二级齿轮传动振动分析
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岛（ｆ）＝气＋ｋ（ｆ），如图２所示。 丸Ｏ）在啮合过程中周期性的变化，其傅里叶级数表达
式为：
“Ｏ）；２Ｌ窆＂ｓｉｎＱ＂∥ｃ。ｓＱ，ｆ），／＝－１，２ （３）
式中，２ｋ为ｋ的峰值；Ｑｌ、如为啮合频率，且Ｑ。＝ＲＱ：， Ｒ＝ｚＩ｜ｚＩ。
ｌ㈣
一／双齿啮合 ｊ，
其中，占，；ｋ／％，净ｌ，２。础’，Ｅ！’，砧’，磷’分别为
以下矩阵的元素
。“）＝吒。①７［考考ｏ］①，Ｅ（，）＝屯。①７［ｏ耋耋］①
ｋ ａ：０］
ｆ０ ０ ０］
Ｆ∽＝吒：①７Ｉ ａ２１口：０卜，Ｇ∽＝吒：①７ｌ ０ ６；噬Ｉ①
【．０ ０ ｏｊ
Ｌｏ巧６；ｊ
● Ｉ姒 ｃ）
＿叫ｐｌＴｉ ● Ｉ
－－－７ ｋ —］
ｌ
Ｉ
－ｋ＿ ＪＩ｝＝Ｑ，／２，ｃ
ｃｉ－１
］一 Ｉ ｔ一
齿轮的半径为，ｉ，卢１，２，３，４，当量质量为ｍ，＝Ｉ，＾２，
所：＝１２／ｒ：，其中，五为齿轮及与其相联的轴的转动惯量； 对于四齿轮传动系统有＇，＝，：ｌ／‘，对于三齿轮系统则有
ｙ＝１；当量刚度为‰＝ｔ。／‘２，ｋｌ＝吒。，哎＝ｙ２吒：；轴 和齿轮的相对转动为五＝‘只，ｚ。＝‘幺，Ｘ３＝‘岛／１，；所
假设二啮合刚度的变化幅值相等，即毛＝岛＝占．允许二啮 合的接触和重合度不同，实际上，接触率与中心距、节圆、 压力角、齿项高及其他参数有关，重合度与齿轮的布局及齿
数有关。当ＪＱ一瓴＋ｑ）时，参数不稳定．令
ｍ＝ｑ＋ｑ＋（７６，其中盯是待定解调参数。若要消除导
致
无
界
响
应
项
则
需
要
２峨鲁＋石幽＋掣＋ｆ㈣＋掣皓衙＝ｏ （１３）
参数不稳定与参数激励的频率、幅值、形状有关，而这 些又与运动速度和齿轮设计参数如接触率、齿宽、节圆半径、 压力角、材料性能等有关。相应的模型参数有刚度变化幅值 吒。、屯：，啮合频率Ｑ。、Ｑ：，接触率ｃｌ、ｃ：，啮合重合
度．ＩＩ等。实际上，ｋ相对匕较小（ｑ＜０．５），在此定义
晶＝岛＝占。三齿轮系统的均匀啮合刚度变化分析如下． 在三齿轮系统中，二啮合频率相等，即Ｑ。＝Ｑ，＝Ｑ．
Ｌｉｕ Ｈｕｉ－ｙｉｎ９１ Ｑｉ Ｘｉａｏ－ｘｉａｚ Ｙｕ Ｙｏｎｇ—ｔｍｇ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＡｕｔｏｍｏｂｉｌｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｅｉｈａｉ ２６４２０９，Ｃｈｉｎａ）
（２．Ｗｅｉｈａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｅｉｈａｉ ２６４２００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｓ ａ ｍａｊｏｒ ｃｏｎｃｅｒｎ ｉｎ ｐｏｗｅｒ ｔｒａｉｎ ａｎｄ ｇｅａｒｉｎｇ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｆｏｒ ｔｗｏ·ｍｅｓｈ ｇｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｄｏｎｅ，ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ ｍｅｓｈｉｎｇ ｔｅｅｔｈ ａｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｅｅｔｈ ｉｎ ｃｏｎｔａｃｔ ｃｈａｎｇｅｓ，ｃａｕｓｅｓ ｓｅｖｅｒｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｇｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｍｅｓｈ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ，ｍｅｓｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ，ｃｏｎｔａｃｔ ｒａｔｉｏｓ，ａｎｄ ｍｅｓｈ ｐｈａｓｉｎｇ，ｏｎ ｔｈｅｓｅ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ ａｒｅ ａｎａｌｙｔｉｅａｌｌｙ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ． Ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．
１二级齿轮系统的数学建模
二级齿轮传动通常由三个齿轮和四个齿轮两种结构形式 如图ｌ所示，这里仅研究相对于刚体齿轮的转动振动岛、易、 岛，输入轴的扭转刚度为缸ｏ，并以恒定速度旋转，假设装有 齿轮２和４的中间轴为刚性轴，因为典型的中问轴结构通常是 整体性的。轮齿的啮合简化为刚度为乜、．ｊＩ：沈的线性弹簧。
机械设计与研究
２００６年专刊
Ｍａｃｈｉｎｅ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ
１８３
二级齿轮传动振动分析
刘会英’，戚晓霞２，于永玲２
（１．哈尔滨工业大学汽车工程学院，威海２６４２０９，Ｅｍａｉｌ：ｈｙｌｉｕｗｈ＠ｈｏｌａｎａｉｌ．ｃｏｒｎ） （２．泰山学院应用科学技术系，泰安２７１０２１）
（３．威海职业技术学院机电工程学院，山东威海２６４２００）
【１】Ｐａｋｃｒ，ｌ乙Ｇ．，Ｖｉｊａｙａｋａｒ，Ｓ．Ｍ．，ａｎｄ Ｉｍａｊｏ，Ｔ。Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ａ Ｓｐｕｒ Ｇｅａｒ Ｐａｉｒ：．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ册．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．２０００，２３６：５６１—５７３
３
２ ｉ
Ｏ
Ｉ
２
心）
图５稳定与内的振动曲线
４结论
＝级齿轮传动系统的啮合刚度对系统的振动具有决定 性的影响，在一定条件下会使系统振动处于非稳定域内，造 成系统失稳，在稳定域内系统的振动呈简单的周期性变化。 因此在齿轮传动系统设计中，要综合考虑齿轮的材料、结构、 尺寸、安装等问题，确保系统的稳定。
参考文献
无界。因此非稳定域的边界为
Ｑ＝詈ｂ＋ｑ±占√列
㈣，
对于单模态非稳定Ｐ呵，则上式为
Ｑ＝孕±去幽＋哪＋㈣＋Ｇ等ｙ１２，础，．．．
图４ Ｑ。＝Ｑ：时非稳定域的三维图形
根据以上条件所确定的稳定域内的振动加速度曲线如 图５所示。
（１８）
３非稳定域分析
设二级齿轮传动系统具有以下参数： 惯量ｍｔ＝ｌ，ｍ２－－ｏ．３，ｍ３－－－－４．Ｏ；
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｗｏ－ｍｅｓｈ ｇｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ，ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，Ａｎａｌｙｓｉｓ
振动是影响齿轮传动精度特别是精密齿轮传动精度的重 要因素之一。齿轮振动的主要原因是啮合齿轮刚度的变化， 而刚度的变化则是由同是啮合的齿数变化引起的。所以本文 主要是在重点考虑啮合刚度变化的基础上，建立二级齿轮传 动数学模型，对系统的稳定性条件进行分析，对系统进行仿 真研究。
