分岔与混沌
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
8
2.2 分岔的类型
1.叉型分岔、鞍-结分岔和霍普分岔 我们知道Jacobi矩阵的特征值确定系统状态的 稳定性。对于一般动力系统，控制参数的变 化会引起特征值的变化，当控制参数达到分 岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它 可以表现为 ( ) 在复平面的运动。由此也可以 定义三种分岔类型:
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
5
来自百度文库
2
P P
图2 Euler直杆随压力变化的分岔图
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
6
２ 分岔的定义及类型
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
7
２.1分岔的定义(Bifurcation)
分岔现象是指动态系统的定性行为随着系统 参数的改变而发生质的变化。泛指在一个动力学 系统中，当控制参量改变时，其相图发生拓扑结 构的突然变化，包括解的数目的变化、解的稳定 性的变化等。 力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、 分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压 力超过 压杆的临界负荷时，会出现弯曲。数学上 分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解 发生突变的临界点附近的行为。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
23
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
需要注意： 1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。 2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结 构往往有密切的关系，但并不一定相同。一般来说，对于 给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反映原系统的定 性性态仍然是一个未完全解决的问题。 3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通 常就能提供重要的定性性态信息，这对原系统拓扑结构的 研究有很大帮助。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
24
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
如何求PB规范形方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、 共振法等。对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明 等工具。 如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数 方法等（目前无其它更好方法）。
经典作品参考： (a) Arnold V I. Geometrical Methods in the Theory of ODE. SpringerVerlag, 1983 (b) Wang D. An introduction to the Normal Form theory of ODE. Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71 (c) Guckernheimer J and Holmes P. Nonlinear Oscillators, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-verlag, 1983
平衡点
x 0 和 x＝ , x 0,
0 0
而对应特征值则为
对于图3，当 c时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当 c时，这 一支就变得不稳定了；一旦当 c有新的平衡分支解 x 又变成稳 定的了，这种情况被称为超临界分岔。反过来，若新的平衡分支解x ，在 c 时是不稳定的，则称之为亚临界分岔。
2016/4/3
图1 Euler杆
4
机械系统与振动国家重点实验室
Euler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值
P sin 0 (0) (1) 0
当 P 2 时，杆保持着原来的直线平衡稳定态，即 0 当 P 2 时，有三种平衡状态,原来的直线变成不稳定 态(保持直线)，稍有扰动平衡状态便会偏向 +s 或 -s 。 偏向 +s 或-s 方向分岔出稳定的弯曲状态，即 0
3
1 从一个例子说起
[例1] Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题。这是 Euler在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分 岔现象。
