固体物理基础2.6第二章总结1
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F ⋅ ∆l = U[R0 (1−δ )] −U(R0 )
1 B 1 µq 2 [ = −N − 1] + N n [ − 1] n 4πε 0 R0 1 − δ R0 (1 − δ )
1 ≈ 1+ δ + δ 2 + ⋅⋅⋅ 1−δ
1 ≈ 1 + nδ + [n( n + 1) / 2]δ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ (1 − δ ) n
u(r ) =
λ e −R ρ
e2 ± (最近邻以外 最近邻以外) 最近邻以外 r 其中λ ρ为参数;R是最近邻距离 是最近邻距离.试求平衡时晶体总的互作用势 其中λ,ρ为参数 是最近邻距离 试求平衡时晶体总的互作用势 能的表达式.晶体共包含 个离子. 晶体共包含2N个离子 能的表达式 晶体共包含 个离子
B µq U(R) = −N( − n) 4πε0 R R 1 Nµq 2 µq 2 µq 2 )=− (1 − ) U ( R0 ) = − N ( − 4πε 0 R0 4πε 0 R0 n 4πε 0 R0 n
2
µq 2 B= R0n −1 4πε 0 n
一维离子晶体的马德隆常数
1 1 1 µ = 2(1 − + − + ⋅ ⋅ ⋅) = 2 ln 2 2 3 4
16
N µ e2 2.由N个正负离子组成的晶体的库仑作用能为 − 个正负离子组成的晶体的库仑作用能为___________. 由 个正负离子组成的晶体的库仑作用能为 2 4 0R πε 3.分子晶体的互作用势能为 分子晶体的互作用势能为
1 2 6 σ σ U(R = 2N A 2 ) ε −A 1 6 R R
∂f ∂2u (3) − ( )v = ( )vm = 0 2 m ∂v ∂ v
vm
−p m
u ∂ )vm =( v ∂
五种基本结合类型
1.离子晶体 (1)结构： 负电性相差较大的原子 库仑作用力。 结构： 负电性相差较大的原子+库仑作用力 库仑作用力。 结构 (2)结合力：离子键。 结合力：离子键。 结合力 (3)配位数； 最大为 。 离子晶体一定是复式格子。 配位数； 最大为8 离子晶体一定是复式格子。 配位数 (4)互作用势能： 互作用势能： 互作用势能
N
A6 , A12 是仅与晶体结构有关的常数。 是仅与晶体结构有关的常数。
3.原子晶体、金属晶体和氢键晶体 (1)原子晶体 原子晶体 结构： 结构：第Ⅳ族、第Ⅴ族、第Ⅵ族、第Ⅶ族元素都可以形成 原子晶体。 原子晶体。 饱和性 结合力： 共价键 结合力： 方向性 (2)金属晶体 (2)金属晶体 结构： 结构：第Ⅰ族、第Ⅱ族及过渡元素晶体都是典型的金属晶体。 族及过渡元素晶体都是典型的金属晶体。 结合力：金属键。 结合力：金属键。 多采取配位数为12的密堆积，少数金属为体心立方结构， 多采取配位数为 的密堆积，少数金属为体心立方结构， 的密堆积 配位数为8。 配位数为 。
A12 = ∑ ´ 12 j a j 1 A6 = ∑ ´ 6 j a j
N
N
1
( )
1 A12 = 6× 12 + 12× 1
( 2)
1
12
≈ 6.2
二.证明与计算 证明与计算 1.(2-10)对线型离子晶体 在一条直线链上交替地载有电 对线型离子晶体,在一条直线链上交替地载有电 对线型离子晶体 个离子. 苛 ± q 的2N个离子 个离子 2Nq2 ln2 1 U(R0 ) = − (1− ) (1)试 证平衡时的互作用势能为 试 证平衡时的互作用势能为: 4πε0 R0 n (2)若晶体被压缩 使 R 0 → R 0 (1 − δ ), 试证外力对每 若晶体被压缩,使 若晶体被压缩 1 (n −1)q2 ln 2 2 个离子所做的功 w = δ 2 4πε0 R0
