第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
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y ＝a x 与对数函 数 y＝logax 互为 反函数(a＞0，且
2012 年大纲第 2 题考查 求反函数；
2013 年大纲第 6 题考查 求反函数；
2016 年江苏第 5 题考查 求函数定义域，上海第 6 题考查求反函数
补理解的缺陷，纠正理解
上的错误. 本节重点解决 求函数的定义域 . 但是也 要补充反函数的概念及求
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
【规律方法】(1)求函数定义域的一般步骤： ①写出使得函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)； ③写出函数的定义域. (2)常见的一些具体函数的定义域： 有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方 数为非负数；有对数函数的保证真数大于零，底数大于零，且 不等于1.
答案：[2,3] [1,2]
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
【规律方法】对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解 三种情形：①已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[u(x)]的定义域， 只需求不等式a≤u(x)≤b 的解集即可；②已知f[u(x)]的定义域 为[a，b]，求f(x)的定义域，只需求u(x)在区间[a，b]内的值域； ③已知f[u(x)]的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，必须先利 用②的方法求出f(x)的定义域，再利用①的方法进行求解.
(C ) A.(－2,1)
B.[－2,1]
C.(0,1)
D.(0,1]
解析：由题意，得
－x2－x＋2≥0， x>0 且 ln x≠0，
解得 0<x<1.故选 C.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
考向2 抽象(复合)函数的定义域 例3：(1)已知函数 f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，则函数 f(x) 的定义域为( )
元素与之对应，则 k>1.故选 A.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
考点2 求函数的定义域 考向1 具体函数的定义域 例 2：(1)(2018 年江苏)函数 f(x)＝ log2x－1的定义域为 ________. 解析：要使函数 f(x)有意义，则 log2x－1≥0.解得 x≥2.即函 数 f(x)的定义域为[2，＋∞). 答案：[2，＋∞)
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
[常用结论] 求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为 R； (2)分式的分母不为零； (3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零；
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
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范围为
.
x 1
3. 若函数 f (x) x 2 ，则 f 1( 2 ) 的值为
.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
法，全国卷在 2011 年、 2012 年、2013 年连续三年 都考查求简单函数的反函
a≠1)
数
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 映射的 A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应 ，
定义 那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，通常记为 f ：A→B
函数的 概念
解得 x∈0，52. 故选 D.
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5.(2017 年山东枣庄模拟)已知函数 f(x)的定义域为[0,6]，则
函数 g(x)＝f(2x)＋ 2x－4的定义域为( A )
A.[2,3]
B.[2,12]
C.[2,6]
D.[0,6]
答案：B
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【规律方法】本题主要考查反函数的求解，利用原函数反 解，再互换得到结论，同时也考查函数值域的求法；特别要注 意的是教材关于反函数的内容不多，只有对数函数与指数函数 互为反函数，因此本知识点要引起我们的重视.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
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2.已知映射 f：A→B，其中 A＝B＝R，对应关系 f：x→y＝
－x2＋2x，对于实数 k∈B，且在集合 A 中没有元素与之对应，
则 k 的取值范围是( A )
A.k>1 B.k≥1
C.k<1
D.k≤1
解析：y＝－(x－1)2＋1≤1，若 k∈B，且在集合 A 中没有
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1.函数的三要素是定义域、值域及对应法则，判断两个函 数是否相同，只需判断这两个函数的对应法则与定义域是否相 同即可.
2.对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形： (1)已知 f(x)的定义域为[a，b]，求 f[u(x)]的定义域，只需求 不等式 a≤u(x)≤b 的解集即可； (2)已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]，求 f(x)的定义域，只需求 u(x)在区间[a，b]内的值域； (3)已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]，求 f[g(x)]的定义域，必须 先利用(2)的方法求出 f(x)的定义域，再利用(1)的方法进行求解.
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【互动探究】 6.(2016年上海)已知点(3,9)在函数 f(x)＝1＋ax 的图象上， 则 f(x)的反函数 f －1(x)＝__l_o_g_2(_x_－__1_)___. 解析：将点(3,9)代入函数 f(x)＝1＋ax 中，得 a＝2.所以 f(x) ＝1＋2x.用 y 表示 x，得 x＝log2(y－1).所以 f－1(x)＝log2(x－1).
