )
• 于是得到状态方程
x1 x2 x2 x3 Ap b x2 x3 m m 4 e 4 e 4 e A p x2 ( K c Ctc ) x3 K q xv Vt Vt Vt
• 输出方程
y x1
系统状态变量方块图
y x1
采用向量矩阵表示
• 状态方程
x1 0 k x 2 m
• 输出方程
1 x 0 b 1 1 u x2 m m
x1 y 1 0 x2
写成标准形式
如何导出状态方程 （例一机械系统）
m by ky u y
• 定义两个状态变量x1(t)和x2(t)为
x1 (t ) y (t ) x2 (t ) y (t )
• 于是得到状态方程
x1 x2 k b 1 x2 x1 x2 u m m m
• 输出方程
双出杆对称
大
双向对称
高
小
简单
较低
单出杆非对称
小
不对称
低
大
简单
较低
单出杆对称
小
双向对称
高
小
复杂
较高
对称阀控制对称缸
Ap
y
m
F
p1
3 2 1 4
p2
Q1
Q2
xv
Ps
P 0
几点假设
• • 所采用的阀是理想零开口四通对称滑阀， 四个节流窗口是完全匹配和对称的； 节流口处的流动为紊流，忽略流体在阀中 的可压缩性； 阀具有理想的响应能力，即对于阀芯的位 移和阀压降的变化相应的流量变化能瞬间 发生； 液压缸为理想双出杆对称液压缸； 供油压力Ps恒定，回油压力Po为0
2.2.2动态方程： 状态方程和输出方程
• 要完全描述一个动态系统，需要一组独立的状 态变量，其个数等于系统的阶数，即系统中所 包含的独立储能元件的个数。
• 一个n阶系统，可以选择n个状态变量 x1,x2,…,xn,由这些状态变量组成一个n维状 态向量，即 x [ x x x ] • n阶系统线性定常系统状态变量模式数学模 型的一般形式
dv F m dt
• 管道中流动液体的质量
• 管道中液体的流量
m lA
q v A
液感
• 液体两端的压力差
• 则有
F p A l dq p A dt I
• 令 • 则
l
A dq p I dt
• 一般，只有在细长管道中，当液体流量的变化 急剧，才需考虑液感的影响
液压阻尼
• 流体流经液压 阻尼例如阻尼 孔或阀口时， 会产生压力降， 压力降的大小 与流经液压阻 尼处的流量有 关
p Rq 128 l p q Rq 4 d 2 q Cd wx p
直管细长孔层流
薄壁阀口（非线性）

薄壁阀口（线性）
q Kq xv Kc p
液体弹性