直动式溢流阀结构参数的优化设计

较差［２］。图 １ 是其工作原理图，其计算简化图如图
２ 所示。
调节螺母
调压弹簧
ａ
ｂ ｃ 进油口 Ｐ ｅ 阀体
上盖 ｇ
ｈ 阀芯
回油口 Ｏ ｆ ｄ
图１ 直动式溢流阀工作原理图
ｑ ａ
Ｋ３
ｇ
Ｐａ
ａ
ｂｈ
Ｐ ２
Ｌ ｘ
ｑｂ
ｑ ２
ｃ
Ｐ
１
ｑ １
ｑ ｃ
ｅ ｄ
ｆｑ ｄ
Ａｙ
Ｐ ｄ
图２ 直动式溢流阀计算简图
当阀的进口流量 ｑ１发生变化时（或者与其相连 的负载流量 ｑＬ 发生变化时），进口油压 Ｐ１ 也发生变 化，形成对阀的一个扰动，由此引起阀芯移动，从
—阀芯端面积；Ｖｄ — ｄ 腔的容积；ＣＬ —泄漏系数；
Ｖｃ — ｃ 腔的容积；Ｋ —液体体积弹性模量；Ｐｄ — ｄ
腔的压力；Ｐ ，Ｐ —分别为进口压力和出口压力。
１
２
设阀中的参数 ｑ１，ｘ，Ｐ１，Ｐ２ 在某平衡工作点
工作的值为 ｑ１０，ｘ０，Ｐ１０，Ｐ２０（以脚标“０”表示稳
态工作点），对式（１）进行线性化，并进行拉氏
提高。下面用 １ 个实例说明其优化的求解过程。
某一液压系统中的直动式溢流阀，已知其参数
如下（符号含义同前）：
Ｐ
＝２．
１０
５×１０６ Ｐａ；Ｃｄ ＝０．８５；θ
＝７０°；
ρ ＝９８０ Ｎ／ｍ３； ｘ０＝０．０２ｍ；ｑ１０ ＝２．５ Ｌ／ｍｉｎ。
其原始结构参数为（下面符号下脚标“０”表
示为原始数据）：
统方块图，如图 ３ 所示。
由图 ３ 可以写出其传递函数为：
Φ（ｓ）＝
Ｐ１（ｓ） ＝
Ｑ１（ｓ）
ｐ －ｐ
１０
ｑ
２０×
１０
２（ｍｙｓ２＋Ｂｙｓ＋Ｋｙ）
ｍｙｓ２＋［Ｂｙ＋２（ｐ１０－ｐ２０） Ａｑ Ａ １０＇ ］ｓ＋［Ｋｙ＋２（Ｐ１０－Ｐ２０） Ａｘ ＇０ ］＋
Ｐ２（ｓ） Ｑ１（ｓ）
（５）
Ｑ１（ｓ）
ｂ
根据流动液体连续性原理和阀口的流量压力特
性可得以下关系式［３：］
√ ｑ ＝Ｃ Ｗｘ １ｄ
２ ρ
（ｐ －ｐ ） １２
＋
Ａ
ｄｘ ｄｔ
＋
Ｖｄ Ｋ
．ｄＰｄ
ｄｔ
＋ ＣＬ Ｐ１＋
Ｖｃ Ｋ
．ｄＰ１
ｄｔ
（１）
式中：Ｃｄ —阀口流量系数；Ｗ —阀口面积梯度； ｘ —阀口开启量（阀芯位移量）；ρ —液体密度；Ａ
２ｙ２］
{ξ１（ｘｓ（ｕ３ｂ）ｊ２ｅｘｃ（ｔ４ ｔ）ｏ＋ｘ（３）［ｘ（２）－２Ｃｄ × ２ 箈（３）ｘ０ｃｏｓθ］｝ｙ