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【互动探究】
4.(2017 年江西临川模拟)已知函数 y＝f(x＋1)的定义域是
[－2,3]，则 y＝f(2x－1)的定义域是( D )
A.[－3,7]
B.[－1,4]
C.[－5,5]
D. 0，52
解析：由 x∈[－2,3]，得 x＋1∈[－1,4].由 2x－1∈[－1,4]，
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课堂
检测
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1. 已知函数 f (x)
3 a
ax 1
(a
1)
，若
a>0，则
f(x)的定义
域是
.
2.若函数 f (x) 2x22axa 1 的定义域为 R，则 a 的取值
(3)若函数 f(x)的值域为[2,3]，则 f(x－1)的值域为________， f(x)－1 的值域为________.
解析：f(x－1)的图象是将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度 得到的，不改变值域.f(x)－1 的图象是将 f(x)的图象向下平移 1 个单位长度得到的.故 f(x－1)的值域为[2,3]，f(x)－1 的值域为 [1,2].
答案：A
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(2)函数 y＝2Biblioteka Baidux(x≥0)的反函数为( )
A.y＝x42(x∈R)
B.y＝x42(x≥0)
C.y＝4x2(x∈R)
D.y＝4x2(x≥0)
解析：由原函数反解得 x＝y42，又原函数的值域为 y≥0，所 以函数 y＝2 x(x≥0)的反函数为 y＝x42(x≥0).
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
考点1 有关映射与函数的概念 【互动探究】 1.已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 123 f(x) 1 3 1
x 123 g(x) 3 2 1
则 f[g(1)]的值为__1___； 满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值为__2___.
)
A.2x－1 1(x＞0)
B.2x－1 1(x≠0)
C.2x－1(x∈R)
D.2x－1(x＞0)
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解析：由 y＝f(x)＝log21＋1x，得 1＋1x＝2y.故 x＝2y－1 1.把 x 与 y 互换，即得 f－1(x)＝2x－1 1.由 x＞0，得 1＋1x＞1，可得 y＞0. 故所求反函数为 f－1(x)＝2x－1 1(x＞0).
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(3)若函数 f(x)＝x＋1 1，则函数 y＝f[f(x)]的定义域为 ______________________.
解析：∵f(x)＝x＋1 1，∴f[f(x)]＝x＋1 11＋1.要使函数有意义， x＋1≠0，
应满足x＋1 1＋1≠0， 即 x≠－1，且 x≠－2. 答案：{x|x∈R，x≠－1，且 x≠－2}
A.(－1,1)
B.－1，－12 C.(－1,0)
D.12，1
解析：f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x<0， ∴－1<2x＋1<1. ∴f(x)的定义域为(－1,1). 答案：A
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(2)已知函数 f(2x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定 义域为( )
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数与映射的概念
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.了解构成函数
对函数概念的理解是学好
的要素.
函数的关键，函数的概念
2.会求一些简单 函数的定义域
2011 年大纲第 2 题考查 求反函数；
比较抽象，不易理解，应 做适量练习，通过练习弥
和值域. 3.了解映射的概 念. 4.了解指数函数
函数的 定义
设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集 合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为y＝ f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围A
函数的 三个要素
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A} 对应关系f
A.(－1,1)
B.－1，－12 C.－14，0 D.(2 2＋1,5)
解析：f(2x)的定义域为(－1,0)，即－1<x<0，∴12<2x<1.由12
<2x＋1<1，得－14<x<0. ∴f(2x＋1)的定义域为－14，0.
答案：C
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第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
(2)(2016 年江苏)函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是________. 解析：要使函数有意义，必须 3－2x－x2≥0，即 x2＋2x－ 3≤0.解得－3≤x≤1. 答案：[－3,1]
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
(5)正切函数 y＝tan x 的定义域为
xx≠kπ＋π2，k∈Z
；
(6)x0 中 x≠0；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式
有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
【互动探究】
3.(2017 年广东深圳一模)函数 y＝ －xl2n－xx＋2的定义域为
解析：由题意，得
0≤2x≤6， 2x ≥4，
∴2≤x≤3.故选 A.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课 第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
D D
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
考点3 反函数
例 4：(1)函数 f(x)＝log21＋1x(x＞0)的反函数 f－1(x)＝(
2012 年大纲第 2 题考查 求反函数；
2013 年大纲第 6 题考查 求反函数；
2016 年江苏第 5 题考查 求函数定义域，上海第 6 题考查求反函数
补理解的缺陷，纠正理解
上的错误. 本节重点解决 求函数的定义域 . 但是也 要补充反函数的概念及求
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
【规律方法】(1)求函数定义域的一般步骤： ①写出使得函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)； ③写出函数的定义域. (2)常见的一些具体函数的定义域： 有分母的保证分母不为零；有开偶次方根的要保证被开方 数为非负数；有对数函数的保证真数大于零，底数大于零，且 不等于1.
