有限元法基础及应用习题集-2016修订

30．函数 u(x) 如图所示，求其在 u1 和 u2 之间有效的一维线性插值多项式。
u u(x) u
u1
u2
x1
x
x2
11
31．如图所示正方形桁架，周边长 a，桁架由五条杆单元组成，弹性模量为 E，截面积为 A， 求 P 载荷作用下 2、3 点的位移。
y
3
a
a
1
4x
a
a
2
P
32．如图所示二节点杆单元 ij，沿杆轴线分别作用一均布载荷 q0 （如图（a））和分布载荷 （如图（b））。分别求两种情况下的等效节点载荷。
P
y
2
1
3x
7
14．平面桁架如图所示， E 2106 kg/cm2 ， A 1.0cm2 。求节点位移和单元内力，并利用 节点 1 的平衡检验计算结果。
y
2
P 100kg
30cm
3
40cm
1x
15．下图中结构分别采用（b）、（c）两种编节点号方式，分别求其刚度矩阵半带宽。
9
3
45
6
6
10．试证明三角形单元形状函数
Ni

x,
y

1 2
ai

bi x

ci
y
i 1, 2,3
满足下列性质：
Ni
x,
y

0, i 1, i

j j
6
11．如下图（a）所示悬臂深梁，自由端有垂向均布载荷 F，梁的厚度为 t，设材料弹性模 量为 E，泊松比 1 3，若采用（b）所示的简单网格系统，求各节点的位移。
1m
F
2m (a)
4
1 1
F/2 3
2
2 F/2 (b)
12．图示悬臂梁为平面应力问题，试写出边界条件。
y
q
A
B
Ox
D
C
13．如图所示平面三角形桁架，终点坐标为：1（0,0），2（ L / 2 ，L / 2 ），3（ 2L ，0），E、 A 为弹性模量及截面积。用有限元法求： （1）节点位移； （2）单元内力； （3）支座反力。
F
1 k 2 2k 3 3k 4 2k 5 k 6
求：（1）系统刚度矩阵；
（2）节点 3 处作用 F 力后，各节点的位移 ，固定节点 1、6 处的反作用力。
4
5．如图所示一维杆系由两个材料相同截面不同的直杆单元（1）与（2）组成，弹性模量 E。 在节点 1、2、3 上作用有轴向集中载荷 Q1、Q2、Q3 而平衡。试求解下列各问题： （1） 建立结构的有限元平衡方程； （2） 如果节点 1 被固定（u1=0），Q2=P，Q3=0，通过建立的平衡方程求各节点位移、节 点 1 约束反力。 （3） 如果 Q2=0，Q3=P，其他条件不变，试根据问题（2）的解答和有关力学概念直接 给出节点 2、3 的位移。
6. 图示杆-弹簧系统，材料弹性模量为 E。试列出其有限元平衡方程，并进行约束处理。
7. 如图所示一维杆系由两个材料相同截面不同的直杆单元（1）与（2）组成，弹性模量 E， 节点 1，3 固定，节点 2 受集中力 P。试求解下列各问题： （4） 建立结构的有限元平衡方程。 （5） 求解节点 2 的位移和各杆的应力。 （6） 如果 P=0，且所有杆上受沿 x 方向作用的均匀线分布力 q，求未知节点位移和固 定端反力。
中相同的用局部坐标表示的节点形函数对节点坐标进行插值以获得一种坐标变换，这
种变换称为
，采用等参变换的单元称为
15. 节 点 数 越 多 的 单 元 ， 其 位 移 模 式 多 项 式
的能力越强，所以精度
。
。 ，单元
16. 单元刚度矩阵第 i 列各元素的物理意义为
i 行各元素的物理意义为
17. 弹性力学边界条件包括
和
之间的关系。该方程的力学意义是有限元离散结构中节点的
和
之间的平衡。
11. 整 体 刚 度 矩 阵 具 有 如 下 性 质 ： ①
②
③
④
。
12. 对一定的有限元网格，整体刚度矩阵的半带宽与
有关。半带宽越小，求解
时占用计算机资源
。
13. 为保证有限元解的收敛性，单元位移模式应满足
和
。
14. 建立任意形状和方位平面四边形单元和空间六面体单元时，需要采用与单元位移模式
和
之间的关系。
单元刚度方程的核心是
矩阵。该矩阵具有
性和
性，且主
对角元素
。
4. 建立实体单元（一维杆单元、三节点三角形平面单元等）的刚度方程时，须应用 原
理作为平衡条件。
5. 弹性力学几何方程反映弹性体变形时
和
之间的关系。
6.
单
元
位
移
模
式
u v