ｇ１（ｘ）＝２９ ５８０－ｘ（１）≤0 ｇ２（ｘ）＝ｘ（１）－３８ ４２０≤0 ｇ３（ｘ）＝０．０５４ ６－ｘ（２）≤0 ｇ４（ｘ）＝ｘ（２）－０．０７１ ０≤0 ｇ５（ｘ）＝０．０００ １７４－ｘ（３）≤0 ｇ６（ｘ）＝ｘ（３）－０．０００ ２２６≤0 ｇ７（ｘ）＝４７ ８５０ ０００ ０００－ｘ（４）≤0 ｇ８（ｘ）＝ｘ（４）－６２ １５０ ０００ ０００≤0 ２．２ 利用 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 优化工具箱求解［ ５ ］
ｓ
ｙ
ｘ（３）＝Ａ＝０．０００ ２２６ｍ２； ｘ（４）＝Ｒｄ≈５．０×１０７ Ｎ·Ｓ／ｍ５
优化后的动态刚度值：
Ｙ（ωｎ）＝
１ ≈ ３．１４ × 10-9ｍ ３／ （ ｓ ·Ｐａ）
ｆｖａｌ
而优化前的动态刚度值： Ｙ（ωｎ０）≈１．５１×１０－１１ｍ３／（ｓ·Ｐａ） 可见，通过优化溢流阀的结构参数后，阀的动 态刚度大大提高了。
ｙ
＋
ｑ
１０
ｘ０
×Ａ＇ ）
（６） 令 ξ １ ＝ ２ ｑ Ｐ １ １０ ０ ，ξ ２ ＝ ｑ ｘ １０ ０ 则式（６）可化为：
Φ（ｓ）＝
Ｐ１（ｓ） Ｑ１（ｓ）
＝
ｍｙｓ２＋Ｂｙｓ＋Ｋｙ ξ１×ｍｙｓ２＋（ξ１ ×Ｂｙ＋ＡＡ＇ ）ｓ＋（ξ１×Ｋｙ＋ξ２×Ａ＇ ）
（７）
以上式子表明，当不计一些次要影响因素后，
１ ｆ （ｘ）＝
Ｙ ＝
√ {[ｘ（１）＋２Ｃｄ × ２ 箈（ω（ｎ３））Ｐ１０ｃｏｓθ－ｘ（２）ｙ２］２＋ｘ（３）４ｘ（１４２ ）
２ｙ２}
√
{ξ１ｘ（３）２ｘ（４）＋ｘ（３）［ｘ（３）－２Ｃｄ × ２ 箈（３）ｘ０ｃｏｓθ］｝ 则优化数学模型如下ｙ：
ｍｉｎｆ （ｘ）＝
√ [（ｘ（１）＋ ２Ｃｄ × ２ 箈（３）Ｐ１０ｃｏｓθ－ｘ（２）ｙ２）２＋ｘ（３）４ｘ（１４２ ）
量相等，流入 ｄ 腔的流量正好等于自 ａ 腔流出的流
量，即：
ｑｂ＝ｑｃ，ｑａ＝ｑｄ，ｑ１＝ｑｃ＋ｑｄ＝ ｑａ＋ｑｂ＝ ｑ２ １．２ 阀芯的受力平衡方程式
忽略阀芯的摩擦阻力和自重，且不考虑油液的
可压缩性，可列出其力的平衡方程式，然后对其进
行线性化，并略去微小项 ｄ （ Ｐ １－ Ｐ ２） ，可得以
直动式溢流阀可简化为一个二阶的自动控制系统，
其无阻尼自然频率 ωｎ 和阻尼比 ξ 分别为：
√ √ ωｎ ＝
Ｋｙｘ０＋２Ｐ１０Ａ＇ ｍｙｘ０
＝
ξ１Ｋｙ＋ξ２Ａ＇ ξ１ｍ ｙ
√ Ｂ ｑ ＋２ｐ ＡＡ＇
ξ ＝
ｙ １０
１０
２ｑ１０
＝
ｘ０ (Ｋｓｘ０＋２Ｐ１０ Ａ＇)ｍｙ
（８）
２ 溢流阀结构参数优化
如果系统负载出现突变，从而使负载流量 ｑＬ发 生变化，迫使输入溢流阀的流量 ｑ１ 也发生变化，从 而会产生流量脉动。我们可认为它是一个对溢流阀