平均啮合刚度ｋＩ＝堤矿１；
轴刚度尼ｏ－－０．５； 接触率ｌ＜ｃｔ，ｃ２盈； 啮合状蹇勋ｌ＝ｏ，０．≤ｐ２＝ｈ＜ｌ； 幅值变化以毛ｌ，Ｍ＜０．５。 则通过数值解碍到当Ｑ。＝Ｑ：＝Ｑ，且占２＝Ｃ＝０．３时 的非稳定域如图３所示。
０ ０．０５ ０．１０ ０．１５ ０．２０ ０．２５ Ｏ．３０
８１
图３ Ｑｌ＝Ｑ２＝Ｑ时的非稳定域 由（Ｑｌ，自）平面与不同的学２－－Ｃ构成的三维（Ｑｌ，旬， 龟）图象如图４所示。
【２】Ｋａｈｒａｍａｎ’八，Ｂｌａｎｋｅｎｓｈｉｐ，Ｇ．、矾．Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｃｏｍｍｅｎｓｕｒａｔｅ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ Ｆｏｒｃｉｎｇ Ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓ ｉｎ ａ Ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ Ｃｌｅａｒｎｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ． １９９６，１９４：３１７—３３６
图２啮合刚度模型
若将刚度‰表示为矩形波，且幅值为缸，周期为正＝ｎ／２石， 接触率为ｑ，相位角为ｐｌ乃，则
口ｊＪ’＝一！ｓｉｎ［ｓｚｒ（ｃ。一２ｐ，）】咖Ｇ冠，）
砂’＝一—２—ｃｏｓｂ石（ｃ，一２ｐ。）】ｓｉｎＧ忍，）
（４’
对于时不变系统，其特征方程为
wk.baidu.com
Ｋ。办＝砰Ｍ谚
（５）
式中 劬——固有频率。
谚——振动模态，其正交化方程为①７Ｍ①＝Ｉ，
①＝协，唬，唬】
将式（３）代入式（Ｉ），并应用变换ｑ＝①ｕ，则式（１）变 为ｌ
甜＋西甜．＋窆芝乜ｑ雠，ｓｉｎＪＱ。ｒ＋础，ｃ。ｓＪＱ。瑚
＋２乞（Ｆ（＇）ｓｉｎｓｆ】：ｆ＋Ｇ！）ｃｏｓｓｌ２２ｆＸ，＝ｏ，以＝１，２，３ （６）
稳定Ｑ．≈ｑ，和组合不稳定Ｑ，岛ｑ＋ｑ，其中ｑ，ｑ
为不同的固有频率
２参数不稳定的条件
以该系统的自有振动方程为：
Ｍ／ｉ＋【Ｋ．＋Ｋ，Ｏ）ｈ＝ｏ
（１）
式中，Ｍ＝ｄｉａｇ∞。，ｍ：，ｍ，）为质量矩阵；ｑ＝Ｉｘｌ，Ｘ２，以】ｒ为
位移矩阵；［Ｋ．＋Ｋ，Ｏ）１为刚度矩阵。
图１二级齿轮传动系统
％＋‰
Ｋｏ ２ ｔ。
Ｏ
吒
●七 妇
以十％ ：
ｏ即坳
础怔≥
（２）
１８４
机械设计与研究
２００６年专刊
其中，匕、ｋ（ｆ）分别为啮合刚度的均值和时变成份，
【３】Ｊｉａｎ“ｎ’Ｒｏｂｅｒｔ Ｇ．Ｐａｒｋｅｒ．Ｍｅｓｈ Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ Ｖａｒｉａｔｉｏｎ Ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｉｎ Ｔｗｏ·Ｓｔａｇｅ Ｇｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，２００２，１２４：６８—７６．
【４】Ｇａｉ Ｙｕｘｉａｎ，Ｌｉ Ｄａｎ，Ｄｏｎｇ Ｓｈｅｎ．Ａｃｔｉｖｅ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｉｓｏｌａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ Ｓｕｂｍｉｃｒｏ Ｕｌｔｒａｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｔｕｒｎｉｎｇ Ｍａｃｈｉｎｅ［】］． Ｈｉｇｈ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０００，６（３）：４０－４３
