计量经济学----.区间估计和假设检验
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^ ^ ^
p{[Y F t 2 SE(Y F )] E(YF X F ) [Y F t 2 SE(Y F )]} 1
Y平均值的置信度为 1 的预测区间为
[Y F t 2
^ ^ ^ 1 ( X F X )2 ^ , Y F t 2 2 n xi
YF
eF
uF
XF
X
YˆF 是真实平均值的点估计,也是对个别值的点估计
23
Y 平均值的点预测
将解释变量预测值直接代入估计的方程
ˆ ˆ ˆ YF 1 2 X F
ˆ 这样计算的 YF 是一个点估计值
24
Y 平均值的区间预测
基本思想：
ˆ 由于存在抽样波动，预测的平均值 YF 不一定等于 真实平均值 E(YF X F ) ，还需要对 E(YF X F ) 作区 间估计。
的临界值 t 2 (n 2) ，则有
ˆ ˆ P{[YF t 2 SE (eF )] YF [YF t 2 SE (eF )]} 1
1 因此，一元回归时 Y 的个别值的置信度为 的 预测区间上下限为 1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
^
^
^
2 ei2 (n 2) 代替 2 时，对 e F 标准化的变量 当用 ˆ
t为
t
eF E ( e F ) SE(eF）
^
ˆ 1
YF Y F 1 (X F X ) n xi2
2
^
~ t (n 2)
29
构建个别值的预测区间
给定显著性水平 ，查 t 分布表得自由度为 n 2
判定系数和自由度
20
二、均值预测 1.基本思想
●利用所估计的样本回归函数，用解释变量的已知值或预测
值，对预测期或样本以外的被解释变量数值作出定量的估 计。
21
二、均值预测
点预测 区间预测
22
预测值、平均值、个别值的相互关系
Y
点预测值
SRF PRF
YˆF
真实平均值 E(Y F X F ) 个别值
回归分析的应用：
预测问题
●回归分析结果的报告 ●因变量平均值预测 ●因变量个别值预测
19
一、回归分析结果的报告
ˆ Yi 352.00 0.5300 X i
(76.5826) (0.0216) t (4.5963) (24.5902)
r 2 0.9869 df 8
标准差se
t 统计量
第五章
双变量回归：
区间估计与假设检验
基本内容
区间估计：
围绕参数的点估计量构造一个区间，使得它以特 定概率包含参数的真实值。
假设检验
检验某一给定的观测是否与虚拟假设（原假设） 相符，若相符，则接受假设，反之拒绝。
2
区间估计和假设检验都是建立在确定参数估计值 概率分布性质的基础上。 随机扰动项正态分布的假定决定了OLS估计量也 服从正态分布
1 ( X F X )2 ] 2 n xi
27
三、个值预测 基本思想：
ˆ ◆ YF 既是对Y 平均值的点预测，也是对 Y 个别值 的点预测
◆由于存在随机扰动 u i 的影响，Y 的平均值并不
等于 Y 的个别值 YF
◆为了对 Y 的个别值 YF 作区间预测，需要寻找与
ˆ 预测值 YF 和个别值 YF 有关的统计量，并要明
2 2
6
可证明统计量t服从 t 分布。可用 t 分布去构 造参数估计的置信区间。
t
~ t（n - 2） se（ 2 ）
2 2
7
选定α，查 t 分布表得显著性水平为 2 ，自 由度为 n 2 的临界值 ，则有
P[t
2
2 2 se( 2 )
^
^
t ] 1
给定，查t分布表得t （n 2) 2 （ ）若t -t 2 (n 2), 或t t 2 (n 2)，则拒绝原假设 1 H 0： 2 0，接受备择假设H1： 2 0； （2）若 - t 2 (n 2) t t 2 (n 2), 则接受原假设。
►若 α/2 > p 值，则在显著性水平
下拒绝原假设
H 0 : βk = 0 ，即认为 X 对 Y 有显著影响
►若 α/2 ≤ p 值，则在显著性水平 下接受原假设
