分数阶Fourier变换在通信中的应用
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分数阶Fourier变换在通信中的应用
分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广。最早由Namias 以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用。而其在信号处
理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具有时频旋转的特性,它是一种统一的时频变换,随
着变换阶数从0 连续增长到 1 而展示出信号从时域逐步变化到频域
的所有特征。
一、FRFT概述
FRFT是一种重要的时频分析工具,其根本特点可以理解为对傅
立叶变换特征值的分数化。酉性、旋转相加性和对信号时频形式的统
一性是FRFT的基本性质。由于对特征值分数化方式的不同,以及对FRFT性质约束的宽泛性,使得FRFT具有很多种不同的定义形式。
根据这些定义各自的出发点和基本特征,可以大致将其划分为两类,即:经典类FRFT(CFRFT)和加权类FRFT(WFRFT)。
CFRFT是提出比较早的一种FRFT形式,目前CFRFT定义主要有三种不同形式:一种是V. Namias在1980年从傅立叶变换的特征值与特征函数的角度定义了分数傅立叶变换,数学上表示为“无穷级数和”的形式;另一种是1987年,A. C. Mcbride和F. H. Kerr基于Namias 的标准Chirp类分数傅立叶变换提出的“积分形式”;最后一种是 A. W.Lohmann在1993年从Wigner分布函数相空间的角度定义的分数傅
立叶变换。三种定义形式研究角度不同,但可以证明是相互等价的。
由于经典FRFT具有chirp形式的正交基,因而经典类FRFT又被称为“chirp类FRFT”。经典FRFT在求解微分方程、量子力学、信号
分析和处理等科学研究中有着比较广泛的应用;工程技术方面,如光通信系统、光图像处理等光学相关领域是最早利用经典FRFT的,也是目前应用最成功的。但是受限于经典FRFT的离散算法问题,其在通信领域的应用受到了比较大的限制。
二、FRFT分类及通信中的应用
CFRFT在通信系统中的应用往往与Chirp 信号在通信中的使用密不可分。IEEE 802.15.4a中就有两种不同的采用Chirp信号作为传输信号的调制方式。其一是利用Chirp信号的扩频特性的CSS技术,它将Chirp信号的扫频率作为调制参数;其二是在脉冲超宽带系统中
利用Chirp信号设计脉冲波形。考虑到线性调频信号在分数域体现为
冲激函数,易于检测和识别,因此分数阶傅里叶变换常被应用于线性
调频信号的检测与参数估计;而IEEE802.15.4a技术体系下对于时延/频偏的估计,以及同步和测距的需求,都可利用CFRFT进行深入的研究。
Chirp信号在通信系统中的另一个主要应用方式是构造多载波系统。M. Martone针对在时间和频率双选择性衰落信道下传统正交频分
复用系统的子载波正交性容易受到破坏而导致系统性能下降的问题,
提出了基于分数傅里叶变换调制解调的多载波系统,其结果表明该系统是双弥散信道中近似最优的无线通信系统,可以在不增加额外计算的代价下,提升系统性能。其后,T. Erseghe等在Martone的工作基