正交实验设计的基本方法
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一般地，当交互作用很小时，就认为因素间不存在交互作用。 对于交互作用，设计时应引起高度重视。
在试验设计中，表示A、B间的交互作用记作A×B，称为1 级交互作用；表示因素A、B、C之间的交互作用记作A×B×C， 称为2级交互作用；依此类推，还有3级、4级交互作用等。
交互作用的判别
本章主要学习内容
1. 单因素优化实验设计：均分法和对分法、 0.618法
2. 若某因素对各指标的影响程度相差不大，这时可按“少数 服从多数”的原则，选取出现次数较多的优水平；
3. 当因素各水平相差不大时，可依据降低消耗、提高效率的 原则选取合适的水平；
4. 若各试验指标的重要程度不同，则在确定因素优水平时应 首先满足相对重要的指标。
在具体运用这几条原则时，仅仅根据其中的一条可能确定不了优 水平，所以应将几条综合在一起分析。
下面通过一个例子来说明这种方法。
示例
在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提 高葛根中有效成分的提取期探索性试验，决定选取3个 相对重要的因素，乙醇浓度、液固比（乙醇溶液与葛 根质量之比）和提取剂回流次数进行正交试验，因素 水平表如下：
试验方案及实验结果
综合平衡分析依据的原则：
1. 对于某个因素，可能对某个指标是主要因素，但对另外的 指标则可能是次要因素，那么在确定该因素的优水平时， 应首先选取作为主要因素时的优水平；
dTfd因 f 素 d空 f 列误（列（
（3）方差：M因 S＝ 素Sd因 因 Sf 素 素 ， M误 S＝ 差Sd误 误 Sf 差 差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，认为该因素或交互作 用对试验结果有显著影响；若F0≼Fa，则认为 该因素或交互作用对试验结果无显著影响。
1、混合水平表安排不等水平试验
为了探索缝纫机胶压板的制造工艺，选 了如下的因素和水平：
2、采用拟水平法安排不等水平试验
试验结果及分析
六、其他类型的正交实验设计
1. 活动水平法 2. 复合因素法 3. 有交互作用的正交试验 4. 回归正交试验
交互作用
在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间的 联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验指标产生 的影响作用称为交互作用。
为了提高某化工产品的转化率，试验者选 择了3个有关的因素：反应温度A，反应 时间B，用碱量C，并且选择如下的试验 范围：A：80~90℃；B：90~150min；C： 5~7%。
要求确定最佳工艺条件（即转化率达到最 高时的反应条件）。
1、明确实验目的，确定评价指标
根据工程实践明确本次实验要解决的问 题，同时，要结合工程实际选用能定量 或定性表达的突出指标做为实验分析的 评价指标。
2. 多因素优化实验设计：正交实验设计
a) 正交设计的基本原理 b) 正交设计的基本方法及直观分析 c) 多指标的正交实验及直观分析 d) 水平数目不等的正交试验
本 章 学 习 完谢 毕谢 ，！
均衡搭配是指用正交表所安排的试验方 案，能均衡的分散在水平搭配的各个组 合方案中，因而其试验具有代表性。
三因素二水平全面试验点分布直观图
A1B2C2 B
A1B2C1 C
A2B2C2 A2B2C1
A1B1C1
A1B1C2
A2B1C2
A2B1C1 A
三因素二水平正交表
实验安排
因素 序号
1 2 3
4 5 6 7 8
反应温度A （℃）
（1）80 （1）80 （1）80
（1）80
（2）90 （2）90 （2）90 （2）90
反应时间B （ min ）
（1）90 （1）90 （2）150
（2）150 （1）90 （1）90 （2）150 （2）150
用碱量C （% ） （1）5 （2）7 （1）5
指标可能有一个，也可能有几个。
2、挑选因素
影响实验成果的因素很多，由于条件限 制，不可能逐一或全面地加以研究，因 此要根据已有专业知识及有关文献资料 和实际情况，固定一些因素于最佳条件 下，排除一些次要因素，而挑选一些主 要因素。
3、确立各因素的水平
根据有关知识或经验及有关文献资料， 首先确定该因素数量的变化范围，而后 根据实验的目的及性质，并结合正交表 的选用来确定因素的水平数和各水平的 取值；
SS2
…
…
x1
x12
…
x2
x22
…
…
…
…
xn
xn2
K1k
K2k
…
T ＝
n
xi
CT
T2
i＝ 1
n
Kmk K1k2
n
Q
＝
T
x 2i
i＝ 1
K2k2
SS
＝Q
T
T CT