答案：[2,3] [1,2]
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
【规律方法】对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解 三种情形：①已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[u(x)]的定义域， 只需求不等式a≤u(x)≤b 的解集即可；②已知f[u(x)]的定义域 为[a，b]，求f(x)的定义域，只需求u(x)在区间[a，b]内的值域； ③已知f[u(x)]的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，必须先利 用②的方法求出f(x)的定义域，再利用①的方法进行求解.
(C ) A.(－2,1)
B.[－2,1]
C.(0,1)
D.(0,1]
解析：由题意，得
－x2－x＋2≥0， x>0 且 ln x≠0，
解得 0<x<1.故选 C.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
考向2 抽象(复合)函数的定义域 例3：(1)已知函数 f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，则函数 f(x) 的定义域为( )
元素与之对应，则 k>1.故选 A.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
考点2 求函数的定义域 考向1 具体函数的定义域 例 2：(1)(2018 年江苏)函数 f(x)＝ log2x－1的定义域为 ________. 解析：要使函数 f(x)有意义，则 log2x－1≥0.解得 x≥2.即函 数 f(x)的定义域为[2，＋∞). 答案：[2，＋∞)
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
[常用结论] 求函数定义域的依据 (1)整式函数的定义域为 R； (2)分式的分母不为零； (3)偶次根式的被开方数不小于零； (4)对数函数的真数必须大于零；
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
范围为
.
x 1
3. 若函数 f (x) x 2 ，则 f 1( 2 ) 的值为
.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
法，全国卷在 2011 年、 2012 年、2013 年连续三年 都考查求简单函数的反函
a≠1)
数
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应关系 f，对于集合 映射的 A中的任意元素，在集合B中都有唯一确定的元素与之对应 ，
定义 那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射，通常记为 f ：A→B
函数的 概念
解得 x∈0，52. 故选 D.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
5.(2017 年山东枣庄模拟)已知函数 f(x)的定义域为[0,6]，则
函数 g(x)＝f(2x)＋ 2x－4的定义域为( A )
A.[2,3]
B.[2,12]
C.[2,6]
D.[0,6]
答案：B
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
【规律方法】本题主要考查反函数的求解，利用原函数反 解，再互换得到结论，同时也考查函数值域的求法；特别要注 意的是教材关于反函数的内容不多，只有对数函数与指数函数 互为反函数，因此本知识点要引起我们的重视.
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2.已知映射 f：A→B，其中 A＝B＝R，对应关系 f：x→y＝
－x2＋2x，对于实数 k∈B，且在集合 A 中没有元素与之对应，
则 k 的取值范围是( A )
A.k>1 B.k≥1
C.k<1
D.k≤1
解析：y＝－(x－1)2＋1≤1，若 k∈B，且在集合 A 中没有
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
1.函数的三要素是定义域、值域及对应法则，判断两个函 数是否相同，只需判断这两个函数的对应法则与定义域是否相 同即可.
2.对于求抽象的复合函数的定义域，主要理解三种情形： (1)已知 f(x)的定义域为[a，b]，求 f[u(x)]的定义域，只需求 不等式 a≤u(x)≤b 的解集即可； (2)已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]，求 f(x)的定义域，只需求 u(x)在区间[a，b]内的值域； (3)已知 f[u(x)]的定义域为[a，b]，求 f[g(x)]的定义域，必须 先利用(2)的方法求出 f(x)的定义域，再利用(1)的方法进行求解.
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
【互动探究】 6.(2016年上海)已知点(3,9)在函数 f(x)＝1＋ax 的图象上， 则 f(x)的反函数 f －1(x)＝__l_o_g_2(_x_－__1_)___. 解析：将点(3,9)代入函数 f(x)＝1＋ax 中，得 a＝2.所以 f(x) ＝1＋2x.用 y 表示 x，得 x＝log2(y－1).所以 f－1(x)＝log2(x－1).
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【互动探究】
4.(2017 年江西临川模拟)已知函数 y＝f(x＋1)的定义域是
[－2,3]，则 y＝f(2x－1)的定义域是( D )
A.[－3,7]
B.[－1,4]
C.[－5,5]
D. 0，52
解析：由 x∈[－2,3]，得 x＋1∈[－1,4].由 2x－1∈[－1,4]，
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检测
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1. 已知函数 f (x)
3 a
ax 1
(a
1)
，若
a>0，则
f(x)的定义
域是
.
