线性二次型最优控制

Chapter7 线性二次型最优控制
稳定性是控制系统的一个重要指标，还要考虑诸如调节时间、超调、振荡等动态特性以及控制器所消耗的能量等因素。

通过极点配置可使系统具有期望的稳定性和动态性能，然而并没有考虑控制的能量代价。

用Lyapunov 稳定性理论解决“参数优化问题”，通过选取一个适当的参数，可以在保证系统稳定的前提下，使二次型性能指标最小化，从而使系统的过渡过程具有较好的性能，有必要将这种方法推广到控制器设计。

7.1 二次型最优控制
在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案（如多输入系统的极点配置状态反馈控制器是不唯一的），具有最小能量的控制方式更具实际意义。

对于
Bu Ax x
+= Cx y = （7-1） 系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述： ⎰∞
+=0d ][t Ru u Qx x J T T （7-2）
Q 是对称正定（半正定）加权矩阵，R 是对称正定加权矩阵，他们反映了设
计者对状态x 和控制u 中各分量重要性的关注程度。

第一项反映控制性能，这一项越小，状态衰减到0的速度越快，振荡越小，控制性能越好；第二项反映对控制能量的限制。

通常状态x 衰减速度越快，控制能量越大，这是一个矛盾，最优控制的目的就是寻找Q 、R ，调和上述矛盾，问题归结为，对给定系统（7-1）和保证一定性能指标（7-2）的前提下，,设计一个控制器u ，使J 最小。

若系统的状态是可以直接测量的，且考虑的控制器是状态反馈控制器，则可以证明，使性能指标（7-2）最小化的最优控制器具有以下线性状态反馈形式：
Kx u -= （7-3） 将控制器（7-3）代入系统方程（7-1）可得
x BK A x
)(-= （7-4） 若系统是渐近稳定的，矩阵BK A -所有特征值均具有负实部，根据线性时不变系统的Lyapunov 稳定性定理，（7-4）一定存在一个正定对称矩阵P 的二次
型Lyapunov 函数Px x x T =)V (，利用系统的稳定性可得
⎰⎰
∞∞
⋅-⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++=00d )(V d d d )(V d d t x t t x t Ru u Qx x J T
T []
{}∞
==∞
--+-++=⎰t t T T T T t x t x P BK A BK A P x Ru u Qx x 00
)]([V d )()(
[]
000d Px x t x P B K PBK P A PA RK K Q x T
T T T T T +--+++=⎰∞
对上式“下划线”部分“+”“-”P B PBR T 1-进行配平方得到
P B PBR P B PBR P B K PBK RK K T T T T T 11---+-- P B PBR P B R K R P B R K T T T T 111)()(------=
可得
[]
00
01d Px x t x P B PBR P A PA Q x J T
T T T +-++=⎰∞
- ⎰∞
----+0
11d )()(t x P B R K R P B R K x T T T T （7-5）
求解最优控制问题，就是选取一个适当的增益矩阵K ，是性能指标J 最小化。

由（7-5）只有第三项依赖于矩阵K ，而且是非负的，只有当第三项等于零J 才能最小，当且仅当
P B R K T 1-= （7-6）
K 依赖于正定对称矩阵P ，特别是当可以找到一个P ，满足Riccati 方程 01=+-+-Q P B PBR P A PA T T （7-7）
此时 00Px x J T
= （7-8）
闭环系统方程为 x P B BR A x
T )(1--= （7-9） 最优状态反馈控制器为 Px B R u T 1--= （7-10） 可以证明，确实有
x P P B BR A P B BR A P x Px x x
P x t
x T T T T T T ])()([d )
dV(11---+-=+= x P B PBR P A P B PBR PA x T Q
T T T ][1)
77(1---=--+-= (利用了P 的对称性)
0][1<+-=-x P B PBR Q x T T (利用了Q 、R 、P 的正定对称性) 这就证明了最优状态反馈控制器（7-10）Px B R u T 1--=是稳定的。

稳定化的最优控制状态反馈控制器的设计步骤小结：
（1）求解Riccati 方程（7-7）01=+-
+-Q P B PBR P A PA T T ，结合利用矩阵正定 性、对称性要求，确定P ；
（2）将求得的正定对称矩阵P 代入（7-10）Px B R u T 1--=
如果二次性能指标中是输出向量，即
⎰∞
+=0d ][t Ru u Qy y J T T Cx y =
⎰∞
+=0
d ][t Ru u x QC C x J T T T 相当于QC C Q Q T ='→
例7-1 （187P 例7.1.2）对如图控制系统u x x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000102121 （虚线框部分方程，显然系统只是“临界”稳定的），设计一个最优状态反馈控制器)()(t Kx t u -=，
使系统性能指标0d 001012>⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰∞==μμt u x x J R Q T 最小（Q 对称正定）。