…
Kmk2
Q
＝
j
1 r
m
K
i＝ 1
2 ij
SSk
SS
＝Q
j
j CT
小结：正交设计的基本方法
1. 明确实验目的，确定评价指标 2. 挑因素、选水平 3. 制定因素水平表 4. 选择合适的正交表 5. 确定实验方案、安排实验、填写评价指标 6. 计算各列的各水平效应值和极差值 7. 分析结果、画水平影响趋势图 8. 得出结论、追加试验
正交试验结果的方差分析步骤
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因 素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
数据的总变异=因素变异＋误差变异
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素SS空列（误差）
（2）自由度分解：
水平值可以用等差或等比数列来安排。
4、制定因素水平表
因素 反应温度A 反应时间B 用碱量C
水平
（ ℃ ） （ min ） （% ）
1
80
90
5
2
85
120
6
3
90
150
7
5、选择合适的正交表
常用的正交表有几十个，可以灵活选择， 但应综合考虑以下三方面的情况：
1. 考察因素及水平的多少（因素水平表）； 2. 实验工作量的大小及允许条件； 3. 有无重点因素要加以详细的考察。
选用正交表 L9（34）
列
号
实验号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
四因素三水平因素水平表
6、确定实验方案
7、安排实验
实验按照正交表中每横行规定的条件，即可 进行试验。进行试验时，应注意以下问题：
必须严格按照规定的方案完成每一号试验，因 为每一号试验都从不同角度提供有用信息；
试验进行的次序没有必要完全按照正交表上的 试验号的顺序，可按照抽签方法随机决定试验 进行的顺序；
做试验时，试验条件的控制力求做到十分严格， 尤其在水平值差别不大时。
8、正交实验结果、填写评价指标
9、计算各列的各水平效应值和极差值
10、画水平影响趋势图
11、分析
1. 温度越高，转化率越高，以90℃为最好， 还应进一步探索温度更高的情况；
（2）7 （1）5 （2）7 （1）5 （2）7
处理 组合
A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2C1
A1 B2 C2 A2 B1 C1 A2B1 C2 A2 B2 C1 A2 B2 C2
三因素二水平正交实验法实验点分布
A1B2C2 A2B2C1
A1B1C1
A2B1C2
二、正交实验设计的基本方法
由于在多指标试验中，不同指标的重要程度 常常是不一致的，各因素对不同指标的影响 程度也不完全相同，所以多指标试验的结果 分析比较复杂一些。
四、多指标的正交实验
➢ 指标拆开单个处理综合分析法—— 综合平衡法
➢ 综合评分法
1、综合平衡法
综合平衡法是，先对每个指标分别进行 单指标的直观分析，得到每个指标的影 响因素主次顺序和最佳水平组合，然后 根据理论知识和实际经验，对各指标的 分析结果进行综合比较和分析，得出较 优方案。
指标叠加法
所谓指标叠加法，就是将多指标按照某种 计算公式进行叠加，将多指标化为单指标， 而后进行正交实验直观分析。
五、水平数目不等的正交试验
➢ 利用规范化的混合水平正交表 ➢ 采用拟水平法
回顾：正交表的类型
同水平正交表： 即各因素水平数相等的表格；
混合水平正交表： 即各因素水平数不相等的表格。
2. 反应时间以120分转化率最高； 3. 用碱量以6％转化率最高。
➢ 综合起来以A3B2C2最好。
12、追加试验
追加试验方法：在A3B2C2下作几次试验，看看 平均转化率是否高于已作试验的9次试验．
实验结果表明：追加试验A3B2C2的平均转化率 为74％，显著高于前面9次试验最好的结果64 ％．
2、综合评分法
多指标正交实验直观分析除了上述方 法外，多根据问题性质采用综合评分 法，将多指标化为单指标而后分析因 素主次和各因素的较佳状态。
综合评分法示例
某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度 和回收率，这两个指标都是越大越好。因素水平表如下 所示。试通过试验分析找出较好方案，使产品的核酸含 量和回收率都有提高。
表头设计 列号
试验号
1 2 … n
K1j K2j
…
Kmj K1j2 K2j2
…
Kmj2 SSj
表1 Ln（mk）正交表及计算表格
A
B
…
…
1
2
…
k
试验数据
xi
xi2
1
…
…
1
…
…
…
…
…
m
…
…
K11
K12
…
K21
K22
…
…
…
…
Km1
Km2
…
K112
K122
…
