数学思想方法课件

用数形结合思想解题，不仅直观，易于寻找解题途径，而且能 避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，可起到事半功倍的效 果．所以华先生还一语双关地告诫学生“不要得意忘形”．
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例 若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝3－ 4x－x2有公共点， 则 b 的取值范围是( )
A．[－1,1＋2 2] B．[1－2 2，1＋2 2] C．[1－2 2，3] D．[1－ 2，3]
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(2)方程思想：在某变化过程中，往往需要根据一些要求， 确定某些变量的值，这时常常列出这些变量的方程或(方程 组)，通过解方程(或方程组)求出它们，这就是方程思想．
2．函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之 间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决， 很多函数的问题也需要用方程的方法来支援，函数与方程之 间的辩证关系，形成了函数方程思想．
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数 y＝f(x)，当 y ＞0 时，就转化为不等式 f(x)＞0，借助于函数图象与性质解决 有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式．
(3)数列的通项或前 n 项和是自变量为正整数的函数，用 函数的观点处理数列问题十分重要．
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(4) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位 置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次 方程与二次函数的有关理论。
│ 函数与方程思想
函数与方程思想
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1．“函数与方程”思想的地位 函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比 重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多．函数思想即 将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数， 结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关 求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问 题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为 方程模型加以解决．
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突出将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题的 意识，即由“数”到“形”的转化；另一方面在解答题中以由 “形”到“数”的转化为主来考查数形结合思想；对于分类与 整合思想是以解答题为主进行考查的，通常是通过对含有字母 参数的数学问题进行分类与整合的研究，考查考生思维的严谨 性与周密性；转化与化归思想在高考中的重点是一些常用的变 换方法，如一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命 题的等价转化等．
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(2)[2010·全 国 卷 Ⅰ ] 若 变 量 x ， y 满 足 约 束 条 件
y≤1， x＋y≥0，
则 z＝x－2y 的最大值为( )
x－y－2≤0，
A．4 B．3 C．2 D．1
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(2)B 【解析】 画出可行域(如下图)，z＝x－2y⇒y＝ 12x－12z，由图可知，当直线 l 经过点 A(1，－1)时，z 最大， 且最大值为 zmax＝1－2×(－1)＝3.
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2．“函数与方程”思想的作用 运用方程思想解决问题主要从四个方面着手：一是把问题中 对立的已知与未知建立相等关系统一在方程中，通过解方程 解决；二是从分析问题的结构入手，找出主要矛盾，抓住某 一个关键变量，将等式看成关于这个主变元(常称为主元)的 方程，利用方程的特征解决；三是根据几个变量间的关系， 符合某些方程的性质和特征(如利用根与系数的关系构造方 程等)，通过研究方程所具有的性质和特征解决；四是中学数 学中常见的数学模型(如函数、曲线等)，经常转化为方程问 题去解决．
【点评】 反客为主，变换主元是解题的关键．
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例 若关于 x 的方程 x2＋2kx－1＝0 的两根 x1、x2 满足 －1<x1<0<x2<2，则 k 的取值范围是( ) A.－34，0 B.－34，0 C.0，43 D.0，34
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A 【解析】 设函数 f(x)＝x2＋2kx－1，∵关于 x 的方 程 x2＋2kx－1＝0 的两根 x1、x2 满足－1<x1<0<x2<2，
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例
（1）[2009·山东卷]
函数
y
＝
ex＋e－x ex－e－x
的
图
象
大
致
为
()
图 7－20－1
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A 解析】 (1)函数有意义，需使 ex－e－x≠0，其定义
域为{x|x≠0}，排除
C，D.又因为
y＝eexx＋ －ee－ －
x
x＝
ee22xx＋ －11，所
│ 数形结合思想
数形结合思想
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1．数形结合思想的概念 数形结合思想，就是把问题的数量关系和图形结合起来考 查的思想方法，即根据解决问题的需要，可以把数量关系 的问题转化为图形的性质和特征去研究，或者把图形的性 质问题转化为数量关系的问题去研究．数形结合思想，不 仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思想方法， 在高考中经常考查．
（1） 已知实系数方程 x2＋(m＋1)x＋m＋n＋1＝0 的两个实根分别为 x1，x2，且 0＜x1＜1，x2＞1，则mn 的取 值范围是( )
A.－2，－12 B.－2，－12 C.－1，－12 D．(－2，－1)
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(1) A 【解析】 解答此题的关键是要由根的分布将条 件转化为 m，n 的关系式，令 f(x)＝x2＋(m＋1)x＋m ＋n＋1，则 f(x)＝0 的两根分别满足 0<x1<1，x2>1，
(2)双向性原则：即进行几何直观分析，又要进行相应的 代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分析容易失真；
(3)简单性原则：不要为了“数形结合”而数形结合，而 取决于是否有效、简便和更易达到解决问题的目的．
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2．运用数形结合思想分析解决问题时要注意： (1)两个或两个以上的函数图象在同一个坐标系内时，必 须要考虑它们的相对位置关系，否则极易出错．例如方程 sinx ＝lgx 有多少个实数解？很多学生由图得只有 1 个解，这是错 误的． (2)要熟记常见函数或曲线的形状和位置，画图要比较准 确．
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(1)C 【解析】 曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2 ＝4(1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为 2 的半圆．依据 数形结合，当直线 y＝x＋b 与此半圆相切时须满足圆心(2,3) 到直线 y＝x＋b 距离等于 2，∴|2－32＋b|＝2，解得 b＝1 ＋2 2或 b＝1－2 2.因为是下半圆，故可得 b＝1－2 2， 当直线过(0,3)时，解得 b＝3，故 1－2 2≤b≤3，所以 C 正确．
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纵观近几年的高考试题，都加大了对数学思想方法的 考查，把数学思想方法的考查寓于各部分知识的考查之 中，以知识为载体，着重考查能力与方法题目很常见．在 今后的数学高考中，仍然会在选择题、填空题、解答题中 以初等数学的各个知识点为背景，考查数学思想方法，对 数学思想方法的考查不会削弱，会更加鲜明，更加重视．
(5) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经 常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．
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例 对于满足 0≤p≤4 的所有实数 p，不等式 x2＋px＞4x ＋p－3 都成立，则实数 x 的取值范围是____________．
x>3 或 x<－1 【解析】 原不等式可化为 p(x－1)＋(x2－4x＋3)＞0，记 f(p)＝p(x－1)＋x2－4x＋ 3，由已知 0≤p≤4，f(p)＞0 恒成立， 有ff40＝＝xx22－－14>x＋0. 3>0， 解之得 x＞3 或 x＜－1.
