有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究【开题报告】

毕业论文开题报告

数学与应用数学

有关中值定理中辅助函数构造的一般方法研究

一、选题的背景、意义

1.辅助函数构造法背景

当某些数学问题使用通常办法按定势思维去考虑而很难奏效时，可根据题设条件和结论特征、性质展开联想，进而构造出解决问题的特殊模式——构造辅助函数。辅助函数构造法是数学分析中一个重要的思想方法，在数学分析中具有广泛的应用。构造辅助函数是把复杂问题转化为已知的容易解决问题的一种方法，在解题时，常表现为不对问题本身求解，而是构造一个与问题有关的辅助问题进行求解。

微积分学中辅助函数的构造是在一定条件下利用微积分中值定理求解数学问题的方法。通过查阅现有的大量资料发现，现在国内外对微积分学中辅助函数构造法的研究比较多，其中有一部分研究的是辅助函数构造法的思路，但大部分研究的是辅助函数的构造在微积分学解题中的应用。通过构造辅助函数，可以解决数学分析中众多难题，尤其是在微积分学证明题中应用颇广，且可达到事半功倍的效果。

2.研究现状及发展趋势

辅助函数的构造是我们解决问题的重要工具，对它的研究从没中断过，众多数学工作者对微积分学中辅助函数的构造做了很多研究，也取得了很多学术成果。

辅助函数构造法在数学的发展过程中，有着非常重要的地位，许多经典的定理和公式都是运用到了辅助函数构造法再得以完美的解决，所以对辅助函数构造法的研究也应该运用到更为广泛的领域当中，它可以将未知的问题化为现有的简单的问题。本文只是着重探讨了微积分领域中的一些辅助函数构造法的思路，现在已经有很多学者在更为广泛的数学问题中研究运用辅助函数构造法。相信辅助函数构造法的思想会继续推动着数学领域更好的发展。

二、相关研究的最新成果及动态

本文主要研究辅助函数构造在微积分中的地位与作用，而其中主要分三部分内容，一是

通过分析罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导，尤其是其中辅助函数的构造思想；二是讨论有关中值命题证明中辅助函数构造的方法，归纳罗列出几种常见的方法，从而方便的解决有关中值命题的证明；三是在具体的题目中运用所罗列的构造法，体味构造法的思想。

本文研究的重点内容是通过分析罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导，尤其是其中辅助函数的构造思想，给出有关中值命题证明中辅助函数构造的一般性方法，从而方便的解决有关中值命题的证明。

三、课题的研究内容及拟采取的研究方法（技术路线）、难点及预期达到的目标

1.研究方法与路线

本文主要是通过搜集一些期刊、网页、书籍中有关研究对象辅助函数构造的资料，包括它的历史背景、性质及应、研究的现状及发展方向等内容。然后对资料进行整理，提取有用信息，形成论文的大体构思，其中补充自己的观点，使全文有较好的协接。

本文从罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理的推导切入，在理解其辅助函数的构造思想的基础上来探讨辅助函数构造的方法；接下来转入有关中值命题证明中辅助函数构造的方法，归纳罗列出几种常见的方法。先介绍有关的方法，然后应用举例，由此体现构造法的优越之处。最后，给出具体的题目，运用所列的构造法，体会构造法的思想。

2.研究难点

本问研究难点主要在给出有关中值命题证明中辅助函数构造的一般性方法内容上。

3.预期的目标

通过本文的研究，在我们的《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以尝试运用辅助函数构造法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论。

四、论文详细工作进度和安排

第七学期第9周至第12周：

收集资料，阅读相关文献，对数学分析中的各种辅助函数构造形式进行深入

地学习和理解，形成系统知识，并整理完成文献综述。

第七学期第13周至第16周：

在理解的基础上给出例题，具体说明问题，撰写开题报告；翻译相关外文文献；上交文

献综述、开题报告，外文翻译。

第八学期第1周至第6周：

在前期的准备工作基础上全面展开论述，撰写论文，并完成论文初稿。

第八学期第7周至第11周：继续完善论文初稿，严格按照论文要求进行编辑和整理。

第八学期第12周至第13周：对论文进行修改完善，定稿。

第八学期第14周至第15周:做好毕业论文答辩准备事项，进行答辩。

五、主要参考文献

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