K212
K222
…
…
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Km12
Km22
…
SS1
注意：由于温度的增加，显著地使转化率增加， 追加试验应考虑温度大于90℃的情形．
1）试验方案 设计：
试验目的与要求 试验指标
选因素、定水平 因素、水平确定 选择合适正交表
表头设计 列试验方案 试验结果分析
2）试验结果 分析：
进行试验，记录试验结果
试验结果极差分析
试验结果方差分析
计计 算算
Kk 值值
欢迎学习
实验设计与数据 处理
第三节 多因素正交实验设计
一、正交实验设计的基本原理
（一）正交表
正交表，是依据数学原理，从大量 的全面试验点中，为挑选少量具有 代表性的试验点，所制成的排列整 齐的规范化表格 。
正交表符号的含义
（三）正交性原理
正交性原理是设计正交表的科学依据， 主要表现为均衡搭配性。
计 算 极 差
R
绘 制 因 素 指 标 趋
势
图
计算各列偏差平方和、 自由度
列方差分析表，
进行F 检验
优水平 优组合
因素主次顺序
结论
分析检验结果， 写出结论
补充：正交试验结果的方差分析
极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推 广普及。但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的 数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，也就是说， 不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因 素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，无法估计试 验误差的大小。此外，各因素对试验结果的影响大小无法给 以精确的数量估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作 用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析。
课堂练习
为提高某物质的转化率，选择了三种因素，因素水平表如下：
实验结果：转化率（％）依次是51，71，58，82，69， 59，77，85，84。 分析结果，求最好生产条件。
引言：多指标正交实验设计
在实际生产和科学试验中，整个试验结果的 好坏往往不是一个指标能全面评判的，所以 多指标的试验设计是一类很常见的方法。
在试验设计中，表示A、B间的交互作用记作A×B，称为1 级交互作用；表示因素A、B、C之间的交互作用记作A×B×C， 称为2级交互作用；依此类推，还有3级、4级交互作用等。
交互作用的判别
本章主要学习内容
1. 单因素优化实验设计：均分法和对分法、 0.618法
2. 若某因素对各指标的影响程度相差不大，这时可按“少数 服从多数”的原则，选取出现次数较多的优水平；
3. 当因素各水平相差不大时，可依据降低消耗、提高效率的 原则选取合适的水平；
4. 若各试验指标的重要程度不同，则在确定因素优水平时应 首先满足相对重要的指标。
在具体运用这几条原则时，仅仅根据其中的一条可能确定不了优 水平，所以应将几条综合在一起分析。
下面通过一个例子来说明这种方法。
示例
在用乙醇溶液提取葛根中有效成分的试验中，为了提 高葛根中有效成分的提取期探索性试验，决定选取3个 相对重要的因素，乙醇浓度、液固比（乙醇溶液与葛 根质量之比）和提取剂回流次数进行正交试验，因素 水平表如下：
试验方案及实验结果
综合平衡分析依据的原则：
1. 对于某个因素，可能对某个指标是主要因素，但对另外的 指标则可能是次要因素，那么在确定该因素的优水平时， 应首先选取作为主要因素时的优水平；
dTfd因 f 素 d空 f 列误（列（
（3）方差：M因 S＝ 素Sd因 因 Sf 素 素 ， M误 S＝ 差Sd误 误 Sf 差 差
（4）构造F统计量：
F因素＝
MS因素 MS误差
（5）列方差分析表，作F检验
若计算出的F值F0>Fa，认为该因素或交互作 用对试验结果有显著影响；若F0≼Fa，则认为 该因素或交互作用对试验结果无显著影响。
1、混合水平表安排不等水平试验
为了探索缝纫机胶压板的制造工艺，选 了如下的因素和水平：
2、采用拟水平法安排不等水平试验
试验结果及分析
六、其他类型的正交实验设计
1. 活动水平法 2. 复合因素法 3. 有交互作用的正交试验 4. 回归正交试验
交互作用
在多因素试验中，不仅因素对指标有影响，而且因素之间的 联合搭配也对指标产生影响。因素间的联合搭配对试验指标产生 的影响作用称为交互作用。
