2019年中考数学总复习专题04三角形与四边形综合题课件

题型一 求长度
拓展1 [2018·张家界] 如图Z4-2,在矩形ABCD中,点E在BC上,AE=AD,DF⊥AE,垂足为F. (1)求证:DF=AB; (2)若∠FDC=30°,且AB=4,求AD的长.
解:(1)证明:如图,在矩形 ABCD 中,AD∥BC,∴∠1=∠2.
图 Z4-2
又∵DF⊥AF,∴∠DFA=90°.∴∠DFA=∠B. 又∵AD=EA,∴△ADF≌△EAB.∴DF=AB. (2)∵∠1+∠3=90°,∠FDC+∠3=90°,∴∠1=∠FDC=30°.∴AD=2DF. 又∵DF=AB,∴AD=2AB=2×4=8.
题型三 求角度
例3 [2017·枣庄] 如图Z4-9,已知正方形ABCD中,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在 线段CB的延长线上,连接EA,EC. (1)如图①,若点P在线段AB的延长线上,求证:EA=EC; (2)如图②,若点P为线段AB的中点,连接AC,判断△ACE的形状,并说明理由; (3)如图③,若点P在线段AB上,连接AC,当EP平分∠AEC时,设AB=a,BP=b,求a∶b及∠AEC的度数.
图 Z4-9
Байду номын сангаас
题型三 求角度
例3 [2017·枣庄] 如图Z4-9,已知正方形ABCD中,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在 线段CB的延长线上,连接EA,EC. (2)如图②,若点P为线段AB的中点,连接AC,判断△ACE的形状,并说明理由; (2)△ACE 是直角三角形.理由如下: ∵P 为 AB 的中点,∴PA=PB.又 PB=PE,∴PA=PE. ∴∠PAE=45°. 又∠CAB=45°,∴∠CAE=90°,即△ACE 是直角三角形.
题型二 求面积
例2 [2018·广西] 如图Z4-5,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.
(1)求证:▱ABCD是菱形;
(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD的面积.
图 Z4-5
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴∠B=∠D.∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°.
题型一 求长度
例1 [2018·遵义] 如图Z4-1,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE), 且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN. (1)求证:OM=ON; (2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长. 解:(1)证明:∵四边形 ABCD 是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°.∠OBA=45°, ∴∠OAM=∠OBN=135°.∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON. ∴△OAM≌△OBN(ASA).∴OM=ON. (2)过点 O 作 OH⊥AD 于点 H.∵正方形的边长为 4,∴OH=HA=2.∵E 为 OM 的中 点,∴HM=4.∴OM= 22 + 42=2 5.∴MN= 2OM=2 10.
∵GF⊥BC,∴∠BGF=45°.∵∠AGF=105°,∴∠AGB=∠AGF-
∠BGF=105°-45°=60°.在 Rt△ABH 中,∵AB=1,∴AH=BH= 2.
2
在
Rt△AGH
中,∵AH=
22,∠GAH=30°,∴HG=AH·tan30°=
6.
6
∴BG=BH+HG= 2+ 6.
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图 Z4-4
图 Z4-1
题型一 求长度
【分层分析】 (1)证△OAM≌△OBN即可得; (2)作OH⊥AD,由正方形的边长为4且E为OM的中点,知OH=HA=2,HM=4,再根据勾股定理得OM=2,由等 腰直角三角形的性质知MN=OM. 【方法点析】 解求边长之类的题:添加常用辅助线,将四边形化成三角形(或构造直角三角形),通过解直 角三角形去求.
解:(1)证明:∵四边形 ABCD 和四边形 BPEF 是正方形,
∴AB=BC,BP=BF,∴AP=CF.
������������ = ������������, 在△APE 和△CFE 中, ∠������ = ∠������,
������������ = ������������,
∴△APE≌△CFE.∴EA=EC.
专题（四） 三角形与四边形综合题
题型解读
几何所涉及的计算与证明一般都是以三角形、四边形为基础,三角形的综合一 般结合其边与角,通过转化为特殊的三角形,如等边三角形、等腰三角形、直角 三角形等解决问题,而四边形一般通过连接对角线,从而转化为三角形,再进行 计算与证明. 三角形与四边形相关的题一般结合相似三角形、平行线、勾股定 理、面积、锐角三角函数等知识,重在考查对知识的全面理解与掌握.
(2)由勾股定理,得
DF= ������������2 + ������������2= 32 + 42=5.过点 E 作 EP ⊥DF 于 P,则 EP=������������������·������������������=152,∵四边形 BCEF 是菱形,∴EF=CE.由勾股定理,得
FP= ������������2-������������2= 32-(152) 2=59.∴CP=FP=59, AF=DC=DF-CF=5-2×59=75.
解:(1)结论:AG2=GE2+GF2.理由:如图,连接CG.∵四边形ABCD是正方 形,∴A,C关于对角线BD对称.∵点G在BD上,∴GA=GC.∵GE⊥DC于点 E,GF⊥BC于点F,∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°.∴四边形EGFC是矩 形.∴CF=GE.在Rt△GFC中,∵CG2=GF2+CF2,∴AG2=GF2+GE2.
又∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD.∴AB=AD.∴四边形 ABCD 是菱形. (2)连接 BD,交 AC 于点 O.∵四边形 ABCD 是菱形,AC=6,∴AC⊥BD,AO=OC=12AC=12×6=3.∵AB=5,AO=3,
∴BO= ������������2-������������2= 52-32=4.∴BD=2BO=8.∴S 平行四边形 ABCD=12AC·BD=24.
∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB=5.∵sin∠BAC=������������=������������,∴ ������ =4.∴x=4,即 CD=4.
