离散傅里叶变换基础知识

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

+ ������−������������������0������ 2
+
������������
������ ������������������0������
− ������−������������������0������
2������
}
������=1
=
������0 2
+


{������������
+
������ −������������������ )
������������������������������
=
1 2������
(������������������������

������ −������������������ )
将上面的公式代入傅里叶级数中:
������(������) = ������0 + ������1������������������������0������ + ������1������������������������0������ + ������2������������������2������0������ + ������2������������������������2������ + ⋯
������(������)
=
{+0,∞,
������ ������
= ≠
0 0
在采用中,基于狄利克雷函数,我们构造一个采样函数:

������������(������) = ∑ ������(������ − ������������������)
−∞
该函数只在������ = ������������������处的值为 1,其他处均为 0,即为周期������������的单位脉冲序列。故我们以频率
=
1 ������
������⁄2

−������⁄2
������(������)(������������������������������0������
+
������������������������������������0������)������������
=
1 ������
������⁄2
������������,而第一个式子就叫做傅里叶逆变换,即将频域里面的函数变换到时域中来。经傅里叶变 换后频域函数,可想而知,它是一个连续函数,即每个频率都都对应有幅值。
经过上面的傅里叶级数和傅里叶变换的学习,我们是不是万事大吉了呢?不是,因为做
过现场实测的同学都知道,我们实际测得的数据其实是一个个离散数据,而上面介绍的其实
∫ ������(������)������������������������0������������������
−������⁄2
所以我们可以将级数中的累计范围变为-∞到∞,这样就可以将������������和������−������给统一起来,即:

������(������) = ∑ ������������������������������������0������
即可得到离散傅里叶变换的表达形式:
或者写成:
������−1
������[������] = ∑ ������[������]������−������2������������������������ , 0 ≤ ������ ≤ ������ − 1
������=0
其中:������������ = ������−������2������������
−∞ −∞
∞∞
= ∑ ∫ ������(������ − ������������������)(������(������)������−������������������) ������������
−∞ −∞

= ∑ ������(������������������)������−������������������������������
离散傅里叶变换基础知识
傅里叶是一位法国数学家,他发现任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级
数做为基函数来表示,也就是我们数学上面学到的傅里叶级数,设一个周期函数������(������),其周
期为������,则其角频率为������0
=
2������,则该函数可以展开为一系列三角函数的累加:
=
������0 2
+


������������������������������������������0������
+
������������������������������������������0������
������=1
=
������0 2
+


{������������
������ ������������������0 ������
������−1
������[������] = ∑ ������[������]������������������������ , 0 ≤ ������ ≤ ������ − 1
+
������−������ ������ −������������������0 ������ }
������=1
我们将上面的������������和������������的计算式代入,可以发现:
������������
ຫໍສະໝຸດ Baidu
=
1 ������
������⁄2

−������⁄2
������(������)(������������������������������0������
������������采集得到得到数据可以表示为

������������(������) = ∑ ������(������)������(������ − ������������������)
−∞
对于无限长离散数据,我们可以看成是周期是无穷大,进行傅里叶变换:
∞∞
������������(������) = ∫ (∑ ������(������)������(������ − ������������������)) ������−������������������ ������������
������
∫ ������(������)������������
−������⁄2
2 ������⁄2
������������
=
������
∫ ������(������)������������������������������0������������������
−������⁄2
2 ������⁄2

������������������������������������0������)������������
=
1 ������
������⁄2
∫ ������(������)������−������������������0������������������
−������⁄2
������−������
������−1
������������(������) = ������(������) ∑ ������(������ − ������������������)
0
运用离散时间傅里叶变换所得的结果,此时只需将累加区间改为[0, N],然后将 w 改为������ 2������ ,
������������������
是一个连续图像。
但对于我们实际情况中,我们往往只能采集有限个数据,比如 N 个,那么该如何进行
傅里叶变换呢?也就是要用到我们的离散傅里叶变换(DFT),即对于连续信号������(������),按照采
样时间������������进行采样 N 次������(������ − ������������������),并将这 N 个数据进行周期延拓,即认为采样的时间������������������ 为一个周期,这样可以得到周期的离散信号,在一个周期内,其表达式为:
鼎大名的欧拉公式:
������������������������ = ������������������������������ + ������������������������������������
换个表达方式:
������������������������������
=
1 2
(������������������������
������
������(������) = ������0 + ������1������������������������0������ + ������1������������������������0������ + ������2������������������2������0������ + ������2������������������������2������ + ⋯
对应的幅值。然后我们以频率为 X 轴,以其对应的幅值为 Y 轴,就可以得到该函数在频域
里面的图像了。对于周期函数,其频域里面的图像是不连续的,只在������ = 0, ±������0, ±2������0 …才 有图像。
那么我们该如何将上面的正弦项和余弦项整合到一块呢?答案是欧拉公式。下面就是鼎
是连续函数的变化,所以我们还得学习针对离散数据的离散傅里叶变换(DFT)。而在学习离
散傅里叶变换之前,我们还得学习一下关于采样的知识以及离散时间傅里叶变换(DTFT)。
假设现在有一个连续函数������(������),现在我们用一个采用频率为������������的信号采集器去采集,那采集 到的信号序列怎么表示呢?我们引入狄利克雷函数:
������(������)
=
1 2������

∫ ������(������)
−∞
������ ������������������ ������

������(������) = ∫ ������(������)������−������������������ ������������
−∞
上面第二个式子就是经过傅里叶变换后频域里面的函数,它其实就是上面傅里叶级数里面的
− 2
������������������
������ ������������������0������
+
������������
+ 2
������������������
������ −������������������0������ }
������=1
=
������0 2
+

∑ {������������ ������ ������������������0������
=
������0 2
+


������������������������������������������0������
+
������������������������������������������0������
������=1
其中,上式中的各个系数:
2 ������⁄2
������0
=
−∞

= ∑ ������[������]������−������������������������������
−∞
上式中,������[������]代表我们采集的第 n 个数据,采样时间为������ = ������������������。上面进行的变换称为离散时
间傅里叶变换(DTFT),即将一个无限长的离散信号进行了傅里叶变换。其在频域内的图像
值。这样,对于周期函数,我们可以通过上面的变换得到其在频域的函数。那马上有人会想
到,如果我这个函数不是周期函数该怎么办呢?这就是下面所要说的傅里叶变换。
对于没有周期的函数,我们可以认为其周期趋于无穷大,这样我们还是可以用上面的流
程进行分析,只不过现在由于周期无穷大,级数里面的累加符号就变成积分形式:
−∞
其中
������������
=
1 ������
������⁄2
∫ ������(������)������
−������⁄2
−������������������0������
������������
上式的������������就是我们在频域所需要的,它是关于频率 w 的函数,其函数值为频率 w 对应的幅
������������
=
������
∫ ������(������)������������������������������0������������������
−������⁄2
但这个形式不太好用,因为正弦和余弦项是分开的,我们要考虑把他们两个整合起来,这样
对每一个频率 nw0 我们就可以得到一个系数项(比如上式的 an 或者 bn),这其实就是该频率
相关文档
最新文档