7.2闭区间上连续函数性质的证明

§7.2 闭区间上连续函数性质的证明
教学目标：证明闭区间上的连续函数性质．
教学内容：闭区间上的连续函数有界性的证明；闭区间上的连续函数的最大(小)值定理的证明；
闭区间上的连续函数介值定理的证明；闭区间上的连续函数一致连续性的证明．
基本要求：掌握用有限覆盖定理或用致密性定理证明闭区间上连续函数的有界性；用确界原理
证明闭区间上的连续函数的最大(小)值定理；用区间套定理证明闭区间上的连续函数介值定理．
较高要求：掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的有界性和一致连续性． 教学建议：
(1) 本节的重点是证明闭区间上的连续函数的性质．
(2) 本节的难点是掌握用有限覆盖定理证明闭区间上的连续函数的一致连续性以及实数完备性的六大定理的等价性证明,对较好学生可布置这方面的习题． 教学过程：
在本节中,将利用关于实数完备性的基本定理来证明第四章2中给出的闭区间上连续函数的基本性质.
一、有界性定理 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续,则f 在[]b a ,上有界
证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 参阅[3]P106—107.
证法 二 ( 用致密性定理). 反证法.
证明 如若不然,)(x f 在],[b a 上无界,∈∀n N ,],[b a x n ∈∃,使得n x f n >|)(|,对于序列}{n x ,它有上下界b x a n ≤≤,致密性定理告诉我们k n x ∃使得],[0b a x x k n ∈→,由)(x f 在0x 连续,及
k n n x f k >|)(|有
+∞
==∞
→|)(|lim |)(|0k n k x f x f ,
矛盾.
证法 三 ( 用有限复盖定理 ). 参阅[1]P168—169
证明 （应用有限覆盖定理） 由连续函数的局部有界性（th4.2）对每一点[]b a x ,'
∈都存
在邻域()x x '
',δ ⋃及正数'x M
使
()()[]b a x x M x f x x ,,''
'⋂⋃∈≤δ
考虑开区间集
()(){}b a x x H x ,,'''∈⋃=δ
虽然H 是[]b a ,的一个无限开覆盖,由有限开覆盖定理,存在H 的一个有限点集
()[]{}k i b a x x H i i i ,,2,1,, =∈⋃=*δ
覆盖了[]b a ,,且存在正整数,,,21k M M M 使对一切()[]b a x x i i ,,⋂⋃∈δ有()k i M x f i ,,2,1, =≤,令
k
i i
M M ≤≤=1m ax
则对[]b a x ,∈∀,x 必属于某()()M M x f x i i i ≤≤⇒δ, ,即证f 在[]b a ,上有上界． 二、最值性:
命题2 ] , [)(b a C x f ∈, ⇒ )(x f 在] , [b a 上取得最大值和最小值. ( 只证取得最大值 )
证 ( 用确界原理 ) 令
)}
({sup x f M b
x a ≤≤=,+∞<M , 如果)(x f 达不到M ,则恒有
M x f <)(.
考虑函数
)(1
)(x f M x -=
ϕ,则],[)(b a C x ∈ϕ,因而有界,即)0()(>≤μμϕx , 从而
M
M x f <-
≤μ
1
)(,这与M 是上确界矛盾,因此],[b a x ∈∃,使得M x f =)(.
类似地可以证明达到下确界.
三、介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”.
命题3 （零点存在定理或根的存在性定理）设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续即
]),([)(b a C x f ∈且)(a f 与)(b f 异号（)(a f 0)(<b f ）,则在),(b a 内存在一点0x 使得 0
)(0=x f .即方程0)(=x f 在),(b a 内至少存在一个实根.
证法 一 ( 用区间套定理 ) .设0)(<a f ,0)(>b f .将],[b a 二等分为],[c a 、],[b c ,若
0)(=c f 则c x =0即为所求；若0)(≠c f ,当0)(>c f 时取],[c a 否则取],[b c 为],[11b a ,有
0)(1<a f ，0)(1>b f .如此继续,如某一次中点i c 有0)(=i c f 终止（i c 即为所求）；否则得
]}
,{[n n b a 满足：⑴
⊃⊃⊃⊃],[],[],[11n n b a b a b a ；
⑵ 0
2lim
)(lim =-=-∞→∞
→n
n n n n a
b a b ；
⑶
)(,0)(><n n b f a f
由闭区间套定理知,∃唯一的
]
,[1
0n n n b a x ∞
=∈ ,且=∞
→n n a lim 0
lim x b n n =∞
→
由)(x f 在0x
处的连续性及极限的保号性得
)()(lim 0≤=∞
→x f a f n n 、0lim ()()0n n f b f x →∞=≥0
)(0=⇒x f #
证二( 用确界原理 ) 不妨假设0)(<a f （从图1看,0x
是使得0)(>x f 的x 的下确界）,令
]},[,0)(|{b a x x f x E ∈>=,要证E x inf 0=（E inf 存在否？）.
因为Φ≠⇒∈E E b ,],[b a E ⊂E ⇒有界,故E inf 存在.令 E
x inf 0=,下面证0)(0=x f
如若不然,
)(0≠x f 则
)(0>x f （或
)(0<x f ）（从图形上可清楚看出,此时必存在
1x x <使0)(1>x f ）.
首先a
x ≠0,即
]
,(0b a x ∈；f 在0x
连续,由连续函数的局部保号性],[),(0b a x U ⊂∃⇒δ使得
),(0δx U x ∈∀有0)(>x f ,特别应有0)2(0>-δx f 即 E x ∈-20δ
,这与E x inf 0=矛盾,故必有0
)(0=x f .