N e
中 N 称 为
是
矩阵。该方程的含义 。
的
方程和
方程。
22. 工程中有大量的回转体结构，其
和
对称于中心轴，其变形和
应力也对称于此轴，这类问题在力学上称为空间轴对称问题。
23. 对于空间轴对称三节点三角形单元，方程 Be 中矩阵 B是 矩阵，该矩阵
是 行 列矩阵。
24. 弹簧单元有
个自由度，简单梁单元有
有 元有
个自由度，简单四面体单元有 个自由。
和
，第 。 。
18. 弹性体的虚位移是假想在弹性体上发生的满足
条件的微小位移场。弹性体
的虚功原理可以概括为
等于
。
19. 弹性力学物理方程反映弹性体变形时
和
之间的关系。
20. 平 面 应 力 问 题 的 典 型 例 子 是
、平面应变问题的典型例子
是
。
21. 建立平面问题或空间问题的单元特性方程（单元分析）阶段，需要用到弹性力学
3
三、计算与分析
1．如图所示弹簧系统，试根据弹簧单元刚度方程导出系统的有限元平衡方程。
2．根据弹簧单元的刚度方程，导出下列系统的有限元平衡方程。并代入边界条件，得出节 点位移求解方程，并求解未知节点位移和节点 1、4 的支反力。
3. 对图示弹簧系统，求其总刚度矩阵。
4．如下图所示，5 个弹簧连接在一起，各弹簧的刚度系数如图上标出。
5
8.平面桁架由 2 根相同的杆组成（E，A，L）。求： （1）节点 2 位移； （2）每根杆应力。
9．如图所示三杆钢桁架，节点 1、节点 3 处固定，节点 2 处受力 Fx2 ， Fy2 ，所有杆件材料 相同，弹性模量为 E，截面积均为 A，求各杆受力。
y
3
2L
1
3
45 1
Fx 2
x
2 Fy2
s1 a11 a12 a13 a14 u1
ss23 s4


