《24.4 弧长和扇形面积》教案、导学案

《24．4 弧长和扇形面积》教案

【教学目标】

1．经历弧长和扇形面积公式的探求过程．

2．会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算．

【教学过程】

一、情境导入

在我们日常生活中，弧形随处可见，大到星体运行轨道，小到水管弯管，操场跑道，高速立交的环形入口等等，你有没有想过，这些弧形的长度怎么计算呢？

二、合作探究

探究点一：弧长

【类型一】求弧长

在半径为1cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是________cm.

解析：根据弧长公式l＝nπr

180

，这里r＝1，n＝120，将相关数据代入弧长公

式求解．即l＝120·π·1

180

＝

2

3

π.

方法总结：半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为l＝nπR

180

，要求出

弧长关键弄清公式中各项字母的含义．

如图，⊙O的半径为6cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.

若∠A ＝30°，则劣弧BC ︵

的长为________cm.

解析：连接OB 、OC ，∵AB 是⊙O 的切线，∴AB ⊥BO .∵∠A ＝30°，∴∠AOB ＝60°.∵BC ∥AO ，∴∠OBC ＝∠AOB ＝60°.在等腰△OBC 中，∠BOC ＝180°－2∠OBC ＝180°－2×60°＝60°.∴BC ︵

的长为60×π×6180

＝2π.

方法总结：根据弧长公式l ＝n πR 180

，求弧长应先确定圆弧所在圆的半径R 和

它所对的圆心角n 的大小．

【类型二】利用弧长求半径或圆心角

(1)已知扇形的圆心角为45°，弧长等于

π

2

，则该扇形的半径是________； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是π

3

，那么此扇形的圆心角的大小为________．

解析：(1)若设扇形的半径为R ，则根据题意，得45×π×R 180＝π

2

，解得R ＝2.

(2)根据弧长公式得n ×π×1180

＝π3

，解得n ＝60，故扇形圆心角的大小为

60°.

方法总结：逆用弧长的计算公式可求出相应扇形的圆心角和半径． 【类型三】求动点运行的弧形轨迹

如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC ＝3，∠ACB ＝90°，∠A ＝

30°.若Rt △ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．

解析：点A 所经过的路线的长为三个半径为2，圆心角为120°的扇形弧长与两个半径为3，圆心角为90°的扇形弧长之和，即l ＝3×120π×2

180

＋2×90π×3180

＝4π＋3π.故填(4＋3)π.

方法总结：此类翻转求路线长的问题，通过归纳探究出这个点经过的路线情况，并以此推断整个运动途径，从而利用弧长公式求出运动的路线长．

探究点二：扇形面积 【类型一】求扇形面积

一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为

________．(结果保留π)

解析：把圆心角和半径代入扇形面积公式S ＝

n πr 2360

＝

120×32π360

＝3π.

方法总结：公式中涉及三个字母，只要知道其中两个，就可以求出第三个．扇形面积还有另外一种求法S ＝1

2

lr ，其中l 是弧长，r 是半径．

【类型二】求运动形成的扇形面积

如图，把一个斜边长为2且含有30°角的直角三角板ABC 绕直角顶点C

顺时针旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过图形的面积是( )

A ．π B. 3 C.

3π4＋32 D.11π12＋34

解析：在Rt △ABC 中，∵∠A ＝30°，∴BC ＝1

2

AB ＝1，由于这个三角板扫过

的图形为扇形BCB 1和扇形ACA 1，∴S 扇形BCB 1＝90·π·12

360＝π

4，S 扇形ACA 1＝

90·π·（3）2360＝3π4，∴S 总＝π4＋3π

4

＝π.故选A.