为了提高某化工产品的转化率，试验者选 择了3个有关的因素：反应温度A，反应 时间B，用碱量C，并且选择如下的试验 范围：A：80~90℃；B：90~150min；C： 5~7%。
要求确定最佳工艺条件（即转化率达到最 高时的反应条件）。
1、明确实验目的，确定评价指标
根据工程实践明确本次实验要解决的问 题，同时，要结合工程实际选用能定量 或定性表达的突出指标做为实验分析的 评价指标。
2. 多因素优化实验设计：正交实验设计
a) 正交设计的基本原理 b) 正交设计的基本方法及直观分析 c) 多指标的正交实验及直观分析 d) 水平数目不等的正交试验
本 章 学 习 完谢 毕谢 ，！
均衡搭配是指用正交表所安排的试验方 案，能均衡的分散在水平搭配的各个组 合方案中，因而其试验具有代表性。
三因素二水平全面试验点分布直观图
A1B2C2 B
A1B2C1 C
A2B2C2 A2B2C1
A1B1C1
A1B1C2
A2B1C2
A2B1C1 A
三因素二水平正交表
实验安排
因素 序号
1 2 3
4 5 6 7 8
反应温度A （℃）
（1）80 （1）80 （1）80
（1）80
（2）90 （2）90 （2）90 （2）90
反应时间B （ min ）
（1）90 （1）90 （2）150
（2）150 （1）90 （1）90 （2）150 （2）150
用碱量C （% ） （1）5 （2）7 （1）5
指标可能有一个，也可能有几个。
2、挑选因素
影响实验成果的因素很多，由于条件限 制，不可能逐一或全面地加以研究，因 此要根据已有专业知识及有关文献资料 和实际情况，固定一些因素于最佳条件 下，排除一些次要因素，而挑选一些主 要因素。
3、确立各因素的水平
根据有关知识或经验及有关文献资料， 首先确定该因素数量的变化范围，而后 根据实验的目的及性质，并结合正交表 的选用来确定因素的水平数和各水平的 取值；
SS2
…
…
x1
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…
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…
…
…
…
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K1k
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…
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Q
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K
i＝ 1
2 ij
SSk
SS
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j
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小结：正交设计的基本方法
1. 明确实验目的，确定评价指标 2. 挑因素、选水平 3. 制定因素水平表 4. 选择合适的正交表 5. 确定实验方案、安排实验、填写评价指标 6. 计算各列的各水平效应值和极差值 7. 分析结果、画水平影响趋势图 8. 得出结论、追加试验
正交试验结果的方差分析步骤
方差分析基本思想是将数据的总变异分解成因 素引起的变异和误差引起的变异两部分，构造F统 计量，作F检验，即可判断因素作用是否显著。
数据的总变异=因素变异＋误差变异
（1）偏差平方和分解：
总偏差平方和＝各列因素偏差平方和+误差偏差平方和
SST SS因素SS空列（误差）
（2）自由度分解：
水平值可以用等差或等比数列来安排。
4、制定因素水平表
因素 反应温度A 反应时间B 用碱量C
水平
（ ℃ ） （ min ） （% ）
1
80
90
5
2
85
120
6
3
90
150
7
5、选择合适的正交表
常用的正交表有几十个，可以灵活选择， 但应综合考虑以下三方面的情况：
1. 考察因素及水平的多少（因素水平表）； 2. 实验工作量的大小及允许条件； 3. 有无重点因素要加以详细的考察。
选用正交表 L9（34）
列
号
实验号
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
3
1
3
3
3
4
2
1
2
3
5
2
2
3
1
6
2
3
1
2
7
3
1
3
2
8
3
2
1
3
9
3
3
2
1
四因素三水平因素水平表
6、确定实验方案
7、安排实验
实验按照正交表中每横行规定的条件，即可 进行试验。进行试验时，应注意以下问题：
必须严格按照规定的方案完成每一号试验，因 为每一号试验都从不同角度提供有用信息；
试验进行的次序没有必要完全按照正交表上的 试验号的顺序，可按照抽签方法随机决定试验 进行的顺序；
