(新)整系数多项式的有理根定理及求解方法

整系数多项式的有理根的定理及求解方

法

系别 & 专业： 数学系-数学与应用数学专业 姓名 & 学号： 刘玉丽 0934118 年级 & 班别： 2009级1班 教师 & 职称： 张洪刚

2018年 9月 1日

吉林师范大学博达学院 毕业论文<设计） 论文分类号O174.14 密 级：无

摘要：整系数多项式在多项式的研究中占有重要的地位，其应用价值也越来越被人们所认识。本文是关于整系数多项式有理根的求解的一个综述，希望能够给对整系数多项式感兴趣的朋友提供一定的参考。本文根据相关文献资料，给出了关于整系数多项式有理

根的较为系统的求法。求解整系数多项式的有理根时，首先要判定整系数多项式是否存在有理根。若存在，则可利用求解有理根的方法法将所有可能的有理根求出。为了简化求解过程，可以先运用本文中的相关定理，将可能的有理根的范围尽量缩小，然后再用综合除法进行检验，进而求出整系数多项式的全部有理根。

关键词：整系数多项式；有理根的求法；有理根的判定

Abstract：Integral coefficients polynomial plays an important role in the research of polynomial, and its application value will be known by more and more people. This article is about solving of rational root of integral coefficients polynomial, and I hope this can provide some references to people interested in this. There are some systematic methods of rational root of integral coefficients polynomial in some related document literature. And by which, we know we must make sure integral coefficients polynomial f(x> has rational root when we want to solve the rational root of integral coefficients.If it exists, we can get all the possible rational roots. However, in order to make the procedure easier, we can apply the related theorem in this article and narrow down the extent. And then we can testify them and get all the rational roots.

Keywords: Integral coefficients polynomial method to solve rational roots judgment of rational roots

第一章整系数多项式的基本内容【1】本节给出了整系数多项式的基本定理----高斯(Gauss>引理。

定义1[1]如果一个多项式，其所有系数

都是整数，就称此多项式为整系数多项式。

定义 2 如果一个非零的整系数多项式的系数

没有异于的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式。

下面的重要结果，称为高斯引理，是研究整系数多项式的基础。

定理1.1<高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

证明设

是两个本原多项式，而

是它们的乘积.我们用反证法.

如果不是本原的，也就是说，的系数有一异于的

公因子，那么就有一个素数能整除的每一个系数.因为的本原的，

所以不能同时整除的每一个系数.令是第一个不能被整除的系数，

即.

同样地，也是本原的，令是第一个不能被整除的系数，即

我们来看的系数，由乘积定义

由上面的假设，整除等式左端的，整除右端.这是不可能的.这就

证明了，

一定也是本原多项式.由此我们可以得到下面的定理及推论

定理 1.2 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积.

推论 1.2.1设，是整系数多项式，且是本原的.如果

=，其中是有理系数多项式，那么一定是整系数的.

第二章整系数多项式有理根的重要定理

在高等代数中，关于整系数有理根的问题，有如下定理：

定理 2.1[1]设是一个整系数多项式,而是的

一个有理根,其中r,s互素,那么必有.特别地，如果的首项系数，那么的有理根都是整根，而且是的因子。

证明：因为是的一个有理根,因此在有理数领域上，从而

,因为r,s互素，所以是一个本原多项式.根据上述推论 1.2.1，

，式中都是整数.令

，比较两边系数，即得因此

。将代入上式得,

由定理2.1的证明过程可得如下定理：

定理 2.2 若是一个次数大于的整系数多

项式,如果是的一个有理根,其中是互素的整数,那么

定理 2.3若为整系数多项式的整数根,则为常数项的约数,且对于

.

证明：因为q是整系数多项式的整数根,所以

,其中是整系数多项式.

,,则有.

又,故,所以.

当时,.因为是常数项,故为常数项的约数,所以

.

定理 2.4若整系数多项式的常数项为奇数,而为偶数,则不是的有理根.

证明：<反证法）设是的有理根,则,

,其中是整系数多项式,

于是有

设,令,则有

又因为是奇数, 是偶数.在上式中,等号左边是奇数,等号右边是偶数,矛盾.故假设不成立.

所以不是的有理根.

定理2.5<关于整根的牛顿法）【2】

如果d是整系数方程<）的

整根,那么能够整除,,,, ,并且.反之,如果,那么是的根.

由以上定理可得下面推论：