江苏省沭阳县建陵高级中学2017-2018学年高三艺术班数学午间小练83 Word版含答案

2017-2018学年高三艺术班数学午间小练（83）
平面向量的基本定理与坐标运算 姓名______班级_______
1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝________.
2．(2010年福建质检)设向量a ＝(4sin α，3)，b ＝(2,3cos α)，且a ∥b ，则锐角α为________．
3．设e 1、e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a 、b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .
4．(原创题)若向量a ＝(x ＋3，x 2
－3x －4)与AB →
相等，已知A (1,2)，B (3,2)，则x 的值为________． 5. (2009年高考江西卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.
6. 设点P (t 2＋2t
，1)(t >0)，则|OP →|(O 为坐标原点)的最小值是________． 7. (2009年高考湖北卷改编)已知P ＝{a |a ＝(1,0)＋m (0,1)，m ∈R }，Q ＝{b |b ＝(1,1)＋n (－1,1)，n ∈R }是两个向量集合，则P ∩Q ＝______________.
8. (2009年高考广东卷)若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝____________.
9．设a 、b 是不共线的两个非零向量， (1)若OA →＝2a －b ，OB →＝3a ＋b ，OC →
＝a －3b ， 求证：A 、B 、C 三点共线； (2)若8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，求实数k 的值；
(3)设OM →＝m a ，ON →＝n b ，OP →
＝αa ＋β b ，其中m 、n 、α、β均为实数，m ≠0，n ≠0，若M 、P 、N 三点共线，
求证：αm ＋βn
＝1.
1. 解析：a －2b ＝(3, 5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)． 答案：(7,3)
2. 解析：由于a ∥b ，得4sin α3cos α－3×2＝0⇒sin2α＝1⇒α＝π4. 答案：π4
3. 解析：e 1＋e 2＝m (e 1＋2e 2)＋n (－e 1＋e 2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ m －n ＝1，2m ＋n ＝1，∴m ＝23，n ＝－13. 答案：23 －13
4. 解析：∵AB →＝(2,0)，a ＝AB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3＝2，x 2－3x －4＝0，
⇒x ＝－1.
答案：－1
5. 解析：∵a －c ＝(3,1)－(k,7)＝(3－k ，－6)， 又∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63
，∴k ＝5 答案：5 6. 解析：由已知得|OP →
|＝ (t 2＋2t
)2＋1 ≥ (2 t 2×2t
)2＋1＝5，当t ＝2时取得等号． 7. 解析：因a ＝(1，m )，b ＝(1－n,1＋n ) ，由a ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝1－n m ＝1＋n ，解得n ＝0，m ＝1，
所以P ∩Q ＝{(1,1)}．
答案：{(1,1)}
8. 解析：a ＋b ＝(1,0)或(－1,0)，则a ＝ (1,0)－(2，－1)＝(－1,1)或a ＝(－1,0)－(2，－1)＝(－3,1)．
答案：(－1,1)或(－3,1)
9. 解：(1)证明：∵AB →
＝(3a ＋b )－(2a －b )＝a ＋2b ，
而BC →
＝(a －3b )－(3a ＋b )
＝－2a －4b ＝－2AB →，∴AB →与BC →
共线．又有公共端点B ，
∴A 、B 、C 三点共线．
(2)∵8a ＋k b 与k a ＋2b 共线，
∴存在实数λ，使得(8a ＋k b )＝λ(k a ＋2b )
⇒(8－λk )a ＋(k －2λ)b ＝0，
∵a 与b 不共线，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 8－λk ＝0k －2λ＝0⇒8＝2λ2
⇒λ＝±2，
∴k ＝2λ＝±4.
(3)证明：∵M 、P 、N 三点共线，
∴存在实数λ，使得MP →＝λPN →
，
∴OP →＝OM →＋λON →1＋λ＝m 1＋λa ＋λn 1＋λ
b . ∵a 、b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ α＝m 1＋λβ＝λn 1＋λ，
∴αm ＋βn ＝1
1＋λ＋λ
1＋λ＝1.。