2.电子亲和能 中性原子获得电子成为- 价离子时所放出的能量。 中性原子获得电子成为-1价离子时所放出的能量。 3.负电性： 负电性=0.18(电离能+亲和能) 负电性= (电离能+亲和能) 原子的负电性的大小表示原子得失电子能力的强弱。 原子的负电性的大小表示原子得失电子能力的强弱。 IA 、IIA、 IIIB负电性低的元素对电子束缚较弱，价电子 负电性低的元素对电子束缚较弱， 、 负电性低的元素对电子束缚较弱 易于摆脱原子束缚成为共有化电子，因此在形成晶体时便采取 易于摆脱原子束缚成为共有化电子， 典型的金属结合。 典型的金属结合。 IVB、 VB具有较强的负电性，它们束缚电子的能力较强， 、 具有较强的负电性， 具有较强的负电性 它们束缚电子的能力较强， 适于形成共价结合。 适于形成共价结合。 周期表左端的元素负电性弱，易于失去电子； 周期表左端的元素负电性弱，易于失去电子；而右端的元 素负电性强，易于获得电子，因此它们形成离子晶体。 素负电性强，易于获得电子，因此它们形成离子晶体。
(计算时取到二次方项 计算时取到二次方项) 计算时取到二次方项
1 2 Nq 2 ln 2 2 F∆ l = ( n − 1)δ = 2 Nw 2 4πε 0 R0
1 q2 ln2 w= (n −1)δ 2 2 4πε0 R0
2.(2-9)设有一离子晶体 只计及最近邻离子间的排斥作用时 其两 设有一离子晶体,只计及最近邻离子间的排斥作用时 设有一离子晶体 只计及最近邻离子间的排斥作用时,其两 个离子间的势能具有如下的形式: 个离子间的势能具有如下的形式
12 6 σ σ (4)互作用势能 (4)互作用势能： U(R) = 2Nε A − A 互作用势能： 12 6 R R
式中
σ
B = A
1 6
A 2 ;ε = 4B
A12 = ∑ ' 12 j a j
N
1
1 A6 = ∑ ' 6 j a j
4.由相互作用势能可以求的几个参量
∂U (r ) (1) | r = r0 = 0 ∂r
r0
a (晶格常数) 晶格常数)
∂2U ∂V ) 0 2 V
(2) K
= −V (
∂ P ) ∂ V
K =V ( 0
β 设由N个原子组成的晶体的体积为 设由 个原子组成的晶体的体积为 V = N R3
∂2U 1 ∂2U K = V0 ∂V 2 = 9N R ( ∂R2 )R0 β 0 V0
第二章 晶体中原子的结合 总 结
晶体结合能的普遍规律 五种基本结合类型 元素和化合物结合的规律
晶体结合能的普遍规律
1.晶体的结合能 晶体的结合能就是将自由的原子(离子或分子) 晶体的结合能就是将自由的原子(离子或分子)结合成晶体 时所释放的能量。 时所释放的能量。
Eb = EN − E0
E0是晶体的总能量，EN是组成该晶体的 个原子在自由状态 是晶体的总能量， 是组成该晶体的N个原子在自由状态 时的总能量， 即为晶体的结合能。 时的总能量，Eb即为晶体的结合能。 2.原子间相互作用势能
2.非极性分子晶体 (1)结构： (1)结构： 结构 具有饱和电结构的原子或分子+ 范德瓦尔斯-伦敦力 伦敦力。 具有饱和电结构的原子或分子 范德瓦尔斯 伦敦力。 (2)结合力： 范德瓦尔斯 伦敦力。 结合力： 范德瓦尔斯-伦敦力 伦敦力。 结合力 (3)配位数： 通常取密堆积 配位数为12。 配位数： 通常取密堆积,配位数为 。 配位数 配位数为
(3)氢键晶体 (3)氢键晶体 结构：氢原子同时与两个负电性较大， 结构：氢原子同时与两个负电性较大，而原子半径较小 的原子( 、 、 等 结合，构成氢键。 的原子(O、F、N等)结合，构成氢键。 A 氢键具有饱和性。 氢键具有饱和性。 H B 共价键
元素和化合物结合的规律
1.电离能： 中性原子失去1个电子成为+ 价离子时所需要的能量为第一 中性原子失去 个电子成为+1价离子时所需要的能量为第一 个电子成为 电离能， 价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能。 电离能，从+1价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能。 价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能
