曲线坐标系

曲线坐标系

若空间中的点与有序数组一一对应，则称为空间点的曲线坐标．曲线坐标与直角坐标互为单值函数

(1.1.a)

(1.1.b)

坐标曲面由下列等值曲面定义

(1.2)

坐标曲面两两相交的交线定义坐标曲线

(1.3)

若坐标曲线相互正交，则构成正交曲线坐标系．用表示对应正交曲线的切线单位矢量，则空间任意矢量表示为

(1.4)

空间曲线弧微分为

(1.5)

用分别表示坐标曲线的弧微分，并使弧长增大方向为坐标增大方向，有

(1.6)

以下系数称为拉梅系数

(1.7)

设空间任意一点M的失径为

(1.8)

(1.9)

所以单位坐标矢量

其中

且转移矩阵为单位正交矩阵．

在正交曲线坐标系中，弧长、面积、体积元素分别为

(1.10.a)

(1.10.b)

(1.10.c)事实上

(1.11)

在正交曲线坐标系中取弧长为变量，，则

(1.12)

所以梯度为

(1.13.a)

则散度为

(1.13.b)

Laplace算子为

(1.13.c)

旋度为

(1.13.d)

柱面坐标系和球面坐标系是正交曲线坐标系，柱坐标系中球

面坐标系中，带入上式（1.13）可得相应的量．