作者简介：刘会英（１９６０．），女，副教授，研究方向；机械
传动，机构学，机械动力学
二级齿轮传动振动分析
作者： 作者单位：
刘会英， 戚晓霞， 于永玲 刘会英(哈尔滨工业大学,汽车工程学院,威海,264209)， 戚晓霞,于永玲(泰山学院应用科学 技术系,泰安,271021)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Conference_6203702.aspx
摘要：振动是影响齿轮传动精度的重要因素之一，本文建立了二级齿轮传动的振动模型，其中齿轮的啮合刚度
与啮合齿轮的重合度有关，啮合刚度的变化引起了齿轮系统的振动。在一定频率范围内系统的振动是发散的，在稳
定与内振动成简单的周期性变化。
关键词：二级齿轮传动；振动；分析
中图分类号：ＴＨｌ３２．４１
文献标识码：
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ Ｔｗｏ—Ｓｔａｇｅ Ｇｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍ
２帆兽＋石幽＋掣＋ｆ蚴＋础疆鲫＝ｏ （·４）
式（１３）、（１４）的非无效解为
Ａｐ＝ａｐＰ～，Ａｐ－－ａ，一２”ｈ
（１５）
刘会英等：二级齿轮传动振动分析
１８５
式中唧、嘞为复常数，名为相关特征方程的根
五：一昙｝±ｐｚ一＾２户】
心２去№＋砧咿＋㈣＋础户】ｃ－６，
当盯２＞－心时，４、Ａｑ有界；当盯２＜心时，４、４
式为：
“Ｏ）；２Ｌ窆＂ｓｉｎＱ＂∥ｃ。ｓＱ，ｆ），／＝－１，２ （３）
式中，２ｋ为ｋ的峰值；Ｑｌ、如为啮合频率，且Ｑ。＝ＲＱ：， Ｒ＝ｚＩ｜ｚＩ。
ｌ㈣
一／双齿啮合 ｊ，
其中，占，；ｋ／％，净ｌ，２。础’，Ｅ！’，砧’，磷’分别为
以下矩阵的元素
。“）＝吒。①７［考考ｏ］①，Ｅ（，）＝屯。①７［ｏ耋耋］①
ｋ ａ：０］
ｆ０ ０ ０］
Ｆ∽＝吒：①７Ｉ ａ２１口：０卜，Ｇ∽＝吒：①７ｌ ０ ６；噬Ｉ①
【．０ ０ ｏｊ
Ｌｏ巧６；ｊ
● Ｉ姒 ｃ）
＿叫ｐｌＴｉ ● Ｉ
－－－７ ｋ —］
ｌ
Ｉ
－ｋ＿ ＪＩ｝＝Ｑ，／２，ｃ
ｃｉ－１
］一 Ｉ ｔ一
齿轮的半径为，ｉ，卢１，２，３，４，当量质量为ｍ，＝Ｉ，＾２，
所：＝１２／ｒ：，其中，五为齿轮及与其相联的轴的转动惯量； 对于四齿轮传动系统有＇，＝，：ｌ／‘，对于三齿轮系统则有
ｙ＝１；当量刚度为‰＝ｔ。／‘２，ｋｌ＝吒。，哎＝ｙ２吒：；轴 和齿轮的相对转动为五＝‘只，ｚ。＝‘幺，Ｘ３＝‘岛／１，；所
假设二啮合刚度的变化幅值相等，即毛＝岛＝占．允许二啮 合的接触和重合度不同，实际上，接触率与中心距、节圆、 压力角、齿项高及其他参数有关，重合度与齿轮的布局及齿
数有关。当ＪＱ一瓴＋ｑ）时，参数不稳定．令
ｍ＝ｑ＋ｑ＋（７６，其中盯是待定解调参数。若要消除导
致
无
界
响
应
项
则
需
要
２峨鲁＋石幽＋掣＋ｆ㈣＋掣皓衙＝ｏ （１３）
参数不稳定与参数激励的频率、幅值、形状有关，而这 些又与运动速度和齿轮设计参数如接触率、齿宽、节圆半径、 压力角、材料性能等有关。相应的模型参数有刚度变化幅值 吒。、屯：，啮合频率Ｑ。、Ｑ：，接触率ｃｌ、ｃ：，啮合重合
度．ＩＩ等。实际上，ｋ相对匕较小（ｑ＜０．５），在此定义
晶＝岛＝占。三齿轮系统的均匀啮合刚度变化分析如下． 在三齿轮系统中，二啮合频率相等，即Ｑ。＝Ｑ，＝Ｑ．