【类型三】求阴影部分的面积

如图，半径为1cm 、圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA 、OB 为直

径作半圆，则图中阴影部分的面积为( )

A ．πcm 2 B.2

3πcm 2

C.12cm 2

D.23

cm 2 解析：设两个半圆的交点为C ，连接OC ，AB ，根据题意可知点C 是半圆OA ︵，OB ︵的中点，所以BC ︵＝OC ︵＝AC ︵

，所以BC ＝OC ＝AC ，即四个弓形的面积都相等，所以图中阴影部分的面积等于Rt △AOB 的面积，又OA ＝OB ＝1cm ，即图中阴影部分的面积为1

2

cm 2，故选C.

方法总结：求图形面积的方法一般有两种：规则图形直接使用面积公式计算；不规则图形则进行割补，拼成规则图形再进行计算．

三、板书设计

【教学反思】

教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面

积时，要灵活割补法、转换法等.

《24.4 弧长和扇形面积(第1课时)》教案

【教学内容】

1．n °的圆心角所对的弧长L=180

n R

π 2．扇形的概念；

3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2

360

n R π；

4．应用以上内容解决一些具体题目． 【教学目标】

了解扇形的概念，理解n?°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．

通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长L=

2

180n R π和扇形面积S 扇=2

360

n R π的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．

【重难点、关键】

1．重点：n °的圆心角所对的弧长L=180

n R

π，扇形面积S 扇=2360n R π及其它们

的应用．

2．难点：两个公式的应用．

3．关键：由圆的周长和面积迁移到弧长和扇形面积公式的过程． 【教具、学具准备】

小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板． 【教学过程】 一、复习引入

（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．

1．圆的周长公式是什么？ 2．圆的面积公式是什么？ 3．什么叫弧长？

老师点评：（1）圆的周长C=2πR （2）圆的面积S 图=πR 2

（3）弧长就是圆的一部分． 二、探索新知

（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R ，则： 1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧． 2．1°的圆心角所对的弧长是_______． 3．2°的圆心角所对的弧长是_______． 4．4°的圆心角所对的弧长是_______． ……

5．n °的圆心角所对的弧长是_______．

（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到： n °的圆心角所对的弧长为

360

n R

π 例1制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，?试计算如图所示的管道的展直长度，即AB 的长（结果精确到0.1mm ）

分析：要求AB 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可． 解：R=40mm ，n=110 ∴AB 的长=

180n R π=11040180

π

?≈76.8（mm ） 因此，管道的展直长度约为76.8mm ．

问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m?的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:

（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？

学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．

（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域应该是n°圆心角的两个半径的n°圆心角所对的弧所围成的圆的一部分的图形，如图:

像这样，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．（小黑板），请同学们结合圆心面积S=πR2的公式，独立完成下题：

1．该图的面积可以看作是_______度的圆心角所对的扇形的面积．

2．设圆的半径为R，1°的圆心角所对的扇形面积S

扇形

=_______．

3．设圆的半径为R，2°的圆心角所对的扇形面积S

扇形

=_______．

4．设圆的半径为R，5°的圆心角所对的扇形面积S

扇形

=_______．……

5．设圆半径为R，n°的圆心角所对的扇形面积S

扇形

=_______．老师检察学生练习情况并点评

1．360 2．S

扇形=

1

360

πR2 3．S扇形=2

360

πR2 4．S扇形=

2

5

360

R

π

5．S

扇形

=

2

360

n R

π

因此：在半径为R的圆中，圆心角n°的扇形

例2．如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB=60°，求AB的长（?结果精确到0．1）和扇形AOB的面积结果精确到0．1）

分析：要求弧长和扇形面积，只要有圆心角，半径的已知量便可求，本题已满足．

解：AB 的长=

60180π×10=10

3

π≈10.5 S 扇形=60360π×102=100

6

π≈52.3 因此，AB 的长为25.1cm ，扇形AOB 的面积为150.7cm 2． 三、巩固练习 课本P122练习． 四、应用拓展

例3．（1）操作与证明：如图所示，O 是边长为a 的正方形ABCD 的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O 处，并将纸板绕O 点旋转，求证：正方形ABCD 的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ．