H 0 : βk = 0
，即认为 X 对 Y 没有显著影响
规则：当 p < α/2 时， p 值越小，越能拒绝原
假设 H 0
18
为对Y 作区间预测，必须确定平均值预测值的抽 ˆ 样分布， 必须找出与 YF 和 E(YF X F ) 都有关的 统计量
25
具体作法 （从 Y F 的分布分析）
已知 可以证明
ˆ E (YF ) E (YF X F ) 1 2 X F
1 ( X F X )2 ˆ Var (YF ) 2 [ ] 2 n xi
确其概率分布
28
具体作法：
已知剩余项 e F YF Y F 是与预测值 Y F 及个别值 YF 都有关的变量,并且已知 e F 服从正态分布，且可证 明 E(eF ) 0
1 ( X F X )2 Var (eF ) E (YF Y F ) 2 2 [1 ] 2 n xi
14
2-t经验法则
若自由度为20或更大且显著性水平定在0.05， 那么t在绝对值超过2时，就可以拒绝虚拟假设。
15
用 P 值判断参数的显著性
16
假设检验的 p 值
p 值是一个虚拟假设可被拒绝的最低显著水平
统计分析软件中通常都给出了检验统计量的 p 值
17
用 P 值判断参数的显著性的方法
方法：将给定的显著性水平 与 p 值比较：
^
1 ( X F X )2 ˆ SE (YF ) n xi2
Y F 服从正态分布，将其标准化,
^
当
2
2 ei2 (n 2) 代替，这时有 未知时，只得用 ˆ ˆ YF E (YF X F ) t ~ t (n 2) 1 ( X F X )2 ˆ n xi2
这样的区间称为所估计参数的置信区间。
4
2 的置信区间构造
2 2 （ 2 2） x Z ~ N (0， 1) se（ 2 ）
2 i
(已知）
5
若标准差未知，则可用其无偏估计代入，Z 变量可写为
估计量 参数 t se（ 2 ） 估计量的标准误的估计
2
即
P[ 2 t se( 2 ) 2 2 t se( 2 )] 1
2 2
8
^
^
^
^
假设检验
百度文库
检验某一给定的观测是否与虚拟假设（原假设）相符， 若相符，则接受假设，反之拒绝。 当我们拒绝虚拟假设时，我们说该统计量是统计上显 著的，反之则不是统计上显著的。
26
构建平均值的预测区间
显然这样的 t 统计量与 Y F和 E (YF X F ) 都有关。 给定显著性水平α，查t分布表，得自由度n－2的临 界值 t 2 (n 2) 则有
P(t 2 t
^ ^ ^
^
ˆ YF E (YF X F ) ˆ SE(YF )
^
t 2 ) 1
3
回归系数的区间估计
概念：
在确定参数估计式概率分布性质的基础上，可找到 两个正数δ和α（ 0 1 ），使得区间 ˆ ˆ ( k , k ) 包含真实 k 的概率为1 ，即
ˆ ˆ P( k k k ) 1
31
2、平均值和个别值预测区间都不是常数，是随
X F 的变化而变化的
3、预测区间上下限与样本容量有关，当样本容 量 n 时个别值的预测误差只决定于随机 扰动的方差
32
各种预测值的关系
Y
SRF
Y均值的置信区间
Y的个别值的置信区间
X
XF
X
33
当X F X时，置信区间最小
30
^
^
应变量Y 区间预测的特点
1、Y 平均值的预测值与真实平均值有误差，主要是 受抽样波动影响
YF Y F t 2
^ ^
1 ( X F X )2 n xi2
Y 个别值的预测值与真实个别值的差异,不仅受抽
样波动影响，而且还受随机扰动项的影响
1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
9
假设检验方法
置信区间法 显著性检验法
10
显著性检验：t检验
• 计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是 否为零来进行显著性检验。
11
回归系数的检验方法：t检验
t ~ t（n - 2） se（ 2 ）
2 2
12
原假设： 2 0， 备择假设： 2 0
13
回归系数的检验方法：t检验