解： 写出Riccati 方程01=+-+-Q P B PBR P A PA T T
0001)10)(1(10010000102212
1211
22121211
2212
1211
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒μp p p p p p p p p p p p 上式有三个独立方程，再结合利用P 正定性要求，
其解为 ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21
1
22212
1211
μμp p
p p 于是，系统的最优控制器为
x x x x Px B R u T 221
12
)10(11211+--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++⨯⨯-=-=-μμμ 此时，相应的闭环系统为 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-2112110)(x x x P B BR A x T μ ，特征值为 )22(2
1
2,1-±+-=μμs （系统是渐近稳定的）。

7.2 应用Matlab 求解二次型最优控制
在Matlab 中，函数
R)Q,B,lqr(A,]E P,K,[= （7-11） 给出了相应二次型最用控制问题的解。

函数输出变量中的K 是最优反馈增益矩阵，P 是Riccati 方程（7-7）的对称正定解矩阵，E 是最优闭环系统的极点。

例7-2（190
P 例7.2.2）对系统u x x x x x x
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10092735100010321321 ，设计一个最优状态反馈控制器)()(t Kx t u -=，使系统性能指标⎰∞
==⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡+=0
12
3d t u x I x J R Q T 最小（Q 为
3阶单位矩阵）。

解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，执行以下m-文件
]9-27-35-1;000;10[A =； ]10;0;[B =；
]1000;100;01[Q =；
[1]R =；
R)Q,B,lqr(A,]E P,K,[=
可得
0.0676
0.1107
0.0143
K =
0.06760.11070.01430.11072.81502.49570.0143
2.49574.2625P =
1.7110i
1.9859- 1.7110i 1.9859-5.0958-E -+=
因此，系统的最优状态反馈控制器为 x u ]0676.01107.00143.0[-=
检验最优闭环系统对初始状态T x ]001[0=的响应，执行以下m-文件
]9-27-35-1;000;10[A =； ]10;0;[B =；
]0.06760.11070.0143[K =
))3(eye ),3(eye ),3(eye K,*B -A (ss sys =； 8:01.0:0t =
)t ]0;0;1[sys (initial x ，，= x *]001[1x '=； x *]010[2x '=； x *]100[x 3'=；
)
x 1'ylabel(')t(sec)'x label('grid
)x 1t (plot )122(subplot ；；，；，，
)
x 2'ylabel(')t(sec)'x label('grid
)x 2t (plot )222(subplot ；；，；，，
)
x 3'ylabel(')t(sec)'x label('grid
)x 3t (plot )322(subplot ；；，；，，
得到如图响应曲线
例7-3（192
P 例7.2.3）系统u x x x x x x
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100320100010321321 ，x y )001(=，其
中T T y
y y
x x x x )()(32
1 ==，设r 为参考输入，控制信号Kx r k x k x k x r k u -=+--=1332211)()(（如图所示）。

为了获得快速响应，加权系数
R q ii >>，性能指标为⎰∞
=⎥
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=02d 01.010*********t u x x J R
Q T
求0=r 条件下系统的最优状态反馈控制器)()(t Kx t u -=，使系统性能指标最小，并检验最优闭环系统在)(1t r =的输出相应。

解：系统为能控标准型，存在状态反馈控制器，当0=r ，执行以下m-文件
]3-2-01;000;10[A =； ]10;0;[B =；
]1000;100;0100[Q =；
[0.01]R =；
R)Q,B,lqr(A,]E P,K,[=
可得
11.6711
53.1200100.0000K =
x u ]6711.1112.53100
[-=
最优闭环系统的状态方程为
r Bk x BK A r k Kx B Ax Bu Ax x
11)()(+-=+-+=+= 输出方程为 x Cx y ]001[== 执行以下m-文件检验)(1t r =的输出响应
]3-2-01;000;10[A =；
]10;0;[B =；
]001[C =；
[0]D =； ]6711.110012.53.0000
100[K -=；
K(3)3k K(2)2k K(1)1k ===；；；
% 闭环系统状态空间模型参数 K *B -A A A =；
k1*B B B =； C CC =；
D DD =；
5:01.0:0t =
)t 1,,DD CC,BB,,AA (step ]t x y [=，，； )y t,(plot grid
)
x 1'y output ylabel(')t(sec)'x label('=；
7.3 离散时间系统的线性二次型最优控制
考虑离散自治系统
)()1(k Ax k x =+ （7-12）
系统的性能指标为 ∑∞==0
)()(21k T
k Qx k x J （7-13）
类似于连续系统参数优化，根据Lyapunov 稳定性理论，对给定的对称正定矩阵Q ,由（7-12）的稳定性，可得离散时间Lyapunov 方程
0=+-Q P PA A T （7-14） 存在一个正定对称解矩阵P ，因此
)()())((k Px k x k x V T = （7-15） 是系统（7-12）的一个Lyapunov 函数。