������������ ������������ 3-������ 5
3
3
(2)S△ABD=12AB·DH=12×5×43=130.∵BD=2DE,∴S△ABD∶S△ADE=������������������������
(3)如图,设 CE 与 AB 交于点 G.∵EP 平分∠AEC,EP⊥AG,
∴AP=PG=a-b,BG=a-(2a-2b)=2b-a.
∵PE∥CF,∴������������=������������,即������= ������-������ .解得 a= 2b,即 a∶b= 2∶1.
������������ ������������ ������ 2������-������
������������ ������������
∠BCG,证明∠AEC=∠ACB,即可求出∠AEC 的度数. 【方法点析】 在四边形中证角相等时,常结合平行四边形的性质、平行线的性质,全等三角形、相似三 角形的性质去解题.
图 Z4-9
题型三 求角度
例3 [2017·枣庄] 如图Z4-9,已知正方形ABCD中,P为射线AB上的一点,以BP为边作正方形BPEF,使点F在 线段CB的延长线上,连接EA,EC. (3)如图③,若点P在线段AB上,连接AC,当EP平分∠AEC时,设AB=a,BP=b,求a∶b及∠AEC的度数.
作 GH⊥AC 于点 H.∵∠CAB=45°,∴HG= 2AG= 2×(2 2b-2b)=(2- 2)b.
2
2
又 BG=2b-a=(2- 2)b,∴GH=GB.∵GH⊥AC,GB⊥BC,∴∠HCG=∠BCG.
∵PE∥CF,∴∠PEG=∠BCG.∴∠AEC=∠ACB=45°.∴∠AEC=45°.
图 Z4-9
题型一 求长度
拓展2 [2018·呼和浩特] 如图Z4-3,已知A,F,C,D 四点在同一条直线上,AF=CD,AB∥DE,且 AB=DE. (1)求证:△ABC≌△DEF; (2)若EF=3,DE=4,∠DEF=90°,请直接写出使四 边形EFBC为菱形时AF的长度.
图 Z4-3
解:(1)证明:∵AB∥DE,∴∠A=∠D, ∵AF=CD,∴AC=DF. 又∵AB=DE,∴△ABC≌△DEF.
题型三 求角度
【分层分析】 (1)根据正方形的性质和全等三角形的判定定理易证△APE≌△CFE,由全等三角形的性质即可得结论; (2)根据正方形的性质、等腰直角三角形的性质即可判定△ACE 为直角三角形;(3)设 CE 与 AB 交于点 G, 作 GH⊥AC 于点 H,根据 PE∥CF,得到������������=������������,计算求出 a∶b,根据角平分线的判定定理得到∠HCG=
题型二 求面积
拓展3 [2018·青海] 如图Z4-8,在平行四边形ABCD中,E为AB边上的中点,连接DE并延长,交CB的延长线于
点F.
(1)求证:AD=BF;
(2)若平行四边形ABCD的面积为32,试求四边形EBCD的面积. 解:(1)证明:∵E 是 AB 边上的中点,∴AE=BE.∵AD∥BC,∴∠ADE=∠F.在△ADE
题型二 求面积
拓展1 如图Z4-6,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,∠ABC的平分线交边AC于点D,延长BD至点E,且
BD=2DE,连接AE.
(1)求线段CD的长;
(2)求△ADE的面积.
图 Z4-6
解:(1)过点 D 作 DH⊥AB,垂足为点 H.∵BD 平分∠ABC,∠C=90°,∴DH=DC=x,则 AD=3-x.
题型一 求长度
拓展3 [2017·杭州] 如图Z4-4,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点 E,GF⊥BC于点F,连接AG. (1)写出线段AG,GE,GF长度之间的数量关系,并说明理由; (2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.
(2)当四边形 EGFH 是正方形时,EF⊥GH 且 EF=GH.∵在△BEC 中,点 G,H 分别是
BE,CE 的中点,∴GH=12BC=12AD=12a,且 GH∥BC.∴EF⊥BC.∵AD∥BC,AB⊥BC,
∴AB=EF=GH=1a.∴矩形
2
ABCD
的面积=AB·AD=12a·a=12a2.
图 Z4-7
图 Z4-8
和△BFE 中,∠ADE=∠F,∠DEA=∠FEB,AE=BE,∴△ADE≌△BFE.∴AD=BF.
(2)过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,则 DM 是平行四边形 ABCD 的高. ∴S△AED=12·12AB·DM=14AB·DM=14×32=8.∴S 四边形 EBCD=32-8=24.
=2.∴S△ADE=130
×1=5.
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题型二 求面积
拓展2 [2018·陇南] 如图Z4-7,在矩形ABCD中,E是AD边上的一个动点,点F,G,H分别是BC,BE,CE的中点. (1)求证:△BGF≌△FHC; (2)设AD=a,当四边形EGFH是正方形时,求矩形ABCD的面积.
解:(1)证明:∵点 F,G,H 分别是 BC,BE,CE 的中点,∴FH∥BE,FH=12BE,∴FH=BG, ∠CFH=∠CBG.又∵BF=CF,∴△BGF≌△FHC.
题型二 求面积
【分层分析】 (1)利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题; (2)连接BD,交AC于O,利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题. 【方法点析】 在四边形或三角形中求面积,关键是要将四边形转化为三角形,再利用三角形的全等、相 似、直角三角形的勾股定理,求出其底与高,再求面积.
图 Z4-4
题型一 求长度
拓展3 [2017·杭州] 如图Z4-4,在正方形ABCD中,点G在对角线BD上(不与点B,D重合),GE⊥DC于点 E,GF⊥BC于点F,连接AG. (2)若正方形ABCD的边长为1,∠AGF=105°,求线段BG的长.
(2)过点 A 作 AH⊥BG 于点 H.∵四边形 ABCD 是正方形,∴∠ABD=∠GBF=45°.