p{[Y F t 2 SE(Y F )] E(YF X F ) [Y F t 2 SE(Y F )]} 1
Y平均值的置信度为 1 的预测区间为
[Y F t 2
^ ^ ^ 1 ( X F X )2 ^ , Y F t 2 2 n xi
YF
eF
uF
XF
X
YˆF 是真实平均值的点估计,也是对个别值的点估计
23
Y 平均值的点预测
将解释变量预测值直接代入估计的方程
ˆ ˆ ˆ YF 1 2 X F
ˆ 这样计算的 YF 是一个点估计值
24
Y 平均值的区间预测
基本思想：
ˆ 由于存在抽样波动，预测的平均值 YF 不一定等于 真实平均值 E(YF X F ) ，还需要对 E(YF X F ) 作区 间估计。
的临界值 t 2 (n 2) ，则有
ˆ ˆ P{[YF t 2 SE (eF )] YF [YF t 2 SE (eF )]} 1
1 因此，一元回归时 Y 的个别值的置信度为 的 预测区间上下限为 1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
^
^
^
2 ei2 (n 2) 代替 2 时，对 e F 标准化的变量 当用 ˆ
t为
t
eF E ( e F ) SE(eF）
^
ˆ 1
YF Y F 1 (X F X ) n xi2
2
^
~ t (n 2)
29
构建个别值的预测区间
给定显著性水平 ，查 t 分布表得自由度为 n 2
判定系数和自由度
20
二、均值预测 1.基本思想
●利用所估计的样本回归函数，用解释变量的已知值或预测
值，对预测期或样本以外的被解释变量数值作出定量的估 计。
21
二、均值预测
点预测 区间预测
22
预测值、平均值、个别值的相互关系
Y
点预测值
SRF PRF
YˆF
真实平均值 E(Y F X F ) 个别值
回归分析的应用：
预测问题
●回归分析结果的报告 ●因变量平均值预测 ●因变量个别值预测
19
一、回归分析结果的报告
ˆ Yi 352.00 0.5300 X i
(76.5826) (0.0216) t (4.5963) (24.5902)
r 2 0.9869 df 8
标准差se
t 统计量
第五章
双变量回归：
区间估计与假设检验
基本内容
区间估计：
围绕参数的点估计量构造一个区间，使得它以特 定概率包含参数的真实值。
假设检验
检验某一给定的观测是否与虚拟假设（原假设） 相符，若相符，则接受假设，反之拒绝。
2
区间估计和假设检验都是建立在确定参数估计值 概率分布性质的基础上。 随机扰动项正态分布的假定决定了OLS估计量也 服从正态分布
1 ( X F X )2 ] 2 n xi
27
三、个值预测 基本思想：
ˆ ◆ YF 既是对Y 平均值的点预测，也是对 Y 个别值 的点预测
◆由于存在随机扰动 u i 的影响，Y 的平均值并不
等于 Y 的个别值 YF
◆为了对 Y 的个别值 YF 作区间预测，需要寻找与
ˆ 预测值 YF 和个别值 YF 有关的统计量，并要明
2 2
6
可证明统计量t服从 t 分布。可用 t 分布去构 造参数估计的置信区间。
t
~ t（n - 2） se（ 2 ）
2 2
7
选定α，查 t 分布表得显著性水平为 2 ，自 由度为 n 2 的临界值 ，则有
P[t
2
2 2 se( 2 )
^
^
t ] 1
给定，查t分布表得t （n 2) 2 （ ）若t -t 2 (n 2), 或t t 2 (n 2)，则拒绝原假设 1 H 0： 2 0，接受备择假设H1： 2 0； （2）若 - t 2 (n 2) t t 2 (n 2), 则接受原假设。
►若 α/2 > p 值，则在显著性水平
下拒绝原假设
H 0 : βk = 0 ，即认为 X 对 Y 有显著影响
►若 α/2 ≤ p 值，则在显著性水平 下接受原假设
H 0 : βk = 0
，即认为 X 对 Y 没有显著影响
规则：当 p < α/2 时， p 值越小，越能拒绝原
假设 H 0
18