它沿系统（7-12）任意轨迹的差分
)()()1()1())(())1(())((k Px k x k Px k x k x V k x V k x V T T -++=-+=∆
)(])[()()()()(k x P PA A k x k Px k x k PAx A k x T T T T T -=-= 利用（7-14）可得
)()())(())1((k Qx k x k x V k x V T -=-+ （7-16） （7-16）两边∑∞
=0k 并利用系统的渐近稳定性可得
∑∑∞
=∞=+-==00))]1(())(([21)()(21k k T k x V k x V k Qx k x J
∑∞=-++-=−−
→−0
)
157()]1()1()()([21k T T k Px k x k Px k x （中间相抵消） )0()0(2
1Px x J T
=
（7-17） 这表明，只要能从（7-14）求得正定对称矩阵P ，代入（7-17）就可以求得性能指标J ，而无须求无穷级数（7-13）。

例7-4（195P 例7.3.1）系统⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+01)0()(111)1(x k x a k x ，，025.0<≤-a ，确
定参数a ，使I Q k Qx k x J k T
==∑∞=，0
)()(21最小。

解：系统极点是a s +±=12,1，因为025.0<≤-a ，系统的两个极点在单位圆内，系统是渐近稳定的，系统性能指标为)0()0(2
1Px x J T
=
由离散时间的Lyapunov 方程解出对称正定的P
0100111111122121211
22121211
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-p p p p a p p p p a 可得
01222212=++p a ap
0)2(221211=--+ap p a p 0121211=+-p p 三个方程解三个未知数
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-+-+-++-
=)2(3)2(1)2(1)
2(22a a a a a a a a a a a P 对025.0<≤-a 范围内的参数值，0>P ，因此系统的性能指标为
)
2(222101)01(21
)0()0(212
1122121211a a a p p p p p Px x J T +-+==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛== 222
)2()1(3d d a a a t J +--=
对于025.0<≤-a ，
0d d >t
J
，表明J 单调上升，于是J 在25.0-=a 时达到最小值。

3571.2)
25.02(5.025.022min
=-+=J 以下进一步讨论离散系统的线性二次型最优控制问题。

)()()1(k Bu k Ax k x +=+ （7-18）
二次型性能指标为 ∑∞=+=0
)]()()()([21k T T
k Ru k u k Qx k x J （7-19）
R Q 、均为对称正定矩阵。

希望设计一个线性状态反馈控制器使（7-19）最小。

)()(k Kx k u -= （7-20） 类似可以得到，若（7-18）能控，则线性二次型最优控制问题有解，且最优控制器为： )()()(1k x PA B PB B R k u T T -+-= （7-21） 其中P 满足离散时间的Riccati 方程：
0-)(1=++--Q P PA B PB B R PB A PA A T T T T （7-22） 例7-5（619P 例7.3.2）系统)()()1(k u k x k x +=+，求最优状态反馈控制器，使性
能指标∑∞=+=0
22
)]()([21k k u k x J 最小。

解：系统1=A ，1=B ，且1=Q ，1=R
Riccati 方程为： 01)1(1=++--p p p → 012=--p p
该方程的解为：)51(21±=p ，由于P 是正定的，故取)51(2
1
+=p
最优状态反馈控制器为：
)()15(21)()51(2
1
)51(211)()1()(1
1
k x k x k x p p k u --=+⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=+-=--
最优闭环系统为：)()53(2
1
)()15(21)()()()1(k x k x k x k u k x k x -=--=+=+
显然，该系统是渐近稳定的，闭环系统最小性能指标为
)0()51(4
1
)0(2122x px J +==
Matlab 给出了函数dare 来求解离散时间的Riccati 方程（7-22），函数dlqr 则给出了离散系统线性二次型最优控制问题的解（7-21）。