用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系

用空间向量讨论立体几何中的平行与垂直关系
编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅
目标认知
学习目标：
1．理解直线的方向向量与平面的法向量.
2．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
3．能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。

重点：
空间向量共线与垂直的充要条件；空间向量的运算及其坐标表示；用向量方法证明有关直线和平面位置关系的立体几何问题。

难点：
空间直角坐标系的正确建立，空间向量的运算及其坐标表示；用向量语言证明立体几何中有关垂直、平行关系的问题.
学习策略：
直线的方向向量和平面的法向量可以确定直线和平面的位置，因此用向量讨论立体几何中的平行和垂直问题，关键就是利用直线的方向向量和平面的法向量，讨论这些向量之间的平行垂直关系，从而得出空间直线、平面间的平行垂直关系。

对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
知识要点梳理
知识点一：基本定理
线面平行判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交直线都平行与另一个平面，则这两个平面平行。

线面垂直判定定理：若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，则该直线与此平面垂直。

面面垂直判定定理：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

知识点二：空间向量平行和垂直的充要条件
若，，则
①，，
②
知识点三：直线的方向向量和平面的法向量
1．直线的方向向量：
若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。

2．平面的法向量：
如果直线垂直于平面,那么直线的方向向量就叫做平面的法向量；设平面的法向量为，A、P为平面内任意两点，则。

知识点四：用向量语言表述线与面之间的平行与垂直关系.
设空间直线、的方向向量分别为、，平面的法向量分别为、，则：
①线线平行：
或与重合
即：两直线平行或重合两直线的方向向量共线。

②线线垂直：
即：两直线垂直两直线的方向向量垂直。

③线面平行：
且在平面外
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外。

④面面平行：
或与重合
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。

⑤线面垂直：
即：直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共
线直线的方向向量都垂直。

⑥面面垂直：
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。

关键：用向量知识来探讨空间的垂直与平行问题，关键是找出或求出问题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，通过讨论向量的共线或垂直，确定线面之间的位置关系。

规律方法指导：
1．用空间向量知识解决空间线面位置关系的步骤：
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，找出或求出问
题中涉及的直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何问题转化为向量问题。

（2）通过向量运算，讨论向量的共线或垂直。

（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义，从而确定直线与平面之间的位置关系。

2．怎样确定直线的方向向量？
在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。

在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。

3．怎样确定平面的法向量？
平面的法向量确定通常有两种方法：
（1）几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直,取该垂线的方向向量即得平面的法向量；
（2）几何体中没有具体的直线，此时可以采用待定系数法求解平面的法向量。

具体过程为：
设n=(x,y,z)为平面的法向量，利用n与平面内的两个不共线的向量a，b垂直，其数量积为零，
列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量。

4．如何利用向量知识判断直线与平面间的平行或垂直问题？
用向量知识判断线面间的位置关系时，主要是研究直线的方向向量、平面的法向量之间的共线或垂直关系。

通常情况下，构建空间直角坐标系，用坐标运算进行。

平行关系包括：线线平行、线面平行和面面平行。

两条不同直线的方向向量共线时，两直线平行。

平面外一直线与该平面的法向量垂直时，直线与平面平行。

两平面的法向量共线时，两平面平行。

垂直关系包括：线线垂直、线面垂直和面面垂直。

两直线的方向向量垂直时，两直线垂直。

一直线的方向向量和一平面的法向量共线时，直线与平面垂直。

两平面的法向量垂直时，两平面垂直。

5．立体几何中的向量方法解决问题的“三步曲”：
①建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化
为向量问题；
②通过向量运算，研究点、直线、平面之间的关系；
③根据运算结果的几何意义来解释相关问题。