一根理想的弹性直杆，在压力 p的作用下，直的状态总是一 种平衡位臵。当压力p增加时， 起初杆还是直的。一旦超过了 某个临界压力，直杆的直的状 态就不再是稳定的了，杆便产 生了弯曲变形，当p超过临界 压力时，挠度s随压力增加得 是很快的。这是一类典型的分 岔问题。
当 0 当 0
其平衡态的稳定性可由Jacobi矩阵的特征值特性，也即由下式来决定。
3x2
机械系统与振动国家重点实验室
2016/4/3
14
图3 叉型分岔——超临界情况 我们再考虑另一种对称情况，即
图4 叉型分岔——亚临界情况
x x3 x( x2 ) x
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
25
中心流形定理
把一个对n维动力系统在奇异点附近的各种性态的研究简化 为一个m维（m<=n)中心流形上的流的方程去研究。
在高维动态系统非双曲平衡点的领域，存在一类维数较 低的局部流形，当系统的相轨迹在该流形上时，可能存在分 岔等动力学行为，而在该流形之外，动力学行为非常简单。 这类流形被称为中心流形。中心流形为研究分岔问题提供了 一种降维方法。该方法将复杂的行为分离出来，可以在维数 较低的中心流形上进行研究。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
22
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
考虑微分方程 x=f（x），x∈Rn （1） 设f（x）足够光滑，且f（0）=0。 现在研究对于某个给定正整数r≥2，通过坐标的多项式变换， 使得在f的泰勒展开式中直到r次的项都有比较简单的形式。 庞加莱伯克霍夫范式定理 设f（x）是Cr向量场（r≥2），f （0）=0，L=Df（0），则在原点附近存在一个坐标的r次变 换，使得在新坐标系中，方程（1）化为下面的标准形： y=Ly+g2（y）+…+gr1（y）+gr（y）+o（‖y‖r） （2） 系统y=Ly+g2（y）+…+gr1（y）+gr（y）称为方程（1）的 一个r阶（截断）PB范式。
（2）
x 0 , y 0 是一个平衡点，其Jacobi矩阵是 f1 f1 x y 1 J 1 f 2 f 2 x y x 0
y 0
得出特征值
i
由负变正时， 分别沿实轴上方和下方穿过虚轴，
分岔与混沌
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
1
第一章 分岔
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
2016/4/3
从一个例子说起 分岔的定义及类型 典型的分岔 求解方法 工程和自然界中的例子 分岔研究的历史与现状 分岔研究的意义
机械系统与振动国家重点实验室
2
什么是分岔现象?
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
旋转。而(3)式则说明还存在另一平衡态，即： 式（4）表明，轨线以常速度
r 。这种情况与叉型分岔十分相似： 0 时， r 0 是稳定焦点；
而当 0 时， r 0 就变成不稳定点，从而分岔出半径为 r
的
极限环。这种由失稳后出现的极限环分岔称之为霍普分叉。如下图所示。
x 时，此解是稳定的，是稳定的结点。
•解 x
时，解是不稳定的，它是鞍点。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
19
图6 鞍结分岔
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
20
4 求解方法
研 究 分 岔 的 一 些 方 法
2016/4/3
•奇异性理论方法
•庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
2016/4/3 12
3 典型实例
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
13
典型实例
3.1 叉型分岔
典型实例是
x x3 x( x2 ) x
（1）
上式中，x 是实数， 是可正可负的参数，令 x =0，可知方程(1)的定态平衡 解是
x 0, x 0和 x ,
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
26
中心流形定理
中心流形定理（Center Manifold Theorem） 考虑自治系统（时不变系统）dx/dt=f(x)。对其在平衡 点线性化，则雅克比矩阵为 A=df/dt(x0)。中心流形定理指 出，如果f(x)是r阶连续可导，则在任意平衡点，存在唯一的 r 阶连续可导的稳定流形，存在唯一的 r 阶连续可导的不稳 定流形，并存在（不一定唯一）r-1 阶连续可导的中心流形。
由此可见，当参数
点（0，0）则由稳定的平衡点变成不稳定的平衡点。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
16
令
x r cos y r sin
经过变换可得
r r ( r 2 ) f ( r , )
（3） （4）
r r
当 r 0 时，有 1
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
10
十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔， 而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它 们在分岔点均满足：
d [Re( ( )] 0 d
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