证法 二 ( 用确界原理 ) 不妨设,0)(>a f 0)(<b f .
令} ] , [ , 0)( | {b a x x f x E ∈>=, 则E 非空有界, ⇒ E 有上确界. 设E sup =ξ, 有∈ξ] , [b a . 现证 0)(=ξf , ( 为此证明)(ξf 0≥且)(ξf 0≤ ). 取n x >ξ 且
n x ) ( ,∞→→n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(≤n x f , ⇒ 0)(l i m )(≤=∞
→n n x f f ξ,
⇒ ξE ∉. 于是) ( , ∞→→∍∈∃n t E t n n ξ. 由)(x f 在点ξ连续和0)(>n t f , ⇒ 0)(lim )(≥=∞
→n n t f f ξ. 因此只能有0)(=ξf .
证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
介值性定理 设f 在闭区间[]b a ,上连续,且()()()()b f a f b f a f 与为介于若μ≠之间的任何实数
()()b f a f <<μ或()()b f a f >>μ,则存在()b a x ,∈ 使()μ= x f ．
证明 (应用确界定理) 不妨设
()()()()μμ-=<<x f x g b f a f 令 则g 也是[]b a ,上连续
函数,()()0,0>>b g a g ,于是定理的结论转为:()()0,,=∈∃ x g b a x 使这个简化的情形称为根的存在性定理(th4.7的推论)
记()[]{}b a x x g x E ,,0∈>=显然E 为非空有界数集[]()E b b a E ∈⊂且,故有确界定理, E 有下确界,记()()0,0inf ><=b g a g E x 因 有连续函数的局部保号性, 0>∃δ,使在),[δ+a a 内
0)(<x g ,在),(δ-b b 内0)(>x g ．由此易见a x ≠ ,b x ≠ ,即()b a x ,∈ ．
下证()0= x g ．倘若()0≠ x g ,不妨设()0> x g ,
则又由局部保号性,存在()()()b a x ,,⊂η 使在其内)0(>x g ,特别有
E
x x g ∈-⇒>⎪⎭⎫ ⎝⎛
-202ηη =0,
但此与E x inf = 矛盾,则必有0)(0=x g ．
几何解释 直线c y =与曲线)(x f y =相交.把x 轴平移到c y =,则问题成为零点存在问题.这启发我们想办法作一个辅助函数,把待证问题转化为零点存在问题.辅助函数如何作？
① 从几何上,c y y x x -='=',启示我们作c x f x F -=)()(； ② 从结果
c
x f =)(0着手.
利用零点定理证：令c x f x F -=)()(,则]),([)(b a C x F ∈,往下即转化为零点存在问题. # 这种先证特殊、再作辅助函数化一般为特殊,最后证明一般的方法是处理数学问题的常用方法,以后会经常用到.
推论 如f 为区间I 上的连续函数,则值域)(I f J =也是一个区间（可以退化为一点）. 证 f 为常量函数,则)(I f J =退化为一点.f 非常量函数,则J 当然不是单点集.在J 中任取两点21y y <（只要证J y y ⊂],[21）,则在I 中必有两点1x ,2x 使得11)(y x f =,22)(y x f =.于是对21y y y <<∀,必存在x ,x 介于1x 与2x 之间,使y x f =)(,即J y ∈因而J y y ⊂],[21⇒J 是一个区间.
二、一致连续性:
命题4 ( Cantor 定理 ) ],[)(b a C x f ∈, 则)(x f 在],[b a 上一致连续.
证法 一 ( 用有限复盖定理 ) 参阅[1]P171[ 证法一 ]
证明 (用有限覆盖定理) 由f 在闭区间[]b a ,上连续性,0>∀ε,对每一点[]b a x ,∈,都存
在0>x δ,使当()x x x δ,'
∈时,有
()
()2'ε
<
-x f x f
考虑开区间集合
[]⎭⎬
⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛=b a x x H x ,2,δ 显然H 是[]b a ,的一个开覆盖,由有限覆盖定理H ∃的一个有限子集
[]0
2min ,,,2,12,>⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛=*i i i b a k i x H δδδ记覆盖了
对
[]
δ<-∈∀"
'
"
'
,,x x b a x x ,x '必属于*H 中某开区间,设
⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,'
i i x x δ ,即2'i
i x x δ<-,此时有
i
i
i
i
i i x x x x x x δδδδδ=+
≤
+
<-+-≤-2
2
2
''""
故有（2）式同时有
()
()()
()22
"'ε
ε
<
-<
-i i x f x f x f x f 和
由此得 ()
()[]上一致连续
在b a f x f x f i ,'∴<-ε.
证法 二 ( 用致密性定理). 参阅[1]P171—172 [ 证法二 ]
证明 如果不然,)(x f 在],[b a 上不一致连续,00>∃ε,0>∀δ,],[,b a x x ∈'''∃,δ<''-'||x x ,而
0|)()(|ε≥''-'x f x f .
取
n 1=
δ,],[,b a x x n n
∈'''∃,n x x n n 1
||<''-',而0|)()(|ε≥''-'n n x f x f ,由致密性定理,存在子序列],[0b a x x k n
∈→',而由
k n n
n x x k k 1
||<''-',也有0x x k n
→''. 再由)(x f 在0x 连续,在0
|)()(|ε≥''-'k k n n x f x f 中令∞→k ,得
000|)()(|lim |)()(|0ε≥''-'=-=∞
→k k n n
k x f x f x f x f ,
矛盾.所以)(x f 在],[b a 上一致连续.
推广 ),()(b a C x f ∈,()f a +,
()f b -
∃⇒)(x f 在),(b a 上一致连续. 作业 [1]P172 1,2 3,4, 5*；P176 1,2,4.。