2.若函数 f (x) 2x22axa 1 的定义域为 R，则 a 的取值
(3)若函数 f(x)的值域为[2,3]，则 f(x－1)的值域为________， f(x)－1 的值域为________.
解析：f(x－1)的图象是将 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度 得到的，不改变值域.f(x)－1 的图象是将 f(x)的图象向下平移 1 个单位长度得到的.故 f(x－1)的值域为[2,3]，f(x)－1 的值域为 [1,2].
答案：A
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(2)函数 y＝2Biblioteka Baidux(x≥0)的反函数为( )
A.y＝x42(x∈R)
B.y＝x42(x≥0)
C.y＝4x2(x∈R)
D.y＝4x2(x≥0)
解析：由原函数反解得 x＝y42，又原函数的值域为 y≥0，所 以函数 y＝2 x(x≥0)的反函数为 y＝x42(x≥0).
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考点1 有关映射与函数的概念 【互动探究】 1.已知函数 f(x)，g(x)分别由下表给出：
x 123 f(x) 1 3 1
x 123 g(x) 3 2 1
则 f[g(1)]的值为__1___； 满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值为__2___.
)
A.2x－1 1(x＞0)
B.2x－1 1(x≠0)
C.2x－1(x∈R)
D.2x－1(x＞0)
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解析：由 y＝f(x)＝log21＋1x，得 1＋1x＝2y.故 x＝2y－1 1.把 x 与 y 互换，即得 f－1(x)＝2x－1 1.由 x＞0，得 1＋1x＞1，可得 y＞0. 故所求反函数为 f－1(x)＝2x－1 1(x＞0).
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
(3)若函数 f(x)＝x＋1 1，则函数 y＝f[f(x)]的定义域为 ______________________.
解析：∵f(x)＝x＋1 1，∴f[f(x)]＝x＋1 11＋1.要使函数有意义， x＋1≠0，
应满足x＋1 1＋1≠0， 即 x≠－1，且 x≠－2. 答案：{x|x∈R，x≠－1，且 x≠－2}
A.(－1,1)
B.－1，－12 C.(－1,0)
D.12，1
解析：f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x<0， ∴－1<2x＋1<1. ∴f(x)的定义域为(－1,1). 答案：A
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
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(2)已知函数 f(2x)的定义域为(－1,0)，则函数 f(2x＋1)的定 义域为( )
第二章 函数、导数及其应用
第1讲 函数与映射的概念
考纲要求
考点分布
考情风向标
1.了解构成函数
对函数概念的理解是学好
的要素.
函数的关键，函数的概念
2.会求一些简单 函数的定义域
2011 年大纲第 2 题考查 求反函数；
比较抽象，不易理解，应 做适量练习，通过练习弥
和值域. 3.了解映射的概 念. 4.了解指数函数
函数的 定义
设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的 对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集 合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称f： A→B为从集合A到集合B的一个函数，通常记为y＝ f(x)，x∈A
定义域
x的取值范围A
函数的 三个要素
值域
函数值的集合{f(x)|x∈A} 对应关系f
A.(－1,1)
B.－1，－12 C.－14，0 D.(2 2＋1,5)
解析：f(2x)的定义域为(－1,0)，即－1<x<0，∴12<2x<1.由12
<2x＋1<1，得－14<x<0. ∴f(2x＋1)的定义域为－14，0.
答案：C
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第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
(2)(2016 年江苏)函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是________. 解析：要使函数有意义，必须 3－2x－x2≥0，即 x2＋2x－ 3≤0.解得－3≤x≤1. 答案：[－3,1]
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
(5)正切函数 y＝tan x 的定义域为
xx≠kπ＋π2，k∈Z
；
(6)x0 中 x≠0；
(7)实际问题中除要考虑函数解析式
有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
【互动探究】
3.(2017 年广东深圳一模)函数 y＝ －xl2n－xx＋2的定义域为
解析：由题意，得
0≤2x≤6， 2x ≥4，
∴2≤x≤3.故选 A.
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D D
第二章 第1讲 函数与映射的概念公开课
考点3 反函数
例 4：(1)函数 f(x)＝log21＋1x(x＞0)的反函数 f－1(x)＝(