Ｌｉｕ Ｈｕｉ－ｙｉｎ９１ Ｑｉ Ｘｉａｏ－ｘｉａｚ Ｙｕ Ｙｏｎｇ—ｔｍｇ （１．Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＡｕｔｏｍｏｂｉｌｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｈａｒｂｉｎ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｅｉｈａｉ ２６４２０９，Ｃｈｉｎａ）
（２．Ｗｅｉｈａｉ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｗｅｉｈａｉ ２６４２００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ ｉｓ ａ ｍａｊｏｒ ｃｏｎｃｅｒｎ ｉｎ ｐｏｗｅｒ ｔｒａｉｎ ａｎｄ ｇｅａｒｉｎｇ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ．Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｏｄｅｌｉｎｇ ｆｏｒ ｔｗｏ·ｍｅｓｈ ｇｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ ｉｓ ｄｏｎｅ，ｉｎ ｗｈｉｃｈ ｔｈｅ ｃｈａｎｇｅ ｉｎ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｏｆ ｍｅｓｈｉｎｇ ｔｅｅｔｈ ａｓ ｔｈｅ ｎｕｍｂｅｒ ｏｆ ｔｅｅｔｈ ｉｎ ｃｏｎｔａｃｔ ｃｈａｎｇｅｓ，ｃａｕｓｅｓ ｓｅｖｅｒｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｉｎ ｇｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ．Ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｍｅｓｈ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇ ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ ｖａｒｉａｔｉｏｎ ａｍｐｌｉｔｕｄｅｓ，ｍｅｓｈ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ，ｃｏｎｔａｃｔ ｒａｔｉｏｓ，ａｎｄ ｍｅｓｈ ｐｈａｓｉｎｇ，ｏｎ ｔｈｅｓｅ ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ ａｒｅ ａｎａｌｙｔｉｅａｌｌｙ ｉｄｅｎｔｉｆｉｅｄ． Ｔｈｅ ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｒｅｓｕｌｔｓ ａｒｅ ｃｏｍｐａｒｅｄ ｔｏ ｎｕｍｅｒｉｃａｌ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．
１二级齿轮系统的数学建模
二级齿轮传动通常由三个齿轮和四个齿轮两种结构形式 如图ｌ所示，这里仅研究相对于刚体齿轮的转动振动岛、易、 岛，输入轴的扭转刚度为缸ｏ，并以恒定速度旋转，假设装有 齿轮２和４的中间轴为刚性轴，因为典型的中问轴结构通常是 整体性的。轮齿的啮合简化为刚度为乜、．ｊＩ：沈的线性弹簧。
机械设计与研究
２００６年专刊
Ｍａｃｈｉｎｅ Ｄｅｓｉｇｎ ａｎｄ Ｒｅｓｅａｒｃｈ
１８３
二级齿轮传动振动分析
刘会英’，戚晓霞２，于永玲２