11
2.静态分岔和动态分岔 静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和 稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等； 动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡 点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周 期分岔）等。 3. 局部分岔和全局分岔 局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构 如何发生变化。全局分岔则分析向量场的大范围的 拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔都属于局部分岔 ，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局 分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局 分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对 局部分岔的研究就显得尤为重要。 机械系统与振动国家重点实验室
2016/4/3
x2
机械系统与振动国家重点实验室
15
3.2 霍普分岔
y x[ ( x 2 y 2 )] f1 ( x , y ) x 2 2 y x y [ ( x y )] f 2 ( x , y )
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
17
图5 霍普分叉－超临界情况
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
18
3.3 鞍－结分岔
（５） x x 典型方程 由 x 0 得平衡点 (a)当μ＜0时,解解 x0 为虚数，因此不存在平衡点。
2
(b)当μ＞0时出现两个平衡点x 0 ，说明上述 方程的解在x0=0处发生了分裂。 •解
1. Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. Proc. of the 17th IUTAM, 1988 2. Arnold V I. 数学和力学中的分叉和奇异性. 力学进展，1989, 19(2):59-66 3. Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation Theory. Vol.1, Springer-Verlag, 1985
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
9
叉型分岔
霍普分岔
鞍结分岔
特征值 为 实数，沿复 平面的实轴由 负变正穿过虚 轴。
特征值 为复 沿左半平 数， 面，由 R e ( ) 0 变 R e( ) 0 穿 过虚轴。
特征值 为实 数，沿实轴 左右趋于虚 轴，即 0
•中心流形法
•李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）
•幂级数法 •摄动法 •Shilnikov法 •数值法
机械系统与振动国家重点实验室
21
奇异性理论方法
奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化 为较简单的范式（Normal Form）进行识别和分类，再通 过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态， 随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分 叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应 用奇异性方法。 该方法参考：
机械系统与振动国家重点实验室
8
2.2 分岔的类型
1.叉型分岔、鞍-结分岔和霍普分岔 我们知道Jacobi矩阵的特征值确定系统状态的 稳定性。对于一般动力系统，控制参数的变 化会引起特征值的变化，当控制参数达到分 岔参数值时，系统稳定性发生质的变化，它 可以表现为 ( ) 在复平面的运动。由此也可以 定义三种分岔类型:
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
5
来自百度文库
2
P P
图2 Euler直杆随压力变化的分岔图
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
6
２ 分岔的定义及类型
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
7
２.1分岔的定义(Bifurcation)
分岔现象是指动态系统的定性行为随着系统 参数的改变而发生质的变化。泛指在一个动力学 系统中，当控制参量改变时，其相图发生拓扑结 构的突然变化，包括解的数目的变化、解的稳定 性的变化等。 力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、 分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压 力超过 压杆的临界负荷时，会出现弯曲。数学上 分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解 发生突变的临界点附近的行为。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
