一阶导数及应用

D、 f x0 不是 f x 的极值，x0、f x0 不是 y f x的拐点
4
第三讲 ：一阶导数及应用
例3：设函数f x在x 0 的某邻域内可导，且 f / 0 0，
lim f / (x) 1 x0 sin x 2
，则 f 0是f x 的极大值。
5
第三讲 ：一阶导数及应用
2、函数的最大值与最小值
∴ x=0 为f(x)的跳跃间断点，不可去。
x2 x
11
∵
lim f(x) lim
lim
x 1
x1 x(x2 -1) x1 x 1 2
∴ x=1是f(x)的第一类
可去间断点，若补充定义f(1)=1/2 ，就使f(x)在x=1连续。
∵
lim f x lim x2 x lim 1
例1 设
f
x
e2x 1 x
acosx x2
x0 ,
x0
在（∞，+∞）连续，则a=2
例2
设
x2
f
x
3x 10 x2
,
x2
A
x2
则当A=7时f(x)在x=2连续
29
第一讲 函数极限
例3 在
f
(x)
3sin(x 1) x 1
e2ax eax 1
(, ) 连续，则 a = ______
10
第二讲 一阶导数应用
例2
求
y
2x 1 ( x 1)2
渐近线（斜渐近线不讨论）
解： ∵
2x 1
lim
x
(
x
1)2
0
∴ y 0 为水平渐近线
∵ 2x 1
lim
x1
(
x
1)
2
∴ x 1 为垂直渐近线
例
曲线 y x x
( x 1)( x 2)
的渐近线有
4
条
11
第二讲 一阶导数应用
4 证明不等式
即
xe 时
16
第二讲 一阶导数应用
例：设 f x在 0,c 上可导，且f / x 单调减，f 0 0
证明： f a b f a f ，b 0 a b a b
证： 令 F x f x a f x f a F / x f / x a f / x
∵ f / x 单调减
a 0 ，x a x ，f / x a f / x ∴ F / x 0 即 F x 单调减
f
(x)
1 ln
x
0xe x e
f (x)在(,)连续
lim f (x) lim f (x) f (e) 1
xe
xe
31
第一讲 函数极限
3、间断点
左极限右极限 跳跃间断点跳跃间断点，不可去
间 断
第一类间断点 (左,右极限 都存在)
f x0
不存在
补充定义
使，f x0 lim f x 可去
∵
ln b ln a 1 ba
a b ，即
ln b ln a 1 (b a)
∴ 1 ln b ln a 1
b ba a
12
第二讲 一阶导数应用
例2、设 x 0 ，证明 x ln(1 x) x
1 x
证： 设 f ( x) x ln(1 x) f / ( x) 1 1 0
（1）利用中值定理（R，L）；
（2）利用函数单调性；
（3）利用最值；
（4）引入辅助函数把常值不等式变成函数不等式；
（5）利用函数凹凸性；
（6）利用泰勒公式。
例1
当
0
a
b
，试证：b
b
a
ln
b a
b
a
a
即
1 ln b ln a 1 b ba a
证： 设 y ln x ，在 [a,b] 连续，(a,b)可导，由拉格朗日中值定理
例3、当 x 0 证明 x2 1 ln x
证： 令 f ( x) x2 1 ln x ( x 0) f / ( x) 2x2 1
f / ( x) 0 x 1 驻点唯一，
x
2
∵
f //(x) x 1 0 x2
∴ f ( 1 ) 极小
2
f ( 1 ) 为最小值
2
即 x 0 f ( x) f 1 3 1 ln 2 0
∵ lim f(x) lim 2 sinx 2 1 1
x0
x0
1
1ex
x
1 sinx
lim f(x) lim
01 1
x0
x0
1
x
1 e x
∴ lim f(x) 0 x0
x=0为第一类可去间断点。
例2 P50 例1.36 指出函数的间断点并讨论间断点类型，如有可去间断点，
指出如何补充或改函数的定义使它连续。
1 x
f (x) 单增，当 x 0 f ( x) f (0) 0
∴ x ln(1 x)
设
f ( x) ln(1 x) x 1 x
f
/ (x)
1 1 x
