九年级上册 正多边形和圆(学生版)

正多边形和圆 初中数学

班别：初中数学

姓名：

正多边形和圆讲之篇

☆情境引入☆

观看下列美丽的图案．

问题1:这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？

问题2:你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？

☆探索新知☆

【探究活动】

问题1:将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论．

问题2:如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？

问题3:各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，说明为什么？如果不是，举出反例

【教师释疑】

如图, 把⊙O分成相等的5段弧,依次连接各分点得到正五边形ABCDE.

⊙弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，

⊙ AB=BC=CD=DE=EA,

弧BCE=弧CDA，

⊙ ⊙A=⊙B.

同理⊙B = ⊙C = ⊙D = ⊙E.

又五边形ABCDE的顶点都在⊙O上,

⊙ 五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形, ⊙O是五边形ABCDE的外接圆.

1．中心：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心.

2．半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径

3．中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.

4．边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距

画正n边形的步骤：将一个圆n等分，顺次连接各分点.对于一些特殊的正n边形，如正四边形、正八边形、正六边形、正三角形、正十二边形还可以用尺规作图.

【例题讲解】

题型一：正多边形和圆的关系的应用

例1. 有一个亭子（如图）它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积（精确到0.1 m2）．

变式训练：

1．已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，⊙求正六边形的周长和面积．

题型二:画正多边形

例2.利用你手中的工具画一个边长为2cm的正六边形

变式训练：

1.利用你手中的工具画一个半径为3cm的正五边形．

☆课堂提高☆

1.下列命题正确的是()

A.各边相等的多边形是正多边形

B.各角相等的多边形是正多边形

C.既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形

D.各边相等,各角也相等的多边形是正多边形

2.圆的半径扩大一倍,则它的相应的圆内接正n边形的边长与半径之比()

A.扩大了一倍

B.扩大了两倍

C.扩大了四倍

D.没有变化

3.如图所示,正六边形ABCDEF内接于⊙O,则⊙ADB的度数是()

A.60°

B.45°

C.30°

D.22.5°

4.在半径为R的圆中,内接正方形与内接正六边形的边长之比为.

5.已知正六边形的边心距为,则正六边形的边长为.

6.用等分圆周的方法画出下列图案：

正多边形和圆练之篇

课堂练习：

1. 如图所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则⊙ADB的度数是（）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

2. 圆内接正五边形ABCDE中，对角线AC和BD相交于点P，则⊙APB的度数是（）A．36° B．60° C．72° D．108°

3.正十二边形每个内角的度数为.

4.如果一个正多边形的一个内角为144°,则这个正多边形的边数为.

5.比较正五边形与正六边形，可以发现它们的相同点与不同点.

正五边形正六边形

例如它们的一个相同点：正五边形的各边相等，正六边形的各边也相等.

它们的一个不同点：正五边形不是中心对称图形，正六边形是中心对称图形.请你再写出它们的两个相同点和不同点.

相同点：

（1）____________________________________________________________________;

（2）___________________________________________________________________.

不同点：

（1）____________________________________________________________________;

（2）____________________________________________________________________.

课后练习：

1.如图,要拧开一个边长为a=6mm的正六边形螺帽,扳手张开的开口b至少为()

A.6mm

B.12mm

C.6mm

D.4mm

2.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是( )

A.S3>S4>S6

B.S6>S4>S3

C.S6>S3>S4

D.S4>S6>S3

3.已知⊙ABC的周长为20,⊙ABC的内切圆与边AB相切于点D,AD=4,那么BC=__________.

4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.

5.已知⊙O的半径为1 cm,求作⊙O的内接正八边形.