（１．哈尔滨工业大学汽车工程学院，威海２６４２０９，Ｅｍａｉｌ：ｈｙｌｉｕｗｈ＠ｈｏｌａｎａｉｌ．ｃｏｒｎ） （２．泰山学院应用科学技术系，泰安２７１０２１）
（３．威海职业技术学院机电工程学院，山东威海２６４２００）
【１】Ｐａｋｃｒ，ｌ乙Ｇ．，Ｖｉｊａｙａｋａｒ，Ｓ．Ｍ．，ａｎｄ Ｉｍａｊｏ，Ｔ。Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ Ｄｙｎａｍｉｃ Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ｏｆ ａ Ｓｐｕｒ Ｇｅａｒ Ｐａｉｒ：．Ｍｏｄｅｌｉｎｇ ａｎｄ Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｓ册．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ．２０００，２３６：５６１—５７３
３
２ ｉ
Ｏ
Ｉ
２
心）
图５稳定与内的振动曲线
４结论
＝级齿轮传动系统的啮合刚度对系统的振动具有决定 性的影响，在一定条件下会使系统振动处于非稳定域内，造 成系统失稳，在稳定域内系统的振动呈简单的周期性变化。 因此在齿轮传动系统设计中，要综合考虑齿轮的材料、结构、 尺寸、安装等问题，确保系统的稳定。
参考文献
无界。因此非稳定域的边界为
Ｑ＝詈ｂ＋ｑ±占√列
㈣，
对于单模态非稳定Ｐ呵，则上式为
Ｑ＝孕±去幽＋哪＋㈣＋Ｇ等ｙ１２，础，．．．
图４ Ｑ。＝Ｑ：时非稳定域的三维图形
根据以上条件所确定的稳定域内的振动加速度曲线如 图５所示。
（１８）
３非稳定域分析
设二级齿轮传动系统具有以下参数： 惯量ｍｔ＝ｌ，ｍ２－－ｏ．３，ｍ３－－－－４．Ｏ；
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｔｗｏ－ｍｅｓｈ ｇｅａｒ ｓｙｓｔｅｍ，ｖｉｂｒａｔｉｏｎ，Ａｎａｌｙｓｉｓ
振动是影响齿轮传动精度特别是精密齿轮传动精度的重 要因素之一。齿轮振动的主要原因是啮合齿轮刚度的变化， 而刚度的变化则是由同是啮合的齿数变化引起的。所以本文 主要是在重点考虑啮合刚度变化的基础上，建立二级齿轮传 动数学模型，对系统的稳定性条件进行分析，对系统进行仿 真研究。
平均啮合刚度ｋＩ＝堤矿１；
轴刚度尼ｏ－－０．５； 接触率ｌ＜ｃｔ，ｃ２盈； 啮合状蹇勋ｌ＝ｏ，０．≤ｐ２＝ｈ＜ｌ； 幅值变化以毛ｌ，Ｍ＜０．５。 则通过数值解碍到当Ｑ。＝Ｑ：＝Ｑ，且占２＝Ｃ＝０．３时 的非稳定域如图３所示。
０ ０．０５ ０．１０ ０．１５ ０．２０ ０．２５ Ｏ．３０
８１
图３ Ｑｌ＝Ｑ２＝Ｑ时的非稳定域 由（Ｑｌ，自）平面与不同的学２－－Ｃ构成的三维（Ｑｌ，旬， 龟）图象如图４所示。
【２】Ｋａｈｒａｍａｎ’八，Ｂｌａｎｋｅｎｓｈｉｐ，Ｇ．、矾．Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｓ ｂｅｔｗｅｅｎ Ｃｏｍｍｅｎｓｕｒａｔｅ Ｐａｒａｍｅｔｒｉｃ ａｎｄ Ｆｏｒｃｉｎｇ Ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎｓ ｉｎ ａ Ｓｙｓｔｅｍ ｗｉｔｈ Ｃｌｅａｒｎｃｅ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ． １９９６，１９４：３１７—３３６
图２啮合刚度模型
若将刚度‰表示为矩形波，且幅值为缸，周期为正＝ｎ／２石， 接触率为ｑ，相位角为ｐｌ乃，则
口ｊＪ’＝一！ｓｉｎ［ｓｚｒ（ｃ。一２ｐ，）】咖Ｇ冠，）
砂’＝一—２—ｃｏｓｂ石（ｃ，一２ｐ。）】ｓｉｎＧ忍，）
（４’