23
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
需要注意： 1.对于给定的r来说，r阶PB范式的取法一般不是唯一的。 2.在平衡点附近，截断规范形系统与原来的系统的拓扑结 构往往有密切的关系，但并不一定相同。一般来说，对于 给定的r，r阶PB范式到底能在多大程度上反映原系统的定 性性态仍然是一个未完全解决的问题。 3.尽管如此，在大量研究中发现，阶数不太高的PB范式通 常就能提供重要的定性性态信息，这对原系统拓扑结构的 研究有很大帮助。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
24
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
如何求PB规范形方法：矩阵表示法、共轭算子法、李代数法、 共振法等。对于高维系统需要应用计算机代数、定理机器证明 等工具。 如何确定规范形与原方程系数关系：直接比较法、计算机代数 方法等（目前无其它更好方法）。
经典作品参考： (a) Arnold V I. Geometrical Methods in the Theory of ODE. SpringerVerlag, 1983 (b) Wang D. An introduction to the Normal Form theory of ODE. Advances In Mathematics, 1990, 30:38-71 (c) Guckernheimer J and Holmes P. Nonlinear Oscillators, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields. Springer-verlag, 1983
平衡点
x 0 和 x＝ , x 0,
0 0
而对应特征值则为
对于图3，当 c时，平衡态的一个分支是稳定的；然而当 c时，这 一支就变得不稳定了；一旦当 c有新的平衡分支解 x 又变成稳 定的了，这种情况被称为超临界分岔。反过来，若新的平衡分支解x ，在 c 时是不稳定的，则称之为亚临界分岔。
2016/4/3
图1 Euler杆
4
机械系统与振动国家重点实验室
Euler直杆弯曲满足下列非线性微分方程及边值
P sin 0 (0) (1) 0
当 P 2 时，杆保持着原来的直线平衡稳定态，即 0 当 P 2 时，有三种平衡状态,原来的直线变成不稳定 态(保持直线)，稍有扰动平衡状态便会偏向 +s 或 -s 。 偏向 +s 或-s 方向分岔出稳定的弯曲状态，即 0
3
1 从一个例子说起
[例1] Euler杆在轴向压力作用下的弯曲问题。这是 Euler在1744年研究的一个问题，它是一个最简单的分 岔现象。
一根理想的弹性直杆，在压力 p的作用下，直的状态总是一 种平衡位臵。当压力p增加时， 起初杆还是直的。一旦超过了 某个临界压力，直杆的直的状 态就不再是稳定的了，杆便产 生了弯曲变形，当p超过临界 压力时，挠度s随压力增加得 是很快的。这是一类典型的分 岔问题。
当 0 当 0
其平衡态的稳定性可由Jacobi矩阵的特征值特性，也即由下式来决定。
3x2
机械系统与振动国家重点实验室
2016/4/3
14
图3 叉型分岔——超临界情况 我们再考虑另一种对称情况，即
图4 叉型分岔——亚临界情况
x x3 x( x2 ) x
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
25
中心流形定理
把一个对n维动力系统在奇异点附近的各种性态的研究简化 为一个m维（m<=n)中心流形上的流的方程去研究。
在高维动态系统非双曲平衡点的领域，存在一类维数较 低的局部流形，当系统的相轨迹在该流形上时，可能存在分 岔等动力学行为，而在该流形之外，动力学行为非常简单。 这类流形被称为中心流形。中心流形为研究分岔问题提供了 一种降维方法。该方法将复杂的行为分离出来，可以在维数 较低的中心流形上进行研究。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
22
庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
考虑微分方程 x=f（x），x∈Rn （1） 设f（x）足够光滑，且f（0）=0。 现在研究对于某个给定正整数r≥2，通过坐标的多项式变换， 使得在f的泰勒展开式中直到r次的项都有比较简单的形式。 庞加莱伯克霍夫范式定理 设f（x）是Cr向量场（r≥2），f （0）=0，L=Df（0），则在原点附近存在一个坐标的r次变 换，使得在新坐标系中，方程（1）化为下面的标准形： y=Ly+g2（y）+…+gr1（y）+gr（y）+o（‖y‖r） （2） 系统y=Ly+g2（y）+…+gr1（y）+gr（y）称为方程（1）的 一个r阶（截断）PB范式。
（2）
x 0 , y 0 是一个平衡点，其Jacobi矩阵是 f1 f1 x y 1 J 1 f 2 f 2 x y x 0
y 0
得出特征值
i
由负变正时， 分别沿实轴上方和下方穿过虚轴，
分岔与混沌
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
1
第一章 分岔
１ ２ ３ ４ ５ ６ ７
2016/4/3
从一个例子说起 分岔的定义及类型 典型的分岔 求解方法 工程和自然界中的例子 分岔研究的历史与现状 分岔研究的意义
机械系统与振动国家重点实验室
2
什么是分岔现象?