为对Y 作区间预测，必须确定平均值预测值的抽 ˆ 样分布， 必须找出与 YF 和 E(YF X F ) 都有关的 统计量
25
具体作法 （从 Y F 的分布分析）
已知 可以证明
ˆ E (YF ) E (YF X F ) 1 2 X F
1 ( X F X )2 ˆ Var (YF ) 2 [ ] 2 n xi
确其概率分布
28
具体作法：
已知剩余项 e F YF Y F 是与预测值 Y F 及个别值 YF 都有关的变量,并且已知 e F 服从正态分布，且可证 明 E(eF ) 0
1 ( X F X )2 Var (eF ) E (YF Y F ) 2 2 [1 ] 2 n xi
14
2-t经验法则
若自由度为20或更大且显著性水平定在0.05， 那么t在绝对值超过2时，就可以拒绝虚拟假设。
15
用 P 值判断参数的显著性
16
假设检验的 p 值
p 值是一个虚拟假设可被拒绝的最低显著水平
统计分析软件中通常都给出了检验统计量的 p 值
17
用 P 值判断参数的显著性的方法
方法：将给定的显著性水平 与 p 值比较：
^
1 ( X F X )2 ˆ SE (YF ) n xi2
Y F 服从正态分布，将其标准化,
^
当
2
2 ei2 (n 2) 代替，这时有 未知时，只得用 ˆ ˆ YF E (YF X F ) t ~ t (n 2) 1 ( X F X )2 ˆ n xi2
这样的区间称为所估计参数的置信区间。
4
2 的置信区间构造
2 2 （ 2 2） x Z ~ N (0， 1) se（ 2 ）
2 i
(已知）
5
若标准差未知，则可用其无偏估计代入，Z 变量可写为
估计量 参数 t se（ 2 ） 估计量的标准误的估计
2
即
P[ 2 t se( 2 ) 2 2 t se( 2 )] 1
2 2
8
^
^
^
^
假设检验
百度文库
检验某一给定的观测是否与虚拟假设（原假设）相符， 若相符，则接受假设，反之拒绝。 当我们拒绝虚拟假设时，我们说该统计量是统计上显 著的，反之则不是统计上显著的。
26
构建平均值的预测区间
显然这样的 t 统计量与 Y F和 E (YF X F ) 都有关。 给定显著性水平α，查t分布表，得自由度n－2的临 界值 t 2 (n 2) 则有
P(t 2 t
^ ^ ^
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ˆ YF E (YF X F ) ˆ SE(YF )
^
t 2 ) 1
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回归系数的区间估计
概念：
在确定参数估计式概率分布性质的基础上，可找到 两个正数δ和α（ 0 1 ），使得区间 ˆ ˆ ( k , k ) 包含真实 k 的概率为1 ，即
ˆ ˆ P( k k k ) 1
31
2、平均值和个别值预测区间都不是常数，是随
X F 的变化而变化的
3、预测区间上下限与样本容量有关，当样本容 量 n 时个别值的预测误差只决定于随机 扰动的方差
32
各种预测值的关系
Y
SRF
Y均值的置信区间
Y的个别值的置信区间
X
XF
X
33
当X F X时，置信区间最小
30
^
^
应变量Y 区间预测的特点
1、Y 平均值的预测值与真实平均值有误差，主要是 受抽样波动影响
YF Y F t 2
^ ^
1 ( X F X )2 n xi2
Y 个别值的预测值与真实个别值的差异,不仅受抽
样波动影响，而且还受随机扰动项的影响
1 ( X F X )2 ˆ ˆ YF YF t 2 1 n xi2
9
假设检验方法
置信区间法 显著性检验法
10
显著性检验：t检验
• 计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是 否为零来进行显著性检验。
11
回归系数的检验方法：t检验
t ~ t（n - 2） se（ 2 ）
2 2
12
原假设： 2 0， 备择假设： 2 0
13
回归系数的检验方法：t检验