N µq2 B U =− ( − n) 2 4πε0R R
µ = ∑ '+ j − a j
N
1
马德隆常数
(5)体积弹性模量 体积弹性模量
µ q2 K= (n−1) 4 72βπε0R 0
(6)结合能 结合能
Nµ q2 1 (1− ) Eb = 8πε0R0 n
(7)离子半径 (7)离子半径 单价离子半径： 单价离子半径：
N N N ' U(r) = ui = ∑u(rij ) 2 2 j=1
其中u 其中 i、u(rij)为第 个原子与其他所有原子间的相互作用 ( 为第i个原子与其他所有原子间的相互作用 势能及第i个原子与第 个原子间的相互作用势能 势能及第 个原子与第j个原子间的相互作用势能。 个原子与第 个原子间的相互作用势能。
C R1 = Z−S
C：由外层电子主量子数决定的一个常数； ：由外层电子主量子数决定的一个常数； S：屏蔽系数；Z：原子序数。 ： 蔽系数； ：原子序数。 多价离子半径
பைடு நூலகம்
Rη = R1 ⋅ η − 2 ( n−1)
Rη：多价离子半径；n：玻恩指数；η：离子的价数。 离子的价数。 多价离子半径； ：玻恩指数；
6 若晶体取简立方结构,只计及最近邻原子 若晶体取简立方结构 只计及最近邻原子A6=_______, 只计及最近邻原子 6 7.5 6.2 A =_______;计及次近邻原子 =_______,A =_______. 计及次近邻原子A 计及次近邻原子
12 6 12
1 1 A = 6× 6 = 6, A = 6× 12 = 6 6 12 1 1 1 1 A6 = 6× 6 + 12× = 7.5, 6 1 2
1 Nµ q 2 2Nq2 ln2 1 (1 − ) = − U ( R0 ) = − (1− ) 4πε 0 R0 n 4πε0 R0 n
B µq 2 (2)使 R0 → R0 (1 − δ ), 使 U ( R0 ) = − N ( − n) 4πε 0 R0 R0 B µq 2 U [ R0 (1 − δ )] = − N [ ] − n n 4πε 0 R0 (1 − δ ) R0 (1 − δ )
一.填空 填空
A B 1.某晶体中两原子间的相互作用势 u(r) = − 6 + 12 ,其中 和B 其中A和 某晶体中两原子间的相互作用势 其中 r r 是经验参数,都为正值 为原子间距,______项为引力势,_______ 都为正值,r为原子间距 项为引力势 是经验参数 都为正值 为原子间距 第一 项为引力势 第二
证明:(1) 由2N个离子组成的离子晶体的互作用势能 证明 个离子组成的离子晶体的互作用势能: 个离子组成的离子晶体的互作用势能
B µq2 U(R) = −N( − n) 4πε0 R R
∂U ∂R
R = R0
nB µq = N( − n+1 ) = 0 2 4πε 0 R R
2
µq 2 B= R0n −1 4πε 0 n
e2 − R
(最近邻间 最近邻间) 最近邻间
2N e2 解: U = − ´ ± ∑u(rij ) = −N[∑´ r − 近邻λe−R ρ ] ∑ j 2 j j
以负离子为参考离子,同号取“ ” 异号取 异号取“ ” 以负离子为参考离子 同号取“-”,异号取“+”; 同号取 令最近邻离子间距离为R,则 令最近邻离子间距离为 则 设最近邻离子数目为Z 设最近邻离子数目为
A B u(r ) = − m + n r r
A、B、m、n>0 、 、 、 >0
其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。 其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。
A B u (r ) = − m + n r r
库仑斥力 吸引力----库仑引力； 吸引力----库仑引力； ----库仑引力 排斥力 泡利不相容原理 3.N个原子组成的晶体相互作用势能
2B 含有 项为斥力势,平衡时最近邻两原子间距 平衡时最近邻两原子间距r 含有N个原 项为斥力势 平衡时最近邻两原子间距 0=________,含有 个原 A