做试验时，试验条件的控制力求做到十分严格， 尤其在水平值差别不大时。
8、正交实验结果、填写评价指标
9、计算各列的各水平效应值和极差值
10、画水平影响趋势图
11、分析
1. 温度越高，转化率越高，以90℃为最好， 还应进一步探索温度更高的情况；
（2）7 （1）5 （2）7 （1）5 （2）7
处理 组合
A1 B1 C1 A1 B1 C2 A1 B2C1
A1 B2 C2 A2 B1 C1 A2B1 C2 A2 B2 C1 A2 B2 C2
三因素二水平正交实验法实验点分布
A1B2C2 A2B2C1
A1B1C1
A2B1C2
二、正交实验设计的基本方法
由于在多指标试验中，不同指标的重要程度 常常是不一致的，各因素对不同指标的影响 程度也不完全相同，所以多指标试验的结果 分析比较复杂一些。
四、多指标的正交实验
➢ 指标拆开单个处理综合分析法—— 综合平衡法
➢ 综合评分法
1、综合平衡法
综合平衡法是，先对每个指标分别进行 单指标的直观分析，得到每个指标的影 响因素主次顺序和最佳水平组合，然后 根据理论知识和实际经验，对各指标的 分析结果进行综合比较和分析，得出较 优方案。
指标叠加法
所谓指标叠加法，就是将多指标按照某种 计算公式进行叠加，将多指标化为单指标， 而后进行正交实验直观分析。
五、水平数目不等的正交试验
➢ 利用规范化的混合水平正交表 ➢ 采用拟水平法
回顾：正交表的类型
同水平正交表： 即各因素水平数相等的表格；
混合水平正交表： 即各因素水平数不相等的表格。
2. 反应时间以120分转化率最高； 3. 用碱量以6％转化率最高。
➢ 综合起来以A3B2C2最好。
12、追加试验
追加试验方法：在A3B2C2下作几次试验，看看 平均转化率是否高于已作试验的9次试验．
实验结果表明：追加试验A3B2C2的平均转化率 为74％，显著高于前面9次试验最好的结果64 ％．
2、综合评分法
多指标正交实验直观分析除了上述方 法外，多根据问题性质采用综合评分 法，将多指标化为单指标而后分析因 素主次和各因素的较佳状态。
综合评分法示例
某厂生产一种化工产品，需要检验两个指标：核酸纯度 和回收率，这两个指标都是越大越好。因素水平表如下 所示。试通过试验分析找出较好方案，使产品的核酸含 量和回收率都有提高。
表头设计 列号
试验号
1 2 … n
K1j K2j
…
Kmj K1j2 K2j2
…
Kmj2 SSj
表1 Ln（mk）正交表及计算表格
A
B
…
…
1
2
…
k
试验数据
xi
xi2
1
…
…
1
…
…
…
…
…
m
…
…
K11
K12
…
K21
K22
…
…
…
…
Km1
Km2
…
K112
K122
…
K212
K222
…
…
…ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Km12
Km22
…
SS1
注意：由于温度的增加，显著地使转化率增加， 追加试验应考虑温度大于90℃的情形．
1）试验方案 设计：
试验目的与要求 试验指标
选因素、定水平 因素、水平确定 选择合适正交表
表头设计 列试验方案 试验结果分析
2）试验结果 分析：
进行试验，记录试验结果
试验结果极差分析
试验结果方差分析
计计 算算
Kk 值值
欢迎学习
实验设计与数据 处理
第三节 多因素正交实验设计
一、正交实验设计的基本原理
（一）正交表
正交表，是依据数学原理，从大量 的全面试验点中，为挑选少量具有 代表性的试验点，所制成的排列整 齐的规范化表格 。
正交表符号的含义
（三）正交性原理
正交性原理是设计正交表的科学依据， 主要表现为均衡搭配性。
计 算 极 差
R
绘 制 因 素 指 标 趋
势
图
计算各列偏差平方和、 自由度
列方差分析表，
进行F 检验
优水平 优组合
因素主次顺序
结论
分析检验结果， 写出结论
补充：正交试验结果的方差分析
极差分析法简单明了，通俗易懂，计算工作量少便于推 广普及。但这种方法不能将试验中由于试验条件改变引起的 数据波动同试验误差引起的数据波动区分开来，也就是说， 不能区分因素各水平间对应的试验结果的差异究竟是由于因 素水平不同引起的，还是由于试验误差引起的，无法估计试 验误差的大小。此外，各因素对试验结果的影响大小无法给 以精确的数量估计，不能提出一个标准来判断所考察因素作 用是否显著。为了弥补极差分析的缺陷，可采用方差分析。
课堂练习
为提高某物质的转化率，选择了三种因素，因素水平表如下：
实验结果：转化率（％）依次是51，71，58，82，69， 59，77，85，84。 分析结果，求最好生产条件。
引言：多指标正交实验设计
在实际生产和科学试验中，整个试验结果的 好坏往往不是一个指标能全面评判的，所以 多指标的试验设计是一类很常见的方法。