浅谈排列组合中的分组问题

浅谈排列组合中的分组问题

数学教研组李世军

内容摘要: 数学中的排列、组合问题跟实际生活联系紧密,有些问题更像游戏规则,致使学生对这一部分有更高的兴趣,但是题型多样，思路灵活，逻辑思维要求比较高,所以不易掌握。其实，分组问题也是有规律性的，只要认真去分析、总结，也是可以很好的解决此类问题的。一方面，审题要清,搞清楚是哪类分组问题，对症下药；另一方面，由于加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都在进行分类或分步处理,数据计算都是以这两个原理为理论根据。在分组问题中用好这两个原理，思路就会变得很清晰。还有就是有些学生对老师的计算式不理解，为什么要除，为什么要减？此时，老师有必要用最笨的方法写出所有的排列和组合，应该除，还是应该减就是一目了然的了。

数学中的排列、组合问题跟实际生活联系紧密，有些问题更像游戏规则,致使学生对这一部分有更高的兴趣，但是题型多样，思路灵活，逻辑思维要求比较高，所以不易掌握。分组问题是排列组合教学中的一个重点和难点，是一类典型问题。下面就排列组合中的分组问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。

审题要清,搞清楚是哪类分组问题

例如：8本不同的书，按照以下要求分配，各有多少种不同的分法?⑴一堆1本, 一堆2本, 一堆5本；⑵甲得1本,乙得2本,丙得5本；⑶甲、乙、丙三人，一人1本, 一人2本, 一人5本；⑷平均分给甲、乙、丙、丁四人；⑸平均分成四堆；⑹分成三堆,一堆4本,一堆2本,一堆2本；⑺给三人一人4本, 一人2本, 一人2本。

解析:小题⑴属非平均分组问题,仅仅分组, 分组与顺序无关，是组合问题，共有种不同的分法；小题⑵属非平均分组定向分配问题,先分组,再分配, 但是是定向分配不涉及排序,共有种不同的分法；小题⑶属非平均分组不定向分配问题,先分组,再分配, 与顺序有关,需排序,共有种不同的分法；小题⑷属平均分组不定向分配问题,先分组有种分法,再分配, 与顺序有关, 有种排列,共有种不同的分配方法；小题⑸属平均分组问题, 分组与顺序无关，是组合问题，有种不同分法；小题⑹属部分平均分组问题,分组与顺序无关，有种不同分法；小题⑺属部分平均分组不定向分配问题,先分组,再分配,与顺序有关,有种不同分法。

用好两个原理

加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都在进行分类或分步处理，数据计算都是以这两个原理为理论根据。在分组问题中用好这两个原理，思路就会变得很清晰。

例如：3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法种数共有多少？

解析：用分步计数的原理,分两大步：

第一大步：先把3名医生分配到3所学校共有种(分三小步) ；

第二大步：再把6名护士分配到3所学校共有种(分三小步) ；

根据分步计数原理可得（种）。

例如：6名旅客安排在3个房间，每个房间至少安排一名旅客，则不同的安排方法种数共有多少？

解析:整体分三类：

①先把6名旅客分成1，1，4三组，有种分法，再分配到3个房间有种情况，由分步计数原理可得有种安排方法；

②先把6名旅客分成1，2，3三组，有种分法，再分配到3个房间有种情况，由分步计数原理可得有种安排方法；

③先把6名旅客分成2，2，2三组，有种分法，再分配到3个房间有种情况，由分步计数原理可得有种安排方法；

由分类计数原理，知共有不同的安排种数为90+360+90=540（种）。

通过笨办法让学生理解巧方法

许多学生不理解平均分组(包括全平均分组和部分平均分组)为什么要除以平均分组的组数的全排列数，仅仅是通过套题型的方法去解决问题，导致对这部分知识的理解不透彻。在教学时老师可以把一个例子中的所有的排列和组合(包括重复的)都罗列出来，学生一看就明白了，同时也告诉一种理解此类问题的方法。只要通过这种笨办法找出分组中的重复情况，从而清楚的理解一个问题,其它的问题也就迎刃而解了。

例如：把A、B、C、D四个小球平均分成两组，有多少种分法？

解析：先取两个，再取两个，如果先取的是AC，剩下BD，或者先取的是BD，剩下AC，而这两种分法对于分组是同一种；同理这两种分法对于分组是同一种；这两种分法对于分组是同一种；所以，共有(种)。