复合材料力学 第三章 各向异性弹性力学基础

六、弹性常数的取值范围
判定依据是非零应力状态下，材料的弹性应变能位正值， 应变能应是应变（或应力）的正定二次型。
W
为
1 W S ij i j 2 i 的正定二次型的充要条件是矩阵 S
的所有主要主子式大于零，即：
S11 0,
S11
S12
S 21 S 22
0, , det Sij 0
前三个分别是xy，yz，zx平面内的3个应变量间的协调关系；而 后三者则分别是正应变和3个切应变之间的协调关系。
3、边界条件 力边界条件： 位移边界条件：
ij ni Ti (在S )
*
ui ui (在Su )
*
4、各向异性本构方程（小变形）
i Cij j 及 i Sij j
可以推得：
设仅有 1 , 4 ，即有
W S11 2S14 1 4
2 1
2 4
而 1 4 在x3变向时要变号，为保证W相同， 则有
S14 0
同理：
S14 S 24 S 34 S 46 0 S15 S 25 S 35 S 56 0
是由于ij的对称性而都是重复的。
6个独立等式：
(i, j, k , l 1,2,3)
共有81个方程，但只有6个是不同的，其余的不是恒等式就
x 2 2 xy y x
2
2 y
2 xy
y
2
z 2 2 z y yz
2 2
yz
z x zx 2 2 x z zx
分量形式为：
(i, j 1,2,3)
x xy xz X 0 x y z yx x y y yz z Y 0
zx zy z Z 0 x y z
2、几何关系（小变形）
1 ij (u i , j u j ,i ) 2

1、对于各向同性，可推得：
E0
实际上一般为：
1 1 2
1 0 2
2、对于正交各向异性，有：
E1 , E2 , E3 , G23 , G31 , G12 0
1 E1 对称
12
，…… 等等
E2 0 1 E2
作业：
1、推导正交各向异性材料柔度矩阵为零的分量； 2、推导正交各向异性材料中各个常数的取值范围。
S12 S 22 S 23 0 0 0
S12 S 23 S 22 0 0 0
0 0 0 S 44 0 0
0 0 0 0 S 66 0
0 0 0 0 0 S 66
由工程应变形式的展开式为：
五、各向同性（2个弹性常数）
E,
S11 S 12 S12 0 0 0 S12 S11 S12 0 0 0
取
x1 , x2 , x3 为三个正交弹性主轴，如图所示：
由a）、b）两坐标系中计算的应变能应该相同，而在两坐 标系下：
31 , 12 , 31 , 12（即 5 , 6 , 5 , 6 ）变号，可得：
S16 S 26 S36 S 45 0
即：
S11
其中Sij为柔度系数，4、5和6即为剪应力23、31和12。 可见各向异性体一般具有耦合现象：正应力引起剪应变，剪 应力也可以引起正应变；反之亦然。
二、有一弹性对称面（13个弹性常数）
弹性对称面：沿这些平面的对称方向弹性性能是相同的。 材料主轴（或弹性主轴）：垂直于弹性对称面的轴。
利用两个方向下材料的应变能密度表达式应保持不变（即 利用两个坐标系计算得到的单位体积应变能的结果是相同的）
列的单向纤维复合材料，宏观 而言则是一正交异性体。 共有9个弹性常数：
E1 , E2 , E3 , 12 , 31 , 23 , G23 , G31 , G12
1轴沿纤维方向，并有
ij ji
ij
没有对称性。
，而是
ij
Ej
Sij

ji
Ei
即
可展开为：
四、横观同性（5个弹性常数）
第三章 各向异性弹性力学基础
§3-1 各向异性弹性力学基本方程
基本未知量：
位移分量：u, v, w 应变分量： x , y , z , yz , zx , xy 应力分量： x , y , z , yz , zx , xy
基本方程：
1、平衡方程
ij, j f i 0
分量形式为：
u x x
w v yz y z
u w zx z x
v y y
w z z
xy
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
v u x y
变形协调方程：六个应变分量应该满足的一个关系，即
ij,kl kl,ij lj,ki ki,lj 0
S12 S 22
S13 S 23 S 33
0 0 0 S 44
0 0 0 0 S 55
对
称
0 0 0 0 0 S 66
由此可得：1）当采用材料主轴来描述正交异性体时，没有任 何拉剪耦合现象； 2）在非材料主轴系里，正交异性材料仍有耦合
现象。 纤维在横截面内按矩形排
C33 C44 C55
C66
剪-剪耦 合
§3-2 各向异性弹性力学的本构方程
一、完全各向异性（21个弹性常数）
1 S11 1 S12 2 S13 3 S14 4 S15 5 S16 6
Cij C ji
刚度矩阵
(i, j 1,2,,6)
Sij S ji
柔度矩阵
各向异性体的弹性应变能为：
1 1 W C ij i j S ij i j 2 2
拉-拉耦合 （泊桑效 应）
拉剪耦 合
C11




C22
2 2 2
x zx ( )2 x y z x yz xy yz zx 2 y ( )2 y z x y zx
2
xy
yz
yz zx xy 2 z ( )2 z x y z xy
E G 2(1 )
S12 S12 S11 0 0 0 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 2( S11 S12 ) 0 0 0 0 0 0
E1 E 2 E 3 , 12 G G G 23 12 1 1 [ 1 ( 2 3 )] E 2 2 3 1 3 1 2 3 1 23 23 31 G 31 12 12
纤维在横截面内随机排列的，宏观而言，其在横向的所有
方向的弹性性能相同，则称为横向同性。由于横向同性，则在 2-3平面内应为各向同性，则有
E2 G23 2(1 23 )
故只有5个独立常数：
E1 , E2 , 21（或 12）， G12 ,G23 （或 23）
即：
S11 S 21 S 21 0 0 0
4 23 0 5 31 0 6 12 S36 3
此公式说明：当沿弹性主轴拉伸时，除纵向伸长、横向收缩
外，还会引起与主轴垂直的面内剪应变，且弹
性主轴方向不变。
三、正交各向异性（9个弹性常数）
正交各向异性是指有三个互相正交的弹性主轴的情况。（有三
个互相正交的弹性对称面）
独立常数减少为13个，即
S11
S12 S 22
S13 S 23 S 33
0 0 0 S 44
0 0 0 S 45 S 55
对
称
S16 S 26 S 36 0 0 S 66
如果
3 0
，其余应力分量为零，则有：
1 S13 3 ; 2 S 23 3 ; S ; 33 3 3