1 (1 x)2
0
f ( x) 单增，当 x 0 f ( x) f (0) 0
∴ ln(1 x) x
1 x
13
第二讲 一阶导数应用
f (x)
lim
ln
en (1
xn en
)
lim
n
ln(1
(x )n ) e
1
n
n
n
n
xe
ln x n (1 e )n
n ln x ln(1 ( e )n )
f (x) lim
x lim
x ln x
n
n
n
n
xe
f (x) lim ln 2en lim ln 2 n 1
n n
n n
（凸）的,在连续曲线上凹凸部分的分界点 称为曲线
的拐点。可能的拐点 f // x 0 和 f // x 不存在的点
8
第二讲 一阶导数应用
例1 设 f x x 13，试讨论 f x 的性态。 x2
f
/
(x)
(x
-
1)2 (x x3
2)
,
f
// (x)
6(x x4
1)
f / (x) 0 x 1, x -2, f // (x) 0, x 1
33
第一讲 函数极限
例3
f(x) x 2 - x x (x2 1)
解： f(x)的间断点为x=0，x=-1，x=1
∵ lim f(x) lim x2 x lim 1 1
x0
x0 - x(x2 -1) x0 - (x 1)
x2 x
1
lim f(x) lim
lim
1
x 0
x0 x(x2 - 1) x0 x 1
工程硕士复习
上海交通大学应用数学系 张忆
1
第三讲 ：一阶导数及应用
1、函数的极值 P195
① 定义：如在 x0 邻域内，恒有 f x f x0 ， f x f x0 ，
则 称f x0 为函数 f x 的一个极大（小）值。
可能极值点， f /x 不存在的点与 f /x 0 的点。（驻点）
驻点 ←极值点
x1
x1 x x 2 1 x1 x 1
∴ x= -1是f (x)的第二类间断点。
34
第一讲 函数极限
例4
ln x f (x) x 2 3x 2
解： x = 0, x = 2 为第二类间断点 x = 1 为 第一类可去间断点，补充定义使 f(1) = 1
35
第一讲 函数极限
例5 设函数
② 判别方法
P195，ⅰ
ⅱ
导数变号。
f // x0 0 ，
f f
(x0 (x0
) )
0 0
极小值 极大值
2
第三讲 ：一阶导数及应用
例1：设y f x 满足关系式 y // 2 y / 4 y 0，且 f x 0
f / x0 0，则 f x 在 x0 点处 A
A、取得极大值
B、取得最小值
2 2x 4
x
S/ (x)
1 (3x2 4
8
-
16 x2 )
，令
S/ (x) 0
x 2 3
S//( 2 ) 0 3
∴ x 2 , y8
3
3
故： ( 2 ，8) 为所求点。
33
（唯一）
7
第二讲 一阶导数应用
3、曲线的凹凸、拐点及渐近线（P196）
在I上 f x可导。如 f // x 0 0 则曲线 y f x 是凹
（1）求出 a，b内可能的极值点，不需判别极大还是极小，
求出它们的函数值，再与端点的函数值进行比较， 其中最大的（小）为最大（小）值。
(2) 在 a，b 内可能极值点唯一，如是极小值则为最小值；
如是极大值则为最大值； (3) 如 f 0( 0), f (a) f (b) 分别为最小, 最大值 (4) 实际问题据题意可不判别。
C、在x0 某邻域内单增
D、在 x0 某邻域内单减
3
第三讲 ：一阶导数及应用
例2：已知函数f x 对一切 x 满足 xf // x 3xf / x2 1 ex
如 f / x0 0 x0 0，则 A
A、 f x0 是 f x的极小值 B、 f x0 是 f x的极大值
C、 x0 、f x0 是曲线的拐点
6
第三讲 ：一阶导数及应用
例1 在抛物线y 4 x 2上的第一象限部分求一点P，过P点作
切线，使该切线与坐标轴所围成的三角形 面积最小。
解：设切点为 Px，y ，切线方程为 Y 4 x2 2xX x
即
X Y 1
x2 4 x2 4
∴ 三角形面积：
2x
S(x) 1 (x2 4)2 1 (x3 8x 16), 0 x 2
21 p
p 1
, 1
1 2 p1
→