［Ｐ１（ｓ）－Ｐ２（ｓ）］＋
Ｖｄ Ｋ
Ｐｄ （ｓ）＋（ＣＬ＋
ｖｃ
Ｋ
）Ｐ１（ｓ）
若不考虑泄漏和液体的压缩，则简化上式为：
√ Ｑ１（ｓ）＝ ［Ａｓ ＋ ＣｄＷ
２ ρ
（ｐ －ｐ ）］ Ｘ（ｓ） １０ ２０
＋
√ Ｃ ｄＷ ｘ ０ ［Ｐ１（ｓ）－Ｐ２（ｓ）］
2ρ
（Ｐ －Ｐ ） １０ ２０
（２）
此时，流入 ｂ 腔的流量正好与自 ｃ 腔流出的流
７８
《新技术新工艺》·机械加工工艺与装备 ２００７年 第５期
的交变干扰信号。在实际应用中，我们总希望溢流
阀具有较强的抗突变信号的能力，其能力用动态刚
度来衡量，其定义为［４］：
Ｙ（ω）＝
Ｑ１（Ｓ） Ｐ１（Ｓ）
＝
ξ１ Ｋｙ＋ ξ２ Ａ＇ －ξ １ ｍｙω２＋（ ξ１ Ｂｙ＋ＡＡ＇ ） ｊω
关键词：溢流阀；Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ ；动态刚度；结构参数；优化 中图分类号：ＴＨ１３７．５２１ 文献标识码：Ｂ
溢流阀是液压系统中的压力控制元件，通过阀 口的开启溢流，使被控制系统或回路的压力维持恒 定，实现稳压、调压或限压作用，按其结构不同，
溢流阀可分为直动式和先导式两类［１］。其中直动式
溢流阀具有结构简单、灵敏度高的特点，但其刚度
ｙ０ ｙ
ｙ０
ｙ
０．８７Ａ０＜Ａ＜１．１３Ａ０，即 １．７４ × １０－４＜Ａ＜２．２６× １０－４；
０．８７Ｒｄ０＜Ｒｄ＜１．１３Ｒｄ０，
即 ４．７８５ ０ ×１０１０＜Ｒ ＜６．２１５ ０ ×１０１０。 ｄ
解决优化问题的方法有许多种，下面利用
ＭＡＴＬＡＢ 优化工具箱来求解本优化问题［５］。
２．１ 建立数学模型
而改变流通面积，力图使压力 Ｐ 恢复到原调定的 １
值上。显然，溢流阀利用了反馈原理，阀的控制过
程类似于一个闭环伺服系统，它的输入是进口流量 的变化，而输出是进口压力的变化，反馈是阀芯的 位移。液压阀的种类较多、功能各异，但其具有共 同点：在实质上可看作是受到外部激励的弹簧—质 量—阻尼系统。下面利用控制系统理论，将溢流阀 看成为一个控制系统，通过建立液压系统压力与系 统流量的关系模型，推导出其动态刚度函数，然后 以提高溢流阀的动态刚度为目标，讨论其结构参数 优化的问题。
本问题目标函数为式（１０），为了便于优化求
解目标函数的最大化，可将目标函数变成倒数形
式，即：
√ 令 ｙ＝ωｎ＝
ξ１Ｋｙ＋ξ２Ａ＇ ξ１ｍｙ
＝
