八年级数学下册19.1矩形2矩形的判定作业课件华东师大版.pptx
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矩形吗？请说明理由．
• 四边形EFGH是矩形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO.∵点E，F，G， H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EO＝FO＝GO＝HO.∴OE＝OG，OF＝OH.∴四边形EFGH是平行 四边形．∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝FH.∴四边形EFGH是矩形
• (3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形，理由：连 结AE，AF，由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时有OA＝ OC，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠ECF＝90°，∴四 边形AECF为矩形
• 方法技能：
• 1．矩形的判定方法有三种：第一种是有三个角是直角的 四边形是矩形；第二种是定义，有一个角是直角的平行四 边形是矩形；第三种是对角线相等的平行四边形是矩 形．后面两种判定方法一定要满足两个条件，一个是这个 四边形是平行四边形，这个条件不能漏掉，另一个是一个 角为直角或对角线相等．
• (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
• (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩 形？并说明理由．
• (1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO， ∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE，∴OE＝OF
(2)由(1)知：OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC， ∠OCE ＝ ∠OEC ， ∴∠OCF ＋ ∠OCE ＝ ∠OFC ＋ ∠OEC，而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝ 180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF ＝ CE2＋CF2＝ 122＋52＝13，∴OC＝12EF＝123
5．平行四边形各内角的角平分线围成的四
• A．任意四边形 B边．形平行为四(边形C )
• C．矩形
D．以上都不对
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB ＝AC，D是斜边BC上一点，DE⊥AC， DF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：四边形 AEDF是矩形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED＝90°， ∠AFD＝90°.又∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩 形
②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个组合： ________；①_②_⑥__________③_④_⑥_(_答_案_不_唯__一_) ______.
11．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的 中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB， 当AB，BC满形足P条EM件F__为_AB_矩＝_12B_形C__．____时，四边
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点， 作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结
DE，则DE的最小值为___4_.8____．
14．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O 作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交
• (1)求证：OE＝∠OAF；CB的外角平分线于点F.
连结DE，FD，当△ABC满足条件 ______∠_B_AC_＝_90_°___时，四边形AEDF是矩形．
3．如图，在▱ABCD中，点M为CD边的中 点，且AM＝BM.求证：四边形ABCD是矩
形．
易证△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又 ∠C＋∠D＝180°，∴∠C＝∠D＝90°，∴ 平行四边形ABCD是矩形
Fra Baidu bibliotek
9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长
AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，
添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形
的是( B )
• A．AB＝BE
B．BE⊥DC
• C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从 ①AB＝CD； ②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝ 90°，这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①
12．如图，在△ABC中，D是BC边上一点， E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE
的延长线于点F，且AF＝BD，连结BF.
• (1)求证：D是BC的中点； • (2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状并证明你的结
论．
• (1) 证 明 ： ∵ 点 E 是 AD 的 中 点 ， ∴ AE ＝ DE. ∵ AF ∥ BC ， ∴ ∠ AFE ＝ ∠ DCE ， ∠ FAE ＝ ∠CDE.∴△EAF≌△EDC(AAS)．∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD ＝DC，即D是BC的中点 (2)四边形AFBD是矩形．证明： ∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBC是平行四边形．∵AB＝ AC，又由(1)可知D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴▱AFBD是矩形
知识点❸：矩形的判定定理2——对角线相
等的平行四边形是矩形
• 7．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成 为矩形，需要添加的条件是( B )
• A．AB＝CD
B．AC＝BD
• C．AB＝BC
D．AC⊥BD
8．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E，F，G， H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是
第 １９ 章 矩形、菱形与正方形 １９．１ 矩形
１９．１．２ 矩形的判定
• 知识点❶：有一个角是直角的平行四边形是矩形
• 1．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是( B )
• A．AB＝BC
B．∠ABC＝90°
• C．∠1＝∠2
D．AC⊥BD
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
知识点❷：矩形的判定定理1——有三个角 是直角的四边形是矩形
• 4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框 是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方 案，其中正确的是( D )