6 σ 12 σ 子的这种晶体的总结合能表达式为:_____________________. 子的这种晶体的总结合能表达式为 U(R) = 2Nε A − A 12 6 R R
1 B 1 µq 2 [ = −N − 1] + N n [ − 1] n 4πε 0 R0 1 − δ R0 (1 − δ )
1 ≈ 1+ δ + δ 2 + ⋅⋅⋅ 1−δ
1 ≈ 1 + nδ + [n( n + 1) / 2]δ 2 + ⋅ ⋅ ⋅ (1 − δ ) n
u(r ) =
λ e −R ρ
e2 ± (最近邻以外 最近邻以外) 最近邻以外 r 其中λ ρ为参数;R是最近邻距离 是最近邻距离.试求平衡时晶体总的互作用势 其中λ,ρ为参数 是最近邻距离 试求平衡时晶体总的互作用势 能的表达式.晶体共包含 个离子. 晶体共包含2N个离子 能的表达式 晶体共包含 个离子
B µq U(R) = −N( − n) 4πε0 R R 1 Nµq 2 µq 2 µq 2 )=− (1 − ) U ( R0 ) = − N ( − 4πε 0 R0 4πε 0 R0 n 4πε 0 R0 n
2
µq 2 B= R0n −1 4πε 0 n
一维离子晶体的马德隆常数
1 1 1 µ = 2(1 − + − + ⋅ ⋅ ⋅) = 2 ln 2 2 3 4
16
N µ e2 2.由N个正负离子组成的晶体的库仑作用能为 − 个正负离子组成的晶体的库仑作用能为___________. 由 个正负离子组成的晶体的库仑作用能为 2 4 0R πε 3.分子晶体的互作用势能为 分子晶体的互作用势能为
1 2 6 σ σ U(R = 2N A 2 ) ε −A 1 6 R R
∂f ∂2u (3) − ( )v = ( )vm = 0 2 m ∂v ∂ v
vm
−p m
u ∂ )vm =( v ∂
五种基本结合类型
1.离子晶体 (1)结构： 负电性相差较大的原子 库仑作用力。 结构： 负电性相差较大的原子+库仑作用力 库仑作用力。 结构 (2)结合力：离子键。 结合力：离子键。 结合力 (3)配位数； 最大为 。 离子晶体一定是复式格子。 配位数； 最大为8 离子晶体一定是复式格子。 配位数 (4)互作用势能： 互作用势能： 互作用势能
N
A6 , A12 是仅与晶体结构有关的常数。 是仅与晶体结构有关的常数。
3.原子晶体、金属晶体和氢键晶体 (1)原子晶体 原子晶体 结构： 结构：第Ⅳ族、第Ⅴ族、第Ⅵ族、第Ⅶ族元素都可以形成 原子晶体。 原子晶体。 饱和性 结合力： 共价键 结合力： 方向性 (2)金属晶体 (2)金属晶体 结构： 结构：第Ⅰ族、第Ⅱ族及过渡元素晶体都是典型的金属晶体。 族及过渡元素晶体都是典型的金属晶体。 结合力：金属键。 结合力：金属键。 多采取配位数为12的密堆积，少数金属为体心立方结构， 多采取配位数为 的密堆积，少数金属为体心立方结构， 的密堆积 配位数为8。 配位数为 。
A12 = ∑ ´ 12 j a j 1 A6 = ∑ ´ 6 j a j
N
N
1
( )
1 A12 = 6× 12 + 12× 1
( 2)
1
12
≈ 6.2
二.证明与计算 证明与计算 1.(2-10)对线型离子晶体 在一条直线链上交替地载有电 对线型离子晶体,在一条直线链上交替地载有电 对线型离子晶体 个离子. 苛 ± q 的2N个离子 个离子 2Nq2 ln2 1 U(R0 ) = − (1− ) (1)试 证平衡时的互作用势能为 试 证平衡时的互作用势能为: 4πε0 R0 n (2)若晶体被压缩 使 R 0 → R 0 (1 − δ ), 试证外力对每 若晶体被压缩,使 若晶体被压缩 1 (n −1)q2 ln 2 2 个离子所做的功 w = δ 2 4πε0 R0