√ √ √ ξ１［ｘ（１）＋２Ｃｄ × ２ 箈（３）Ｐ１０ｃｏｓθ］＋ξ２［ｘ（３）－２Ｃｄ × ２ 箈 （３）ｘ０ｃｏｓθ]
化简可得：
ξ１ ｘ（ ２ ）
溢流阀结构参数的优化设计
刘忠伟 １，２，邓英剑 １
（１．湖南工业大学 冶金校区机械系，湖南 株洲 ４１２０００ ； ２．中南大学 机电工程学院，湖南 长沙 ４１００８３）
摘 要：溢流阀是液压系统中的压力控制元件，其动态性能与其结构参数有很大关系。本文利用控 制系统理论，将溢流阀看成为一控制系统，通过建立液压系统压力与系统流量的关系模型，推导其动态 刚度函数，以提高溢流阀的动态刚度为目标，借助于 Ｍ Ａ Ｔ Ｌ Ａ Ｂ 的优化工具箱进行结构参数优化。
Φ（ｓ）＝
Ｐ１（ｓ） Ｑ１（ｓ）
＝
Ｐ １０
ｑ １０
×
２（ｍｙｓ２＋Ｂｙｓ＋Ｋｙ）
ｍｙｓ２＋（Ｂｙ＋２Ｐ１０× Ａ ｑ Ａ１ ０＇）ｓ＋（Ｋｙ＋２Ｐ１０ × Ａｘ ＇ ０ ）
＝
ｍｙｓ２＋Ｂｙｓ＋Ｋｙ
ｑ ２Ｐ１１００×
ｍｙｓ２＋
（２ｑＰ１１００ ×
Ｂｙ＋ＡＡ＇）ｓ＋（
ｑ ２Ｐ１１００×Ｋ
运行后结果如下：
ｘ ＝ １．０ｅ＋００７ ＊
０．００２ ９５８ ０００ ０００ ００ ０．０００ ０００ ００７ １００ ００
０．０００ ０００ ０００ ０２２ ６０ ４．９９９ ３４９ ０８０ ８７９ ０９
ｆｖａｌ ＝ ３．１８５ ３５５ ６９４ ２０４ ８０１ｅ＋００８即：
ｘ（１）＝Ｋ ＝２９ ５８０ Ｎ／ｍ； ｘ（２）＝ｍ ＝０．０７１ｋｇ；
１ 溢流阀数学模型的建立
１．１ 溢流阀流量方程式
如图 ２ 所示，为了方便起见，将径向孔 ｅ 和阻
尼孔 ｆ 画在阀芯外面，这在作用上是完全一样的。
若在某瞬间进入溢流阀的流量为 ｑ１，其中流入 ｃ 腔 的流量为 ｑｃ，流入 ｄ 腔的流量为 ｑｄ，同一瞬间流出 溢流阀的流量为 ｑ２，其中来自 ａ 腔的流量为 ｑａ，ｂ 腔的流量为 ｑ 。
Ｋｙ － ｍｙω２＋Ｂｙ ｊω
＝ (ξ１ Ｋｙ＋ξ２Ａ＇ －ξ１ ｍｙω２）２＋（ξ１ Ｂｙ＋ＡＡ＇ ） ２ω2
（９）
√ （Ｋｙ － ｍｙω２）２＋Ｂｙ ２ω2
从式（９）可知，当 ω ＝ Ｙ（ω）最小。
ξ１ Ｋξｙ１＋ ｍξｙ２ Ａ ＇ ＝ωｎ 时，
Ｙ （ ωｎ ） ＝
１
（ξ１ Ｂｙ＋ＡＡ＇ ）２ωｎ2
变换有：
７７
√ Ｑ１（ｓ）＝ＣｄＷ
√ ２ （Ｐ －Ｐ ）Ｘ（ｓ）＋ Ｃ ｄＷ ｘ ０
ρ １０ ２０
2ρ（Ｐ１０－Ｐ２０）
［Ｐ１（ｓ）－Ｐ２（ｓ）］＋ＡｓＸ（ｓ）＋
Ｖｄ Ｋ
