10一般形式的柯西不等式

作业： P41习题2： 1, 2, 3, 5.
定理2(柯西不等式的向量形式）设α, β是两 个向量,则有|α·β|≤|α||β|, 当且仅当β 是零向量, 或存在实数k,使α=kβ时, 等号 成立.
思考2：由向量形式联想到空间向量,从 三维的角度思考问题，关于柯西不等式 有什么结论？
定理:(三维形式的柯西不等式[向量形式]) 若α,β为空间向量,设α＝(a1,a2,a3), β＝(b1,b2,b3)，则|α·β|≤|α||β|即：
(a1b1 a2b2 L anbn )2
思考4：上述不等式可抽象为AC≥B2，即 (2B)2－4AC≤0，联想到判别式，如何构 造二次函数证明上述猜想？
f (x) (a12 a22 L an2 )x2
2(a1b1 a2b2 L anbn )x (b12 b22 L bn2 )
数k,使得ai=kbi(i=1,2,…，n )时,等号
成立.
a1 a2 a3 an
b1 b2 b3
bn
思考6：将二维三角不等式推广,则一般 形式的三角不等式是什么？
定理（n维形式的三角不等式）
若x1, x2,, xn; y1, y2,, yn R, 那么
x12 x22 L xn2 y12 y22 L yn2 (x1 y1)2 (x2 y2 )2 L (xn yn )2
迁移应用
例1 已知a1, a2, …, an都是实数,n∈N*.
求证：1 n
(a1
a2
L
an )2
a12 a22 L
an2
例2 已知a，b，c，d是不全相等的正 数，证明：
a2＋b2＋c2＋d 2＞ab＋bc＋cd＋da.
例3 已知x＋2y＋3z＝1，求x2＋y2＋ z2的最小值.
1
14
思考5：由上述证明过程可知，一般形式 的柯西不等式是什么？
定理:(一般形式【n维】的柯西不等式)
设a1,a2,a3,…,an；b1,b2,b3, …,bn是实
数，则(a12 a22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )
(a1b1 a2b2 L anbn )2
当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个
选修4－5 不等式选讲 第三讲 柯西不等式与排序不等式
二 一般形式的柯西不等式
旧知新探
思考1：二维形式的柯西不等式的代数形 式和向量（几何）形式分别是什么？
定理1(二维形式的柯西不等式）若a, b, c, d 都是实数,则(a2＋b2)(c2＋d 2)≥(ac＋bd)2, 当且仅当ad＝bc时，等号成立.
定理【排序不等式，又称排序原理】
设a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn 为两组实 数,c1,c2,c3,…,cn是b1,b2,b3,…,bn的任 一排列,则 a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋… ＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn, 即反序和≤ 乱序和≤顺序和. 当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝ bn时,反序和等于顺序和.
小结作业
1.柯西不等式反映了两组实数的平方和之积 与两两之积的和的平方的大小关系。它在证 明不等式和求组合变量的最值问题中有广泛 的应用.
2.使用柯西不等式时，要注意它的外在形式. 当所研究的代数式与柯西不等式的左边或右 边具有一致的形式时，就可以考虑利用柯西 不等式对这个代数式进行放缩，其中正确配 奏柯西不等式的外在形式是解题的关键.
(a12 a22 a32 )(b12 b22 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3)2
当且仅当b=0, 或存在一个数k, 使得 α=kβ即ai=kbi(i=1,2,3)时等号成立.
思考3：根据归纳推理猜想，柯西不等式 的一般形式（n维）是什么？
(a12 Байду номын сангаас22 L an2 )(b12 b22 L bn2 )