双曲线及其标准方程ppt
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2
双曲线与椭圆之间的区别与联系： 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b
方程
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
（1）2a<2c ；
（2）2a >0 ；
F1
o
F2
方程的推导
求曲线方程的步骤：yBiblioteka M1. 建系设点.
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
O
F2
x
2. 写出适合条件的点M的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简.
得1 m 2
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F1
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
O
F2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 1 2 2 a b
2
2
(a 0，b 0)
x y 2 1 2 a b
2
2
y
M
y
M F2
F ( ±c, 0)
F1
o
F2
x
F1
x
y2 x2 2 1 2 a b
变式二:
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m 的范围和焦点坐标。
分析:
m 1 0 m2 2 m 0
c 2 (m 1) (m 2) 2m 1
焦点为 23 m （ 0， (0 ,2 m ) 1)
双曲线及其标准方程
y
首 页
M
上 页
下 页 小 结 结 束
F1
o
F2
x
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
动 画
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
M x, y
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1 c, 0
O
F2 c, 0 X
2. 引入问题： 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
o
F2
x
F1
x
方程
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
2
2
焦点
a.b.c 的关系
c a b
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a.b.c的 关系 a>b>0，a2=b2+c2
祝同学们身体健康,学习进步, 天 天 好 心 情!
思考:
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
当 0°≤θ≤180°时， 方程 x2cosθ+y2sinθ=1 的曲线怎样变化？
2
2
∴
∴
a = 3, c = 5
b2 = 52-32 =16
x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
x2 y2 练习1:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
求m的取值范围.
分析: 由 (2 m)(m 1) 0
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值
动 画
等于常数（小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线.
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.
解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
∵ 2a = 6, c=5
F(0, ± c)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
x2 1. 16 y2 3. 16
y2 1 9 x2 1 9
x2 y2 2. 1 F(±5,0) 9 16 2 2 y x 4. 1 F(0,±5) 9 16
练习2:证明椭圆
x2 y 2 1 25 9
与双曲线
x2-15y2=15的焦点相同.
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变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P， 焦点为F1,F2,求|PF1|.
分析:
|PF1|+|PF2|=10, | PF1 | | PF2 | 2 15.
双曲线与椭圆之间的区别与联系： 椭 定义 圆 双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
2 x2 - y = 1 2 2 a b y2 x2 = 1 2 2 a b
|MF1|+|MF2|=2a
2 x2 + y = 1 2 2 a b
方程
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y2 x2 + 2 =1 2 a b 焦点
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点; ② |F1F2|=2c ——焦距.
M
注意
（1）2a<2c ；
（2）2a >0 ；
F1
o
F2
方程的推导
求曲线方程的步骤：yBiblioteka M1. 建系设点.
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
O
F2
x
2. 写出适合条件的点M的集合； 3. 用坐标表示条件，列出方程； 4. 化简.
得1 m 2
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
变式一:
x2 y2 1 表示双曲线时，则m的取值 方程 2m m1
m 1 或 m 2 范围_________________.
双曲线的标准方程
y
M
y
M F2 x
F1
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
O
F2
x
O
F1
x y 2 1 2 a b
2
2
y x 1 2 2 a b
2
2
(a 0，b 0)
x y 2 1 2 a b
2
2
y
M
y
M F2
F ( ±c, 0)
F1
o
F2
x
F1
x
y2 x2 2 1 2 a b
变式二:
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
上述方程表示焦点在y轴的双曲线时，求m 的范围和焦点坐标。
分析:
m 1 0 m2 2 m 0
c 2 (m 1) (m 2) 2m 1
焦点为 23 m （ 0， (0 ,2 m ) 1)
双曲线及其标准方程
y
首 页
M
上 页
下 页 小 结 结 束
F1
o
F2
x
1. 椭圆的定义
平面内与两定点F1、F2的距离的 和 等于常数
动 画
2a ( 2a>|F1F2|>0) 的点的轨迹.
Y
M x, y
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1 c, 0
O
F2 c, 0 X
2. 引入问题： 平面内与两定点F1、F2的距离的 差 等于常数 的点的轨迹是什么呢？
定义
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
M F2
y
图象
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
F1
o
F2
x
F1
x
方程
x y 2 1 2 a b
F ( ±c, 0)
2
2
y x 2 1 2 a b
F(0, ± c)
2 2
2
2
焦点
a.b.c 的关系
c a b
F（±c，0）
F（±c，0）
F（0，±c）
F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
a.b.c的 关系 a>b>0，a2=b2+c2
祝同学们身体健康,学习进步, 天 天 好 心 情!
思考:
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
当 0°≤θ≤180°时， 方程 x2cosθ+y2sinθ=1 的曲线怎样变化？
2
2
∴
∴
a = 3, c = 5
b2 = 52-32 =16
x2 y2 1 所以所求双曲线的标准方程为： 9 16
x2 y2 练习1:如果方程 2 m m 1 1 表示双曲线，
求m的取值范围.
分析: 由 (2 m)(m 1) 0
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如图(B)， |MF2|-|MF1|=2a
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
由①②可得： | |MF1|-|MF2| | = 2a （差的绝对值）
上面 两条合起来叫做双曲线
定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差 的绝对值
动 画
等于常数（小于︱F1F2︱） 的点的轨迹叫做双曲线.
例1 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上 一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线 的标准方程.
解:根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
x y 2 1 (a 0, b 0) 2 a b
∵ 2a = 6, c=5
F(0, ± c)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
练习：写出以下双曲线的焦点坐标
x2 1. 16 y2 3. 16
y2 1 9 x2 1 9
x2 y2 2. 1 F(±5,0) 9 16 2 2 y x 4. 1 F(0,±5) 9 16
练习2:证明椭圆
x2 y 2 1 25 9
与双曲线
x2-15y2=15的焦点相同.
首 页 上 页 下 页 小 结 结 束
变式: 上题的椭圆与双曲线的一个交点为P， 焦点为F1,F2,求|PF1|.
分析:
|PF1|+|PF2|=10, | PF1 | | PF2 | 2 15.