Ｐｄ（ｓ）＋ＣＬＰ１（ｓ）＋
ｖｃ
Ｋ
Ｐ１（ｓ）
√ ＝ ［ Ａ ｓ ＋ Ｃ ｄ Ｗ
√ ２
ρ
（Ｐ１０－Ｐ２０）］ Ｘ（ｓ） ＋
ＣｄＷｘ０ × 2ρ（Ｐ１０－Ｐ２０）
Ａ０＝０．００２ ｍ２； Ｋｓ０＝３４ ０００ Ｎ／ｍ３； ｍｙ０＝０．０６２ ８ ｋｇ；
Ｒ ｄ
０＝
５．５
×
１
０
１０
Ｎ·ｓ／ｍ
３。
根据文献［４］其约束条件如下：
０．８７Ｋｓ０ ＜Ｋｓ ＜１．１３Ｋｓ０，即２９ ５８０＜Ｋｓ＜３ ８４２０；
０．８７ｍ ＜ｍ ＜１．１３ｍ ，即０．０５４ ６＜ｍ ＜０．０７１ ０；
ｙ
ｙ
ｄ
ａ
Ｋｓ 为弹簧刚度；
θ 为液流与阀芯轴线夹角；
Ｌ 为阻尼长度；
ｍ 为运动件的总质量（包括阀芯自重及弹簧质
量的折算部分在内）；
Ｒｄ，Ｌｄ 为孔道 ｅ，ｆ 的液阻、液感； Ｒａ，Ｌａ 为孔道 ｇ，ｈ 的液阻、液感； 对式（３）进行拉氏变换并整理可得：
［Ｐ１（ｓ）－Ｐ２（ｓ）］Ａ＇＝（ｍｙｓ２＋Ｂｙｓ＋Ｋｙ）Ｘ（ｓ） （４） 根据式（ ２） 和（ ４） 可以画出直动式溢流阀系
下式子：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ｄｔ
式中：
ｄ苮 ｄ２苮
（
Ｐ － １
Ｐ２） Ａ＇＝Ｋｙ 苮＋Ｂｙ ｚ ｄ ｔ ＋ｍｙ ｄｔ２
（３）
Ａ
＇
为
等效
面
积
，Ａ
＇＝Ａ
－
２
Ｃ
Ｗｘ
ｄ
ｃ
０
ｏ
ｓθ；
Ｋｙ 为弹簧等效刚度，Ｋｙ ＝Ｋｓ＋２ＣｄＷ（Ｐ１０－Ｐ２０）ｃｏｓθ；
Ｂ ｙ
为等效阻尼系数，Ｂ
ｙ
≈
Ｒ ｄ
Ａ２
ｍ 为等效质量，ｍ ＝ｍ＋Ｌ Ａ２＋Ｌ Ａ２；
２
＝
（Ｋｙ － ｍｙωｎ２）２＋Ｂｙ
２ωｎ2
（ ξ１ Ｂｙ＋ＡＡ＇ ）ωｎ
［（Ｋｙ － ｍｙωｎ２）２＋Ｂｙ
１ ２
２ωｎ2] （１０）
显然，溢流阀的结构参数对动态刚度的影响比
较显著，现想使 Ｙ（ω）最大，可以通过计算 Ｙ（ωｎ）｛ 从以上式子可看出，Ｙ（ωｎ）可表示为溢流阀的结构 参数｝，选择合理的结构参数使 Ｙ（ωｎ）达到最优，根 据优化后的结构参数制造出来的阀的刚度将会大大
√２ ρ ( Ｐ １０ － Ｐ ２０ ） ／ Ｃ ｄＷ ｘ ０
Ｐ１（ｓ）－Ｐ２（ｓ） Ｐ１（ｓ）
√ Ａ ｓ ＋ Ｃ ｄＷ
２ ρ
（Ｐ１０－Ｐ２０）
Ｘ（ｓ）
Ａ＇
ｍｙｓ２＋Ｂｙｓ＋Ｋｙ
Ｐ２（ｓ）
图３ 直动式溢流阀系统方块图
一般来说，溢流阀的出口是直通油箱的，即式
（５）中的 Ｐ２０ ＝ ０，Ｐ２（ｓ）＝ ０，则式（５）可写为：