2.电子亲和能 中性原子获得电子成为- 价离子时所放出的能量。 中性原子获得电子成为-1价离子时所放出的能量。 3.负电性： 负电性=0.18(电离能+亲和能) 负电性= (电离能+亲和能) 原子的负电性的大小表示原子得失电子能力的强弱。 原子的负电性的大小表示原子得失电子能力的强弱。 IA 、IIA、 IIIB负电性低的元素对电子束缚较弱，价电子 负电性低的元素对电子束缚较弱， 、 负电性低的元素对电子束缚较弱 易于摆脱原子束缚成为共有化电子，因此在形成晶体时便采取 易于摆脱原子束缚成为共有化电子， 典型的金属结合。 典型的金属结合。 IVB、 VB具有较强的负电性，它们束缚电子的能力较强， 、 具有较强的负电性， 具有较强的负电性 它们束缚电子的能力较强， 适于形成共价结合。 适于形成共价结合。 周期表左端的元素负电性弱，易于失去电子； 周期表左端的元素负电性弱，易于失去电子；而右端的元 素负电性强，易于获得电子，因此它们形成离子晶体。 素负电性强，易于获得电子，因此它们形成离子晶体。
(计算时取到二次方项 计算时取到二次方项) 计算时取到二次方项
1 2 Nq 2 ln 2 2 F∆ l = ( n − 1)δ = 2 Nw 2 4πε 0 R0
1 q2 ln2 w= (n −1)δ 2 2 4πε0 R0
2.(2-9)设有一离子晶体 只计及最近邻离子间的排斥作用时 其两 设有一离子晶体,只计及最近邻离子间的排斥作用时 设有一离子晶体 只计及最近邻离子间的排斥作用时,其两 个离子间的势能具有如下的形式: 个离子间的势能具有如下的形式
12 6 σ σ (4)互作用势能 (4)互作用势能： U(R) = 2Nε A − A 互作用势能： 12 6 R R
式中
σ
B = A
1 6
A 2 ;ε = 4B
A12 = ∑ ' 12 j a j
N
1
1 A6 = ∑ ' 6 j a j
4.由相互作用势能可以求的几个参量
∂U (r ) (1) | r = r0 = 0 ∂r
r0
a (晶格常数) 晶格常数)
∂2U ∂V ) 0 2 V
(2) K
= −V (
∂ P ) ∂ V
K =V ( 0
β 设由N个原子组成的晶体的体积为 设由 个原子组成的晶体的体积为 V = N R3
∂2U 1 ∂2U K = V0 ∂V 2 = 9N R ( ∂R2 )R0 β 0 V0
第二章 晶体中原子的结合 总 结
晶体结合能的普遍规律 五种基本结合类型 元素和化合物结合的规律
晶体结合能的普遍规律
1.晶体的结合能 晶体的结合能就是将自由的原子(离子或分子) 晶体的结合能就是将自由的原子(离子或分子)结合成晶体 时所释放的能量。 时所释放的能量。
Eb = EN − E0
E0是晶体的总能量，EN是组成该晶体的 个原子在自由状态 是晶体的总能量， 是组成该晶体的N个原子在自由状态 时的总能量， 即为晶体的结合能。 时的总能量，Eb即为晶体的结合能。 2.原子间相互作用势能
2.非极性分子晶体 (1)结构： (1)结构： 结构 具有饱和电结构的原子或分子+ 范德瓦尔斯-伦敦力 伦敦力。 具有饱和电结构的原子或分子 范德瓦尔斯 伦敦力。 (2)结合力： 范德瓦尔斯 伦敦力。 结合力： 范德瓦尔斯-伦敦力 伦敦力。 结合力 (3)配位数： 通常取密堆积 配位数为12。 配位数： 通常取密堆积,配位数为 。 配位数 配位数为
(3)氢键晶体 (3)氢键晶体 结构：氢原子同时与两个负电性较大， 结构：氢原子同时与两个负电性较大，而原子半径较小 的原子( 、 、 等 结合，构成氢键。 的原子(O、F、N等)结合，构成氢键。 A 氢键具有饱和性。 氢键具有饱和性。 H B 共价键
元素和化合物结合的规律
1.电离能： 中性原子失去1个电子成为+ 价离子时所需要的能量为第一 中性原子失去 个电子成为+1价离子时所需要的能量为第一 个电子成为 电离能， 价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能。 电离能，从+1价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能。 价离子再移去一个电子所需能量为第二电离能
N µq2 B U =− ( − n) 2 4πε0R R
µ = ∑ '+ j − a j
N
1
马德隆常数
(5)体积弹性模量 体积弹性模量
