2018年高中数学优化设计第一轮复习高考大题专项练三

高考大题专项练三高考中的数列

1.(2016河北唐山高三检测)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公差d≠0,且

S3+S5=50,a1,a4,a13成等比数列.

(1)求数列{a n}的通项公式;

(2)设是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的前n项和T n.

〚导学号37270631〛

2.(2016河北衡水中学考前仿真二)设数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=3,S n+1=3S n+

3. (1)求数列{a n}的通项公式;

,求数列{b n}的前n项和T n.

(2)若b n=

-

〚导学号37270632〛3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,等比数列{b n}的公比为,满足

S3=15,a1+2b1=3,a2+4b2=6.

(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;

(2)求数列{a n·b n}的前n项和T n.

〚导学号37270633〛

4.(2016山西晋中5月高三质检)已知数列{a n}的首项a1=,a n+1=(n∈N*).

(1)求证:数列-是等比数列;

(2)求数列的前n项和S n.

〚导学号37270634〛

5.已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2a n-1;数列{b n}满足b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈

N*),b1=1.

(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;

(2)求数列的前n项和T n.

〚导学号37270635〛

6.设S n为等差数列{a n}的前n项和,已知S3=a7,a8-2a3=3.

(1)求a n;

(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求证:T n>(n∈N*).

〚导学号37270636〛7.已知正项数列{a n}的首项a1=1,前n项和S n满足a n=-(n≥2).

(1)求证:{}为等差数列,并求数列{a n}的通项公式;

(2)记数列的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,不等式4T n

〚导学号37270637〛8.已知数列{a n}是公比为的等比数列,其前n项和为S n,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,

数列{b n}是等差数列,其前n项和T n满足T n=nλ·b n+1(λ为常数,且λ≠1),其中b1=8.

(1)求数列{a n}的通项公式及λ的值;

(2)比较+…+与S n的大小.

〚导学号37270638〛

参考答案

高考大题专项练三高考中的数列

1.解(1)依题意得,

解得

故a n=a1+(n-1)d=3+2(n-1)=2n+1,

即a n=2n+1.

(2)由题意可知=3n-1,

则b n=a n·3n-1=(2n+1)·3n-1.

故T n=3+5×3+7×32+…+(2n+1)·3n-1, ①

3T n=3×3+5×32+7×33+…+(2n-1)·3n-1+(2n+1)·3n, ②①-②得

-2T n=3+2×3+2×32+…+2·3n-1-(2n+1)3n

=3+2·--

-

-(2n+1)3n

=-2n·3n,

因此,T n=n·3n.

2.解(1)(方法一)∵S n+1=3S n+3,

∴S n+1+=3.

∴S n+3n-1

=×3n-1=.

∴当n≥2时,a n=S n-S n-1==3n,a1也适合.∴a n=3n.

(方法二)由S n+1=3S n+3(n∈N*),

可知当n≥2时,S n=3S n-1+3,

两式相减,得a n+1=3a n(n≥2).

又a1=3,代入S n+1=3S n+3得a2=9,故a n=3n.

(2)∵b n=

--

,

∴T n=…, ①∴T n=…

-, ②由①-②,得T n=

…-,

解得T n=.

3.解(1)设等差数列{a n}的公差为d,

所以

解得a1=2,d=3,b1=, 所以a n=3n-1,b n=.

(2)由(1)知T n=2×+5×+8×+…+(3n-4)-

+(3n-1), ①

①×得T n=2×+5×+…+(3n-4)+(3n-1), ②

①-②得T n=2×+3×…-(3n-1)·=1+3×-

-

-

-(3n-

1)·,

整理,得T n=-(3n+5)+5.

4.(1)证明∵a n+1=,

∴.

∴-1=-.

又a1=,∴-1=.

∴数列-是以为首项,以为公比的等比数列.

(2)解由(1)知-1=

-

,

则+1.

故+n.

设T n=+…+, ①则T n=+…+-, ②由①-②得

T n=+…+-

-

=1-,

∴T n=2-

.

-

又1+2+3+…+n=,

∴数列的前n项和S n=2-.

5.解(1)由S n=2a n-1,得S1=a1=2a1-1,

故a1=1.

又S n=2a n-1,S n-1=2a n-1-1(n≥2),

两式相减,得S n-S n-1=2a n-2a n-1,

即a n=2a n-2a n-1.

故a n=2a n-1,n≥2.

所以数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列.

故a n=1·2n-1=2n-1.

由b n-1-b n=b n b n-1(n≥2,n∈N*),

=1.

得

-

又b1=1,∴数列是首项为1,公差为1的等差数列.

∴=1+(n-1)·1=n.

∴b n=.

(2)由(1)得=n·2n-1.

∴T n=1·20+2·21+…+n·2n-1,

∴2T n=1·21+2·22+…+n·2n.

两式相减,得-T n=1+21+…+2n-1-n·2n

-n·2n=-1+2n-n·2n.

=-

-

∴T n=(n-1)·2n+1.

6.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,

由题意得

-

解得

故a n=a1+(n-1)d=2n+1.

(2)证明∵a1=3,d=2,