f－1>0， ∴f0<0，
f2>0，
2k<0， 即－1<0，
4k＋3>0，
∴－34<k<0，故选择 A.
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1．函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处量变量 或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是很重 要的数学思想．
(1)函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函 数关系表达出来，并研究这些量之间的相互制约关系，最后解 决问题，这就是函数思想．应用函数思想解题，确立变量之间 的函数关系是一关键步骤，大体可分为下面两个步骤：①根据 题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问 题；②根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题．
专题 数学思想方法
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数学思想方法是对数学知识最高层次的提炼与概括， 数学思想方法较之数学知识具有更高的层次，具有理性的 地位，它是一种数学意识，属于思维和能力的范畴，它是 数学知识的精髓，是知识转化为能力的桥梁．
高考中把函数与方程的思想作为数学思想方法的重点 进行考查，通过选择题和填空题考查函数与方程思想的基 本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识网络的 交汇处，从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考 查；对数形结合思想的考查侧重两个方面：一方面是充分 利用选择题和填空题的题型特点(只需写出结果而无需写 出解答过程)，
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(3)若动直线 x＝α 与函数 f(x)＝sinx 和 g(x)＝cosx 的图 象分别交于 M、N 两点，则MN的最大值为( )
A．1 B. 2 C. 3 D．2
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1．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原 则：
(1)等价性原则：要注意由于所作的草图不能精确刻画数 量关系带来的负面效应；
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【点评】 本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能 力及计算能力．求解时，将代数式赋予了几何意义，那就是 直线的“在轴上的截距的 2 倍的相反数”，再结合图形，从 而使问题得到解决．除了赋予“截距”的意义外，我们还经 常将式子赋予“斜率”“两点间的距离”等．请看下面变式 题．
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2．数与形转换的三条途径 (1)通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解． (2)转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到形
的角度来考虑．如将 a2＋b2转化为勾股定理或平面上两点 间的距离等．
(3)构造，通过对数(式)与形特点的分析，联想相关知识 构造图形或函数等．比如构造一个几何图形，构造一个函数， 构造一个图表等．
即
有
f0＝m＋n＋1>0， f1＝2m＋n＋3<0，
n m
即
为
以
上
区
域
内
的
动
点(m，n)和原点连线的斜率的范围(如图)，从而得到
－2<mn <－21.
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(2)当 x∈R 时，求函数 f(x)＝ x2＋2x＋2＋ x2－4x＋8的最小值．
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(2)【解答】 从代数角度难以找到解题的途径，若把 f(x) 稍作变形，f(x)＝ x＋12＋1＋ x－22＋4，可以观察到 f(x)就是点 P(x,0)到点 A(－1，－1)、B(2，－2)的距离之 和，如图，显然当 P 点与坐标原点重合时 f(x)min＝ 2＋ 8 ＝3 2.
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3．数形结合的主要解题方式 (1)数转化为形，即根据所给出的“数”的特点，构造符合
条件的几何图形，用几何方法去解决． (2)形转化为数，即根据题目特点，用代数方法去研究几何
问题． (3)数形结合，即用数研究形，用形研究数，相互结合，使
问题变得简捷、直观、明了． 华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”．运
以当 x>0 时函数为减函数，故选 A.
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(2)[2010·安徽卷] 设 abc>0，二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c 的图象可能是( )
图 7－20－2
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D【解析】 (2)根据二次函数图象开口向上或向下，分 a>0 或 a<0 两种情况分类考虑．另外还要注意 c 值是抛物线与 y 轴交 点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．当 a>0 时，b、c 同号，C、D 两图中 c<0，故 b<0，－2ba>0，选 项 D 符合．
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3．“函数与方程”思想在高中数学中的体现 (1)函数与方程是密切相关的，对于函数 y＝f(x)，当 y＝0
时，就转化为方程 f(x)＝0，也可以把函数式 y＝f(x)看做二元 方程 y－f(x)＝0.函数问题(例如求函数的值域、最值等)可以转 化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求 解，如解方程 f(x)＝0，就是求函数 y＝f(x)的零点．