（2）尝试与思考：如图a 、b 所示，?将一块半径足够长的扇形纸板的圆心角放在边长为a 的正三角形或边长为a 的正五边形的中心点处，并将纸板绕O 旋转，，当扇形纸板的圆心角为________时，正三角形边被纸覆盖部分的总长度为定值a ；当扇形纸板的圆心角为_______时，正五边形的边长被纸板覆盖部分的总长度也为定值a ．

(a) (b)

（3

）探究与引申：一般地，将一块半径足够长的扇形纸板的圆心放在边长

E

C

B O

为a 的正n 边形的中心O 点处，若将纸板绕O 点旋转，当扇形纸板的圆心角为_______时，正n 边形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ，这时正n?边形被纸板所覆盖部分的面积是否也为定值？若为定值，写出它与正n 边形面积S 之间的关系（不需证明）；若不是定值，请说明理由．

解：（1）如图所示，不妨设扇形纸板的两边与正方形的边AB 、AD?分别交于点M 、N ，连结OA 、OD ．

∵四边形ABCD 是正方形

∴OA=OD ，∠AOD=90°，∠MAO=∠NDO ， 又∠MON=90°，∠AOM=∠DON ∴△AMO ≌△DNO ∴AM=DN

∴AM+AN=DN+AN=AD=a

特别地，当点M 与点A （点B ）重合时，点N 必与点D （点A ）重合，此时AM+AN 仍为定值a ．

故总有正方形的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a ． （2）120°；70° （3）

360n ?；正n 边形被纸板覆盖部分的面积是定值，这个定值是S

n

． 五、归纳小结（学生小结，老师点评） 本节课应掌握：

1．n °的圆心角所对的弧长L=180

n R

π 2．扇形的概念．

3．圆心角为n °的扇形面积是S 扇形=2

360

n R π

4．运用以上内容，解决具体问题． 六、布置作业

1．教材P124 复习巩固1、2、3 P125 综合运用5、6、7． 2．选用课时作业设计．

第一课时作业设计

一、 选择题

1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）． A ．3π B ．4π C ．5π D ．6π

2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD 的一边放在定直线L 上，按顺时针方向绕点D 旋转到如图的位置，则点B 运动到点B ′所经过的路线长度为（ ）

A ．1

B ．π

C

D π

(1) (2) (3)

3．如图2所示，实数部分是半径为9m 的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）

A ．12πm

B ．18πm

C ．20πm

D ．24πm 二、填空题 1．如果一条弧长等于

4

π

R ，它的半径是R ，那么这条弧所对的圆心角度数为______，? 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．

2．如图3所示，OA=30B ，则AD 的长是BC 的长的_____倍． 三、综合提高题

1．已知如图所示，AB 所在圆的半径为R ，AB 的长为

3

π

R ，⊙O ′和OA 、OB 分别相切于点C 、E ，且与⊙O 内切于点D ，求⊙O ′的周长．

2．如图，若⊙O 的周长为20πcm ，⊙A 、⊙B 的周长都是4πcm ，⊙A 在⊙O?内沿⊙O 滚动，⊙B 在⊙O 外沿⊙O 滚动，⊙B 转动6周回到原来的位置，而⊙A 只需转动4周即可，你能说出其中的道理吗？

3．如图所示，在计算机白色屏幕上，有一矩形着色画刷ABCD ，AB=1，AD=3，将画刷以B 为中心，按顺时针转动A ′B ′C ′D ′位置（A ′点转在对角线BD 上），求屏幕被着色的面积．

答案:

一、1．B 2．D 3．D 二、1．45°

1

6

πR 2．3 三、1．连结OD 、O ′C ，则O ′在OD 上 由AB l =

3

π

R ，解得：∠AOB=60°， 由Rt △OO ′C?解得⊙O ′的半径r=13R ，所以⊙O ′的周长为2πr=2

3

πR ．

2．⊙O 、⊙A 、⊙B 的周长分别为20πcm ，4πcm ，4πcm ， 可求出它的半径分别为10cm 、?2cm 、2cm ， 所以OA=8cm ，OB=12cm ，

