2018年高中数学优化设计第一轮复习高考大题专项练三

高考大题专项练三高考中的数列
1.(2016河北唐山高三检测)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且
S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.
〚导学号37270631〛
2.(2016河北衡水中学考前仿真二)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,S n+1=3S n+
3. (1)求数列{a n}的通项公式;
,求数列{b n}的前n项和T n.
(2)若b n=
-
〚导学号37270632〛3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为,满足
S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;
(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.
〚导学号37270633〛
4.(2016山西晋中5月高三质检)已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=(n∈N*).
(1)求证:数列-是等比数列;
(2)求数列的前n项和S n.
〚导学号37270634〛
5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1;数列{b n}满足b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈
N*),b1=1.
(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;
(2)求数列的前n项和T n.
〚导学号37270635〛
6.设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.
(1)求a n;
(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n>(n∈N*).
〚导学号37270636〛7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=-(n≥2).
(1)求证:{}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;
(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n<a2-a恒成立,求实数a 的取值范围.
〚导学号37270637〛8.已知数列{a n}是公比为的等比数列,其前n项和为S n,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,
数列{b n}是等差数列,其前n项和T n满足T n=nλ·b n+1(λ为常数,且λ≠1),其中b1=8.
(1)求数列{a n}的通项公式及λ的值;
(2)比较+…+与S n的大小.
〚导学号37270638〛
参考答案
高考大题专项练三高考中的数列
1.解(1)依题意得,
解得
故a n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,
即a n=2n+1.
(2)由题意可知=3n-1,
则b n=a n·3n-1=(2n+1)·3n-1.
故T n=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1, ①
3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, ②①-②得
-2T n=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n
=3+2·--
-
-(2n+1)3n
=-2n·3n,
因此,T n=n·3n.
2.解(1)(方法一)∵S n+1=3S n+3,
∴S n+1+=3.
∴S n+3n-1
=×3n-1=.
∴当n≥2时,a n=S n-S n-1==3n,a1也适合.∴a n=3n.
(方法二)由S n+1=3S n+3(n∈N*),
可知当n≥2时,S n=3S n-1+3,
两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).
又a1=3,代入S n+1=3S n+3得a2=9,故a n=3n.
(2)∵b n=
--
,
∴T n=…, ①∴T n=…
-, ②由①-②,得T n=
…-,
解得T n=.
3.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,
所以
解得a1=2,d=3,b1=, 所以a n=3n-1,b n=.
(2)由(1)知T n=2×+5×+8×+…+(3n-4)-
+(3n-1), ①
①×得T n=2×+5×+…+(3n-4)+(3n-1), ②
①-②得T n=2×+3×…-(3n-1)·=1+3×-
-
-
-(3n-
1)·,
整理,得T n=-(3n+5)+5.
4.(1)证明∵a n+1=,
∴.
∴-1=-.
又a1=,∴-1=.
∴数列-是以为首项,以为公比的等比数列.
(2)解由(1)知-1=
-
,
则+1.
故+n.
设T n=+…+, ①则T n=+…+-, ②由①-②得
T n=+…+-
-
=1-,
∴T n=2-
.
-
又1+2+3+…+n=,
∴数列的前n项和S n=2-.
5.解(1)由S n=2a n-1,得S1=a1=2a1-1,
故a1=1.
又S n=2a n-1,S n-1=2a n-1-1(n≥2),
两式相减,得S n-S n-1=2a n-2a n-1,
即a n=2a n-2a n-1.
故a n=2a n-1,n≥2.
所以数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.
故a n=1·2n-1=2n-1.
由b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈N*),
=1.
得
-
又b1=1,∴数列是首项为1,公差为1的等差数列.
∴=1+(n-1)·1=n.
∴b n=.
(2)由(1)得=n·2n-1.
∴T n=1·20+2·21+…+n·2n-1,
∴2T n=1·21+2·22+…+n·2n.
两式相减,得-T n=1+21+…+2n-1-n·2n
-n·2n=-1+2n-n·2n.
=-
-
∴T n=(n-1)·2n+1.
6.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,
由题意得
-
解得
故a n=a1+(n-1)d=2n+1.
(2)证明∵a1=3,d=2,
∴S n=na1+-d=n(n+2).
∴b n=-.
∴T n=b1+b2+…+b n-1+b n
=--…
=--
>--
=,
故T n>.
7.解(1)因为a n=-,
所以S n-S n-1=-,
即-=1,
所以数列{是首项为=1,公差为1的等差数列,得=n,
所以a n=-=n+(n-1)=2n-1(n≥2),
当n=1时,a1=1也适合,所以a n=2n-1.
(2)因为
-,
--
-.
所以T n=-+…+
-
所以T n<.要使不等式4T n<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2, 故实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).
8.解(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1),
即-=a1,
解得a1=.
故a n=.
设等差数列{b n}的公差为d,
又
即
解得或(舍去),
故λ=.
(2)由(1)知S n=1-,
则S n=.①由(1)知T n=nb n+1,
当n=1时,T1=b1=b2,
即b2=2b1=16,
故公差d=b2-b1=8,
则b n=8n,又T n=nλ·b n+1,
故T n=4n2+4n,
即
=-.
因此,+…+
=--…
--.②由①②可知+…+S n.
11。