对于时不变系统，其特征方程为
wk.baidu.com
Ｋ。办＝砰Ｍ谚
（５）
式中 劬——固有频率。
谚——振动模态，其正交化方程为①７Ｍ①＝Ｉ，
①＝协，唬，唬】
将式（３）代入式（Ｉ），并应用变换ｑ＝①ｕ，则式（１）变 为ｌ
甜＋西甜．＋窆芝乜ｑ雠，ｓｉｎＪＱ。ｒ＋础，ｃ。ｓＪＱ。瑚
＋２乞（Ｆ（＇）ｓｉｎｓｆ】：ｆ＋Ｇ！）ｃｏｓｓｌ２２ｆＸ，＝ｏ，以＝１，２，３ （６）
稳定Ｑ．≈ｑ，和组合不稳定Ｑ，岛ｑ＋ｑ，其中ｑ，ｑ
为不同的固有频率
２参数不稳定的条件
以该系统的自有振动方程为：
Ｍ／ｉ＋【Ｋ．＋Ｋ，Ｏ）ｈ＝ｏ
（１）
式中，Ｍ＝ｄｉａｇ∞。，ｍ：，ｍ，）为质量矩阵；ｑ＝Ｉｘｌ，Ｘ２，以】ｒ为
位移矩阵；［Ｋ．＋Ｋ，Ｏ）１为刚度矩阵。
图１二级齿轮传动系统
％＋‰
Ｋｏ ２ ｔ。
Ｏ
吒
●七 妇
以十％ ：
ｏ即坳
础怔≥
（２）
１８４
机械设计与研究
２００６年专刊
其中，匕、ｋ（ｆ）分别为啮合刚度的均值和时变成份，
【３】Ｊｉａｎ“ｎ’Ｒｏｂｅｒｔ Ｇ．Ｐａｒｋｅｒ．Ｍｅｓｈ Ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ Ｖａｒｉａｔｉｏｎ Ｉｎｓｔａｂｉｌｉｔｉｅｓ ｉｎ Ｔｗｏ·Ｓｔａｇｅ Ｇｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ａｎｄ Ａｃｏｕｓｔｉｃｓ，２００２，１２４：６８—７６．
【４】Ｇａｉ Ｙｕｘｉａｎ，Ｌｉ Ｄａｎ，Ｄｏｎｇ Ｓｈｅｎ．Ａｃｔｉｖｅ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ｉｓｏｌａｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍ ｆｏｒ Ｓｕｂｍｉｃｒｏ Ｕｌｔｒａｐｒｅｃｉｓｉｏｎ Ｔｕｒｎｉｎｇ Ｍａｃｈｉｎｅ［】］． Ｈｉｇｈ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ Ｌｅｔｔｅｒｓ，２０００，６（３）：４０－４３
作者简介：刘会英（１９６０．），女，副教授，研究方向；机械
传动，机构学，机械动力学
二级齿轮传动振动分析
作者： 作者单位：
刘会英， 戚晓霞， 于永玲 刘会英(哈尔滨工业大学,汽车工程学院,威海,264209)， 戚晓霞,于永玲(泰山学院应用科学 技术系,泰安,271021)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Conference_6203702.aspx
摘要：振动是影响齿轮传动精度的重要因素之一，本文建立了二级齿轮传动的振动模型，其中齿轮的啮合刚度
与啮合齿轮的重合度有关，啮合刚度的变化引起了齿轮系统的振动。在一定频率范围内系统的振动是发散的，在稳
定与内振动成简单的周期性变化。
关键词：二级齿轮传动；振动；分析
中图分类号：ＴＨｌ３２．４１
文献标识码：
Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｆｏｒ Ｔｗｏ—Ｓｔａｇｅ Ｇｅａｒ Ｓｙｓｔｅｍ
２帆兽＋石幽＋掣＋ｆ蚴＋础疆鲫＝ｏ （·４）
式（１３）、（１４）的非无效解为
Ａｐ＝ａｐＰ～，Ａｐ－－ａ，一２”ｈ
（１５）
刘会英等：二级齿轮传动振动分析
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式中唧、嘞为复常数，名为相关特征方程的根
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当盯２＞－心时，４、Ａｑ有界；当盯２＜心时，４、４