a21 aa3411
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24 a34 a44

uu23 u4

8
18．对图示有限元模型，用符号“△”标出总刚度矩阵中非零子块的分布，并计算半带宽。
21．根据单元刚度矩阵每列元素的物理意义求弹簧单元和杆单元的刚度矩阵。 22. 通过对节点位移插值建立三节点三角形单元的位移模式和形函数。
9
23. 用虚功原理推导出三节点三角形单元刚度方程。
24. 对三节点三角形单元证明其形函数满足： Nl Nm Nn 1
25．图示平面应力三角形单元：①按公式求形函数和形函数矩阵；②求该单元的应变矩阵、 应力矩阵；③单元刚度矩阵。
19．对图示平面问题，考虑到对称性，试用图形表示出其有限元模型，要求： （1）划分单元，单元数目适当； （2）给出节点编号方案； （3）标出节点载荷和位移约束 。
20. 对图示平面问题，考虑到对称性，试用图形表示出其有限元模型，要求： （1）划分单元，单元数目适当； （2）给出节点编号方案； （3）标出节点载荷和位移约束。
应变矩阵、单元刚度矩阵的行数和列数分别是多少？ 18．对于平面问题简单三角形单元，为什么应变矩阵是常数矩阵？ 19．简述单元刚度矩阵元素的物理意义。 20．如何理解整体刚度矩阵元素的物理意义？ 21．什么是等参变换？等参变换的基本条件是什么？ 22．什么是等参单元，等参单元的主要优点是什么？ 23．写出平面四节点等参元的坐标变换的雅克比（Jacobian）矩阵。 24．什么是单元节点力，对于弹簧单元，单元节点力与弹簧力 F 是什么关系？ 25．有限元系统平衡方程为什么要做约束处理？ 26．试述平面应力问题和平面应变问题的几何、受力和变形特征，并举出两类平面问题的 实例。 27．为什么节点数多的单元比节点数少的单元精度高？ 28．为什么说平面三节点三角形单元为常应力单元，如何解决由于这种单元的特点所引起
N1 和节点 N2 的位移相等；2）单元①的应力是单元②应力的二分之一。试对上述现象 进行解释。
y
z
x
单单 单 N1 P
单单 单
N2 P
10
28. 计算图示平面三角形单元的等效节点载荷列阵。设单元厚度为 h。
y
j
a
m
a
q0
i
x
29. 将图示水坝作为平面应变问题，试用图形表示出你的有限元模型，要求： （1） 用三角形单元离散，建议单元边长 1m 左右或小于 1m （2） 给出节点编号方案 （3） 写出节点载荷和位移边界条件
个自由度，三维空间梁单元 个自由度，三节点三角形空间轴对称单
二、简答题
1．简述有限元法求解连续体力学问题的基本思想？ 2．简述有限元法中离散化的涵义? 3．简述弹性力学平面问题有限元法中单元特性分析的原理和过程。 4．简述有限元法中整体分析的原理和过程。 5．平面三节点三角形单元中位移、应变和应力具有什么特征？单元有何优缺点？ 6．平面四节点矩形单元中位移、应变和应力具有什么特征？单元有何优缺点？ 7．简单三角形单元刚度矩阵元素的大小与哪些因素有关？与哪些因素无关？ 8．画出三节点三角形单元形函数的图形，并分析其在边界上的分布特点。
y j
b
m
i a
x
26．计算图示平面三角形单元的等效节点载荷列阵。设单元厚度为 h。
y j q0
a
m
x
a i 2q0
27．如图所示，两个形状相似的三节点三角形平面单元，对应边长比为 2:1，材料、厚度
相同，方位相同。约束左边上 2 个节点 x，y 方向位移，自由节点 N1 ，N2 均受铅直向 下集中力 P。两个模型分别用有限元软件计算后，发现计算结果有下列关系：1）节点
7. 单元某节点 i 的形函数 Ni 在该点的值为
单元所有节点形函数之和等于
。
，在其它节点的值均为
。一个
8. 作 用 在 单 元 上 的 载 荷 须 按
的原则移置到节点上，因
为
。
9. 单元刚度矩阵奇异性的力学意义是：
。
10. 结构的有限元平衡方程 K Q 建立了有限元离散结构中节点的
7
8
5
2
53
4
2
3
4
1
1
61
2
(a)
(b)
(c )
16．教材 P20 练习题 1-9 中，求下列 2 种情况下节点位移、节点 1 约束反力。 （1）节点 1 位移为 0，Q2= Q3=P （2）节点 1 位移为 0，Q2= Q3=0，整个杆受到沿轴线的均匀线分布力 q，方向向右。
17．根据材料力学知识和单元刚度矩阵物理意义推导出简单梁单元刚度矩阵的第三列和第 四列元素。
x
j
q0
x
j
q0
L
L
i
i
(a)
(b )
33．采用杆单元的方法，求解如图所示结构的所有节点的位移、三个杆单元的应力、支座
反力。相关的材料参量和尺寸为
有限元法基础及应用 习题集
2016 年 5 月修订
一、填空
1. 有限元法是求解连续场力学和物理问题的一种
方法。用有限元法求解连续
体或结构的力学问题的三个主要步骤是：①
；②
；
③
。
2. 结构离散化就是把连续体或结构分割成若干个在
处相互连接，尺寸有限
的
结合体来代替原来的连续结构。
3. 单元分析阶段导出的单元刚度方程建立了
2
9．对一个给定的弹性力学问题，有那些途径可以提高有限元法求解精度？ 10．有限元法的收敛条件是什么？证明三节点三角形单元满足收敛条件。 11. 平面应力三角形单元和空间轴对称三角形单元分别代表物理空间中什么样的物体？ 12. 试述所学各类单元节点数、节点位移分量、单元自由度数目。 13. 空间轴对称问题的位移分量、应变分量、应力分量有哪些？ 14. 简单（纯弯）梁单元的节点位移分量、单元自由度？ 15. 平面梁单元的节点有几个自由度？其在局部坐标系下节点位移分量有哪些？ 16. 弹性力学的基本假设？弹性力学有哪些基本方程和边界条件？ 17. 一维杆单元、三节点三角形平面单元、三节点三角形空间轴对称单元的形函数矩阵、
的计算精度不高的问题？ 29．为什么总刚度矩阵中非零子块分布具有稀疏性？ 30．为什么说简单四面体单元是一种常应变单元？ 31. 证明平面三节点三角形单元满足收敛的协调性条件。 32. 如何计算二维空间杆单元总体坐标系下的单元刚度矩阵？ 33. 平面四节点矩形单元的形函数值在单元边界上的分布有何特点？ 34. 平面 8 节点四边形等参单元的位移模式有什么特点？为什么说该单元是高精度单元？ 35. 划分等参单元时应注意哪些问题？