因为圆滚动的距离实际等于其圆心经过的距离， 所以⊙A 滚动回原位置经过距离为2π×8=16π=4π×4， 而⊙B 滚动回原位置经过距离为2π×12=24π=4π×6． 因此，与原题意相符． 3．设屏幕被着色面积为S ，

则S=S △ABD +S 扇形BDD`+S △BC`D`=S 矩形ABCD +S 扇形BDD`， 连结BD ′，

在Rt△A′BD′中，A′B=1，A′D′

∴BD′=BD=2，∠DBD′=60°，

∴S=1

6

π·22+1

+

2

3

π．

《24.4.1 弧长和扇形面积》教案

R

.

布置作业：A组：

P

122

页练习：1，2，

P

124

页习题24.4：1.（1）、（2），2，6，7．

B组：

P

122

页练习：1，2，

P 124页习题24.4：2，3，5，6．

学生课下独立完成．

教师对学生的作业在批改后

及时反馈．

B组补充作业：

已知：如图，矩形ABCD中，

AB＝1cm，BC＝2cm，以B为

圆心，BC为半径作

1

4

圆弧交

AD于F，交BA延长线于E，

求扇形BCE被矩形所截剩余

部分的面积．

让学生逐渐的

学会总结。

检查知识的落

实性，以便发现

问题和及时解

决问题。

继续培养学生

的探究意识和

学习上持之以

恒的精神.

《24．4．1 弧长及扇形面积》导学案

姓名：班级：组别：评定等级

【自主学习】

（一）复习巩固：

1．圆与圆的五种位置关

系：、、、、 .

2.已知两圆的半径分别3cm和2cm，若两圆没有公共点，则圆心距d的取值范围为（）

A. d＞5或d＜1

B. d＞5

C. d＜1

D.1＜d＜5

（二）新知导学 1.弧长计算公式

在半径为R 的圆中，n 0的圆心角所对的弧长l 的计算公式为：l= 2.扇形面积计算公式

①定义： 叫做扇形. ②在半径为R 的圆中，圆心角为n 0的扇形面积的计算公式为： S 扇形=

由弧长l= 和S 扇形= 可得扇形面积计算的另一个公式为：S 扇形=

【合作探究】 已知：扇形的弧长为cm ，面积为 cm 2 ，求扇形弧所对的圆心角．

【自我检测】

1.如果以扇形的半径为直径作一个圆，这个圆的面积恰好与已知扇形的面积相等，则已知扇形的中心角为（ ）

A.60°

B.90°

C.120°

D.150°

2.如果圆柱底面直径为6cm ，母线长为4cm ，那么圆柱的侧面积为（ ） A.24πcm 2 B.36πcm 2 C.12πcm 2 D.48πcm 2

3.圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm ，则圆锥侧面展开图的面积是（ ） A.

πc m 2 B.30πcm 2 C.24πcm 2 D.15πcm 2 4.如果正四边形的边心距为2，那么这个正四边形的外接圆的半径等于（ ） A.2 B.4 C. D.

5.圆的外切正六边形边长与它的内接正六边形边长的比为（ ） A.

:3 B. 2

:3 C.3

:3 D.

:2

6.圆的半径为3cm ，圆内接正三角形一边所对的弧长为（ ） A.2πcm 或4πcm B.2πcm C.4πcm D.6πcm

7.在半径为12cm 的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ） A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm

29π9

π

25

4

2

8.如图，设AB=1cm，，则长为（）

A. B. C. D.

9.圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中，扇形的圆心角是（）

A.144°

B.150°

C.288°

D.120°

23

10.如图，已知菱形ABCD中，AC，BD交于O点，AC＝，BD=2cm，分别以 A，C为圆心，OA长为半径作弧，交菱形四边于E，F，G，H四点．求阴影部分的面积．