连续型随机变量和概率密度

x
x
b
a a
,
a xb
1
xb
均匀分布常见于下列情形：
如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某 一位小数引入的误差；
公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车 站的时间，即乘客的候车时间等.
例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班 车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此 站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的 均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.
说 明:
由上述性质可知，对于连续型随机变量，我们 关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题．
若 已 知 连 续 型 随 机 变 量X 的 密 度 函 数 为f x，
则 X 在 任 意 区 间G（G可 以 是 开 区 间,也 可 以 是 闭 区 间 ， 或 半 开 半 闭 区间 ； 可 以 是 有 限 区 间 ， 也 可 以 是 无 穷 区 间 ） 上取 值 的 概 率 为 ，
第四节 连续型随机变量及其概率密度
教学重点
1 连续型随机变量的概率密度 2 正态分布
要求：
1、连续型随机变量的密度函数的定义和性质， 2、均匀分布、指数分布的定义及性质； 4、正态分布的定义、性质、密度函数及几何性质； 5、一般正态分布函数与标准正态分布函数的关系； 6、会利用正态分布密度函数的性质求积分
它表示随机变量 X 取值于( x, x x] 的 概率近似等于 f ( x)x.
f ( x)x 在连续型r.v理论中所起的作用与 P( X xk ) pk 在离散型r.v理论中所起的 作用相类似.
例题选讲
例题1 设随机变量X具有随机密度函数
试求 (1) c
f
(
x)
1
c x2
(2) X的分布函数；(3)P{0 X 1}
x2 f (x)dx
x1
若x是 f(x)的连续点，则：
xx
lim P( x X x x) lim x
f (t)dt
x0
x
x0
x
=f(x)
故 X的密度 f(x) 在 x 这一点的值，恰好是
X落在区间 ( x, x x]上的概率与区间长度 x
之比的极限. 这里，如果把概率理解为质量， f (x)相当于线密度.
x
即分布函数
0,
x0
x2
,
0 x3
F(x)
12
3
2x
x2 4
,
3 x4
1,
x4
（3）P 1
X
7
2
F
7 2
F 1
41 48
例3 设连续型随机变量 X 的分布函数为
F x 1 1 arctgx x
2
试求 X 的密度函数．
解： 设 X 的密度函数为f x，则
f
x
F
x
1
例题2 设随机变量X的概率密度为
A
f
(x)
1 x2
0
| x | 1 | x | 1
试求 (1)系数A；(2) 随机变量X的分布函数；
（3） 随机变量落在区间（- 1 ，1 ). 22
例1 设随机变量X具有概率密度
kx,
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
（1）确定常数k;（2）求X的分布函数F ( x)；
1
1 x
2
Fra Baidu bibliotek
x
三、三种重要的连续型随机变量
1. 均匀分布
若 r .v X的概率密度为：
f
(
x
)
b
1
a
,
a xb
0, 其它
f (x)
ab
则称X在区间( a, b)上服从均匀分布，记作
X ～ U(a, b)
若X ~ U (a, b),
与c无关
1.对于长度l为的区间(c, c l), a c c l b,有
c l
Pc X c l
1 dx
l
c ba ba
如果随机变量 X 服从
区间 a， b上的均匀分布，
X
X
则随机变量 X 在区间 a， b a l 0 l
bx
上的任意一个子区间上取值的概率与该子区间
的长度成正比，而与该子区间的位置无关．
2 . X的 分 布 函 数 为 ：
0,
xa
F(x)
PX
2 概率密度的性质
1 非负性 f (x) 0
2 规范性
f (x)dx 1
利用概率密度可确 面积为1
定随机点落在某个
范围内的概率
这两个性质是判 断一个函数是否 为一个连续型 r.v.X的概率密度 的充要条件
f (x)
分布曲 线
o
x
3
对x1, x2, p(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)
由P(B)=1, 不能推出 B=S
注：由(3)可知: p{X x0} 0.{X x0} ,故一个事件 的概率为0,只表示这事件发生的可能性很小,但这事件 并不一定是不可能事件。
对连续型 r.v. X,有
P(a X b) P(a X b)
P(a X b)
P(a X b)
PX G f xdx (此公式非常重要) G
f (x)
o
x
要注意的是，密度函数 f (x)在某点处a 的高度，并不反映X取值的概率. 但是，这 个高度越大，则X取a附近的值的概率就越 大. 也可以说，在某点密度曲线的高度反 映了概率集中在该点附近的程度.
若不计高阶无穷小，有：
P{x X x x} f (x)x
（3） 求P 1
X
7
2
kx,
解
f
(x)
2
x 2
,
0,
0 x3 3 x4 其它
(1) 由
f ( x)dx
1得k
1
6
x
0
34
F
x
x
f
t
dt
,
x
(2) 分布函数
0,
x0
xx dx,
0 6
0 x3
F ( x)
3x dx
x 2 x dx,
3 x4
06
3 2
1,
x4
x0
x
3
x4x
一 连续型随机变量 1 定义
设随机变量X的分布函数为F x，若存在 一个非负函数f x , 使对于任意x，恒有
x
F (x) f (t)dt
成立，则称X为连续型随机变量，F x 称为X的分布函数，f x 称为X的概率
密度函数，简称密度函数
由定义知道：连续型随机变量的分布函数是连续函数
4 若f (x)在点x处连续，则有F '(x) f (x)
请注意:
(1) 连续型r.v.取任一指定实数值a 的概率均为0. 即
PX a 0 .
这是因为
0 PX a Pa x X a F a F a x
当 x 0 时, 得到 PX a 0 .
由P(A)=0, 不能推出 A
解 以7:00为起点0，以分为单位 依题意， X ～ U ( 0, 30 )
f
(
x)
1 30