µ q2 K= (n−1) 4 72βπε0R 0
(6)结合能 结合能
Nµ q2 1 (1− ) Eb = 8πε0R0 n
(7)离子半径 (7)离子半径 单价离子半径： 单价离子半径：
N N N ' U(r) = ui = ∑u(rij ) 2 2 j=1
其中u 其中 i、u(rij)为第 个原子与其他所有原子间的相互作用 ( 为第i个原子与其他所有原子间的相互作用 势能及第i个原子与第 个原子间的相互作用势能 势能及第 个原子与第j个原子间的相互作用势能。 个原子与第 个原子间的相互作用势能。
C R1 = Z−S
C：由外层电子主量子数决定的一个常数； ：由外层电子主量子数决定的一个常数； S：屏蔽系数；Z：原子序数。 ： 蔽系数； ：原子序数。 多价离子半径
பைடு நூலகம்
Rη = R1 ⋅ η − 2 ( n−1)
Rη：多价离子半径；n：玻恩指数；η：离子的价数。 离子的价数。 多价离子半径； ：玻恩指数；
6 若晶体取简立方结构,只计及最近邻原子 若晶体取简立方结构 只计及最近邻原子A6=_______, 只计及最近邻原子 6 7.5 6.2 A =_______;计及次近邻原子 =_______,A =_______. 计及次近邻原子A 计及次近邻原子
12 6 12
1 1 A = 6× 6 = 6, A = 6× 12 = 6 6 12 1 1 1 1 A6 = 6× 6 + 12× = 7.5, 6 1 2
1 Nµ q 2 2Nq2 ln2 1 (1 − ) = − U ( R0 ) = − (1− ) 4πε 0 R0 n 4πε0 R0 n
B µq 2 (2)使 R0 → R0 (1 − δ ), 使 U ( R0 ) = − N ( − n) 4πε 0 R0 R0 B µq 2 U [ R0 (1 − δ )] = − N [ ] − n n 4πε 0 R0 (1 − δ ) R0 (1 − δ )
一.填空 填空
A B 1.某晶体中两原子间的相互作用势 u(r) = − 6 + 12 ,其中 和B 其中A和 某晶体中两原子间的相互作用势 其中 r r 是经验参数,都为正值 为原子间距,______项为引力势,_______ 都为正值,r为原子间距 项为引力势 是经验参数 都为正值 为原子间距 第一 项为引力势 第二
证明:(1) 由2N个离子组成的离子晶体的互作用势能 证明 个离子组成的离子晶体的互作用势能: 个离子组成的离子晶体的互作用势能
B µq2 U(R) = −N( − n) 4πε0 R R
∂U ∂R
R = R0
nB µq = N( − n+1 ) = 0 2 4πε 0 R R
2
µq 2 B= R0n −1 4πε 0 n
e2 − R
(最近邻间 最近邻间) 最近邻间
2N e2 解: U = − ´ ± ∑u(rij ) = −N[∑´ r − 近邻λe−R ρ ] ∑ j 2 j j
以负离子为参考离子,同号取“ ” 异号取 异号取“ ” 以负离子为参考离子 同号取“-”,异号取“+”; 同号取 令最近邻离子间距离为R,则 令最近邻离子间距离为 则 设最近邻离子数目为Z 设最近邻离子数目为
A B u(r ) = − m + n r r
A、B、m、n>0 、 、 、 >0
其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。 其中第一项表示吸引能，第二项表示排斥能。
A B u (r ) = − m + n r r
库仑斥力 吸引力----库仑引力； 吸引力----库仑引力； ----库仑引力 排斥力 泡利不相容原理 3.N个原子组成的晶体相互作用势能
2B 含有 项为斥力势,平衡时最近邻两原子间距 平衡时最近邻两原子间距r 含有N个原 项为斥力势 平衡时最近邻两原子间距 0=________,含有 个原 A
6 σ 12 σ 子的这种晶体的总结合能表达式为:_____________________. 子的这种晶体的总结合能表达式为 U(R) = 2Nε A − A 12 6 R R