• A．测量对角线是否相互平分
• B．测量两组对边是否分别相等
• C．测量一组对角是否都为直角
• D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
• 2．对角线相等的四边形不一定是矩形，但是对角线互相 平分且相等的四边形一定是矩形．
• 四边形EFGH是矩形，理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AO＝BO＝CO＝DO.∵点E，F，G， H分别是AO，BO，CO，DO的中点，∴EO＝FO＝GO＝HO.∴OE＝OG，OF＝OH.∴四边形EFGH是平行 四边形．∵EO＋GO＝FO＋HO，即EG＝FH.∴四边形EFGH是矩形
• (3)当点O移动到AC中点时，四边形AECF为矩形，理由：连 结AE，AF，由(1)知OE＝OF，当点O移动到AC中点时有OA＝ OC，∴四边形AECF为平行四边形，又∵∠ECF＝90°，∴四 边形AECF为矩形
• 方法技能：
• 1．矩形的判定方法有三种：第一种是有三个角是直角的 四边形是矩形；第二种是定义，有一个角是直角的平行四 边形是矩形；第三种是对角线相等的平行四边形是矩 形．后面两种判定方法一定要满足两个条件，一个是这个 四边形是平行四边形，这个条件不能漏掉，另一个是一个 角为直角或对角线相等．
• (2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
• (3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩 形？并说明理由．
• (1)∵CF平分∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO， ∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE，∴OE＝OF
(2)由(1)知：OF＝OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC， ∠OCE ＝ ∠OEC ， ∴∠OCF ＋ ∠OCE ＝ ∠OFC ＋ ∠OEC，而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝ 180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF ＝ CE2＋CF2＝ 122＋52＝13，∴OC＝12EF＝123
5．平行四边形各内角的角平分线围成的四
• A．任意四边形 B边．形平行为四(边形C )
• C．矩形
D．以上都不对
6．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB ＝AC，D是斜边BC上一点，DE⊥AC， DF⊥AB，垂足分别为E，F.求证：四边形 AEDF是矩形．
证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠AED＝90°， ∠AFD＝90°.又∵∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩 形
②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个组合： ________；①_②_⑥__________③_④_⑥_(_答_案_不_唯__一_) ______.
11．如图，在矩形ABCD中，M为AD边的 中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB， 当AB，BC满形足P条EM件F__为_AB_矩＝_12B_形C__．____时，四边
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点， 作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结
DE，则DE的最小值为___4_.8____．
14．如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O 作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交
• (1)求证：OE＝∠OAF；CB的外角平分线于点F.
连结DE，FD，当△ABC满足条件 ______∠_B_AC_＝_90_°___时，四边形AEDF是矩形．
3．如图，在▱ABCD中，点M为CD边的中 点，且AM＝BM.求证：四边形ABCD是矩
形．
易证△AMD≌△BMC(SSS)，∴∠C＝∠D.又 ∠C＋∠D＝180°，∴∠C＝∠D＝90°，∴ 平行四边形ABCD是矩形
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9．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长
AD到点E，使DE＝AD，连结EB，EC，DB，
添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形
的是( B )
• A．AB＝BE
B．BE⊥DC
• C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE
10．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，从 ①AB＝CD； ②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝ 90°，这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①
12．如图，在△ABC中，D是BC边上一点， E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE
的延长线于点F，且AF＝BD，连结BF.
• (1)求证：D是BC的中点； • (2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状并证明你的结
论．
• (1) 证 明 ： ∵ 点 E 是 AD 的 中 点 ， ∴ AE ＝ DE. ∵ AF ∥ BC ， ∴ ∠ AFE ＝ ∠ DCE ， ∠ FAE ＝ ∠CDE.∴△EAF≌△EDC(AAS)．∴AF＝DC.∵AF＝BD，∴BD ＝DC，即D是BC的中点 (2)四边形AFBD是矩形．证明： ∵AF∥BD，AF＝BD，∴四边形AFBC是平行四边形．∵AB＝ AC，又由(1)可知D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴▱AFBD是矩形
知识点❸：矩形的判定定理2——对角线相
等的平行四边形是矩形
• 7．四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成 为矩形，需要添加的条件是( B )
• A．AB＝CD
B．AC＝BD
• C．AB＝BC
D．AC⊥BD
8．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E，F，G， H分别是AO，BO，CO，DO的中点，请问四边形EFGH是
第 １９ 章 矩形、菱形与正方形 １９．１ 矩形
１９．１．２ 矩形的判定
• 知识点❶：有一个角是直角的平行四边形是矩形
• 1．如图，要使▱ABCD成为矩形，需添加的条件是( B )
• A．AB＝BC
B．∠ABC＝90°
• C．∠1＝∠2
D．AC⊥BD
2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D， DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，
知识点❷：矩形的判定定理1——有三个角 是直角的四边形是矩形
• 4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框 是否为矩形，下面是某合作学习小组的4位同学拟定的方 案，其中正确的是( D )
• A．测量对角线是否相互平分
• B．测量两组对边是否分别相等
• C．测量一组对角是否都为直角
• D．测量四边形其中的三个角是否都为直角
• 2．对角线相等的四边形不一定是矩形，但是对角线互相 平分且相等的四边形一定是矩形．