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
旋转。而(3)式则说明还存在另一平衡态，即： 式（4）表明，轨线以常速度
r 。这种情况与叉型分岔十分相似： 0 时， r 0 是稳定焦点；
而当 0 时， r 0 就变成不稳定点，从而分岔出半径为 r
的
极限环。这种由失稳后出现的极限环分岔称之为霍普分叉。如下图所示。
x 时，此解是稳定的，是稳定的结点。
•解 x
时，解是不稳定的，它是鞍点。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
19
图6 鞍结分岔
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
20
4 求解方法
研 究 分 岔 的 一 些 方 法
2016/4/3
•奇异性理论方法
•庞加莱-伯克霍夫(PB)规范形方法
2016/4/3 12
3 典型实例
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
13
典型实例
3.1 叉型分岔
典型实例是
x x3 x( x2 ) x
（1）
上式中，x 是实数， 是可正可负的参数，令 x =0，可知方程(1)的定态平衡 解是
x 0, x 0和 x ,
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
26
中心流形定理
中心流形定理（Center Manifold Theorem） 考虑自治系统（时不变系统）dx/dt=f(x)。对其在平衡 点线性化，则雅克比矩阵为 A=df/dt(x0)。中心流形定理指 出，如果f(x)是r阶连续可导，则在任意平衡点，存在唯一的 r 阶连续可导的稳定流形，存在唯一的 r 阶连续可导的不稳 定流形，并存在（不一定唯一）r-1 阶连续可导的中心流形。
由此可见，当参数
点（0，0）则由稳定的平衡点变成不稳定的平衡点。
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
16
令
x r cos y r sin
经过变换可得
r r ( r 2 ) f ( r , )
（3） （4）
r r
当 r 0 时，有 1
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
10
十分明显，叉型分岔和鞍-结分岔是实分岔， 而霍普分岔是复分岔，不论哪一种分岔，它 们在分岔点均满足：
d [Re( ( )] 0 d
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
11
2.静态分岔和动态分岔 静态分岔，研究当参数发生变化时，平衡点数目和 稳定性如何发生变化，如叉形分岔和鞍结分岔等； 动态分岔，主要是指解的类型发生变化，如由平衡 点变为周期解（Hopf分岔），周期解的分岔（倍周 期分岔）等。 3. 局部分岔和全局分岔 局部分岔研究某个不动点附近动力系统的拓扑结构 如何发生变化。全局分岔则分析向量场的大范围的 拓扑结构。静态分岔和Hopf分岔都属于局部分岔 ，而其它的分岔则属于全局分岔。局部分岔是全局 分岔分析的一个重要内容。一般来说，完整的全局 分岔分析是十分困难的，甚至是不可能的，所以对 局部分岔的研究就显得尤为重要。 机械系统与振动国家重点实验室
2016/4/3
x2
机械系统与振动国家重点实验室
15
3.2 霍普分岔
y x[ ( x 2 y 2 )] f1 ( x , y ) x 2 2 y x y [ ( x y )] f 2 ( x , y )
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
17
图5 霍普分叉－超临界情况
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
18
3.3 鞍－结分岔
（５） x x 典型方程 由 x 0 得平衡点 (a)当μ＜0时,解解 x0 为虚数，因此不存在平衡点。
2
(b)当μ＞0时出现两个平衡点x 0 ，说明上述 方程的解在x0=0处发生了分裂。 •解
1. Arnold V I. Bifurcation and Singularitics in Mathematics and Mechanics. Proc. of the 17th IUTAM, 1988 2. Arnold V I. 数学和力学中的分叉和奇异性. 力学进展，1989, 19(2):59-66 3. Golubitsky M and Schaeffer D G. Singularitics and Groups in Bifurcation Theory. Vol.1, Springer-Verlag, 1985
2016/4/3
机械系统与振动国家重点实验室
9
叉型分岔
霍普分岔
鞍结分岔
特征值 为 实数，沿复 平面的实轴由 负变正穿过虚 轴。
特征值 为复 沿左半平 数， 面，由 R e ( ) 0 变 R e( ) 0 穿 过虚轴。
特征值 为实 数，沿实轴 左右趋于虚 轴，即 0
•中心流形法
•李雅普诺夫-施密特约化（LS约化）
•幂级数法 •摄动法 •Shilnikov法 •数值法
机械系统与振动国家重点实验室
21
奇异性理论方法
奇异性研究可微映射的退化性和分类，首先将分叉问题化 为较简单的范式（Normal Form）进行识别和分类，再通 过“普适开折”得到一般扰动下可能出现的所有分叉性态， 随后讨论分叉图的保持性和转迁集等。可以处理：静态分 叉、Hopf分叉和退化Hopf分叉。 对于高维问题，理论上可借助LS约化方法降维，然后再应 用奇异性方法。 该方法参考：