分数阶Fourier变换在通信中的应用

分数阶Fourier变换在通信中的应用

分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广。最早由Namias 以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用。而其在信号处

理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具有时频旋转的特性，它是一种统一的时频变换，随

着变换阶数从0 连续增长到 1 而展示出信号从时域逐步变化到频域

的所有特征。

一、FRFT概述

FRFT是一种重要的时频分析工具，其根本特点可以理解为对傅

立叶变换特征值的分数化。酉性、旋转相加性和对信号时频形式的统

一性是FRFT的基本性质。由于对特征值分数化方式的不同，以及对FRFT性质约束的宽泛性，使得FRFT具有很多种不同的定义形式。

根据这些定义各自的出发点和基本特征，可以大致将其划分为两类，即：经典类FRFT(CFRFT)和加权类FRFT(WFRFT)。

CFRFT是提出比较早的一种FRFT形式，目前CFRFT定义主要有三种不同形式：一种是V. Namias在1980年从傅立叶变换的特征值与特征函数的角度定义了分数傅立叶变换，数学上表示为“无穷级数和”的形式；另一种是1987年，A. C. Mcbride和F. H. Kerr基于Namias 的标准Chirp类分数傅立叶变换提出的“积分形式”；最后一种是 A. W.Lohmann在1993年从Wigner分布函数相空间的角度定义的分数傅

立叶变换。三种定义形式研究角度不同，但可以证明是相互等价的。

由于经典FRFT具有chirp形式的正交基，因而经典类FRFT又被称为“chirp类FRFT”。经典FRFT在求解微分方程、量子力学、信号

分析和处理等科学研究中有着比较广泛的应用；工程技术方面，如光通信系统、光图像处理等光学相关领域是最早利用经典FRFT的，也是目前应用最成功的。但是受限于经典FRFT的离散算法问题，其在通信领域的应用受到了比较大的限制。

二、FRFT分类及通信中的应用

CFRFT在通信系统中的应用往往与Chirp 信号在通信中的使用密不可分。IEEE 802.15.4a中就有两种不同的采用Chirp信号作为传输信号的调制方式。其一是利用Chirp信号的扩频特性的CSS技术，它将Chirp信号的扫频率作为调制参数；其二是在脉冲超宽带系统中

利用Chirp信号设计脉冲波形。考虑到线性调频信号在分数域体现为

冲激函数，易于检测和识别，因此分数阶傅里叶变换常被应用于线性

调频信号的检测与参数估计；而IEEE802.15.4a技术体系下对于时延/频偏的估计，以及同步和测距的需求，都可利用CFRFT进行深入的研究。

Chirp信号在通信系统中的另一个主要应用方式是构造多载波系统。M. Martone针对在时间和频率双选择性衰落信道下传统正交频分

复用系统的子载波正交性容易受到破坏而导致系统性能下降的问题，

提出了基于分数傅里叶变换调制解调的多载波系统，其结果表明该系统是双弥散信道中近似最优的无线通信系统，可以在不增加额外计算的代价下，提升系统性能。其后，T. Erseghe等在Martone的工作基