f x在
0,1
上Leabharlann 最大值为 1 ,最小值为 21 p
21 p x p 1 p2 1
15
第二讲 一阶导数应用
例1 设 e ，证明
证明：即 证 ln ln
设 f x ln x
x
x
e
，f
/
x
1 ln x2
x
0
∴ f x 单减
当 ln ln
x 1 x 1
________
A.、ln 2 B、0 C、2 D、任意实数
例4 f (x)在x 连1 续，且 lim f (x) 2 1
x1 x 1
A、1 B、2 C、3
D、0
30
第一讲 函数极限
例5 讨论
f (x) lim ln(en xn ) x 0 在定义域内是否连续
n
n
解：当
0xe
1 x f (x) lim
n 1 x 2n
，讨论函数间断点其结论为
A、.不存在间断点 C、存在间断点x = 0
B、存在第一类间断点 D、存在间断点 x = 1
解：选 B
0
f (x) lim 1 x n 1 x 2n
1 1
x
0
x 1 -1 x 1 x 1 x 1
lim f (x) 0 lim f (x) 0
2 2 2
14
第二讲 一阶导数应用
例1 P91 ， 习题22
当 证明
证: 令
当
∴
0 x1 p1
21 p x p 1 xp 1
设 f x x p 1 xp
0 x1
f / x px p1 p1 x p1
f / x 0,
x1 2
驻点唯一
f 0 f 1 1
f 1 2
1 2 p1
1、定义
(1) Δ x 0 Δ y 0
(2)
lim
xx0
f
x
f
x
0
y
y
y=f(x)
}Δy
0 x0 x0+Δx
即满足：
I f x 0 存在
x
0
ii lim f x 存在 xx0
x0 x0+Δx
x
iii
lim
xx0
f
x
f
x
0
存在
28
第一讲 函数极限
2、基本结论 (1) 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数； (2) 连续函数复合函数仍连续； (3) 初等函数在其有定义的区间内是连续的。 (4) 单调连续函数的反函数也连续。
fx 0 ,b ， f a b f a f b
即 F b F 0 0
17
18
19
20
21
第一讲 函数极限
22
第一讲 函数极限
23
第一讲 函数极限
24
第一讲 函数极限
25
第一讲 函数极限
26
第一讲 函数极限
27
第一讲 函数极限
三、连续
y f x 在 x x 0 处的连续性
右极限=右极限
xx0
点
f x0
使
lim f (x)，改变定义 xx0
f x0 lim f ，x可去 xx0
第二类间断点：左,右极限至少有一个不存在(无穷、振荡等)
32
第一讲 函数极限
例1
x=0是
f(x)
2
1
1 e x
sinx x
的（B）间断点
A、跳跃 B、可去 C、无穷 D、振荡
闭区间上连续函数一定能取得介于最小值和
最大值之间的任何值。
<零点存在定理> 设f (x)∈C[a，b]，且f (a) f (b)<0，
则存在ξ∈(a，b)，使得f (ξ)=0
例1 证明方程 X 2 =1 至少有一个小于1的正根 证： 设 f (x)=X 2 –1，则f (x) 在 [0，1] 连续
x1
x - 1
x -1 为连续点
f(-1) 0
lim f (x) 2 lim f (x) 0
x1
x1
x = 0 为第一类跳跃间断点，不可去。
36
第一讲 函数极限
4 闭区间上连续函数性质：
<有界性定理> 闭区间上连续函数必有界。
<最值存在定理> 闭区间上连续函数必有最小值、最大值。
<介值定理>
9
第二讲 一阶导数应用
x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,1) 1 (1,+ ∞)
y’
+
y’’
-
0
- 间+
0
+
断
-
-
-0
+
y 单调增 极大值 单减
下凹
f 2 27 下凹
4
单增 拐点 下凹 (1,0)
单增 上凹
渐近线
如 limf(x) a 则称 y a 为水平渐近线 x
如 lim f(x) 则称 x x0为垂直渐近线 xx0