第三章晶格振动教程
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u(na , t ) = e iqna u(0, t )
qna 表示第个n原子振动的位相因子，如 果第n个和第n’个原子的位相因子之差：
只考虑最近邻原子的相互作用，第n个原子受 到的总作用力： β (un+1 − un ) − β (un − un−1 ) = β (un+1 + un−1 − 2un ) 第n个原子的运动方程为： d2u M 2n = β (un+1 + un−1 − 2un ) dt
n−1
n
n+1
无限长，q可取任意值 有限长，q只取分立值：q =
λ 固体由分立的原子构成，这种不连续性在晶 格振动的讨论中必须考虑。当波长非常长 时，才可以不考虑原子的性质而把固体当作 连续介质，其间振动的传播为弹性波。 5
=
nπ L
un−1
a + un+1 − un
6
1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
ω max = 2 ⎜
⎛β ⎞ ⎟ ⎝M⎠
β
M
4 第一布里渊区
q β ⎞ qa ω = 2⎛ ⎜ ⎟ 2 M ⎝ ⎠ ω 与 q 为线性关系，与连续介质弹性波的色散 关系一致。即波长很长时，原子的离散效应可 忽略。声学支（acoustic branch)
ω 为 q 的周期函数, ω ⎜ q + n
n -整数，周期为 n
2
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
一 弹性波
振动在连续介质中的传播为弹性波。 弹性波在棒状样品的传 x x+dx 播(纵波)： 用 u( x ) 表示x点处的弹性位移， du 应变： e= ，每单位长度的长度改变， dx 应力： S 单位面积上所受的力。
3
胡克定律： S = Ye . 其中，Y--杨氏模量 dx 段运动方程: 2 ( ρ Ad x ) ∂ u = [S ( x + dx ) − S ( x )]A ∂t 2 ∂S S ( x + dx ) − S ( x ) = dx ∂x 2 ∂S ∂e ∂ u =Y =Y 2 ∂x ∂x ∂x ∂ 2u ρ ∂ 2u − = 0 一维波动方程 ∂x 2 Y ∂t 2
理学院 物理系 沈嵘
第三章 晶体振动
第三章 晶格振动
3.1 一维原子链的振动 3.2 三维晶格振动 3.3 简正坐标 声子 3.4 晶格热容 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 非简谐效应
1
晶体中的原子处在不停运动中： 温度较低，热运动较弱--在平衡位置附近微 振动; 温度较高，热运动较强--少数原子脱离格 点，热缺陷； 温度很高，热运动很强----整个晶体瓦解， 熔解。 晶格振动直接影响晶体的许多性质，如比 热，热膨胀，热传导，电阻等。
对二相邻原子,平衡位置时相互作用为：φ (a ) δ = un+1 − un 第n个原子和第n+1个原子间的相对位移. 此 时相互作用势变为：φ (a + δ ) 将 φ (a + δ ) 在平衡位置附近用泰勒级数展开：
1 ⎛ ∂ 2φ ⎞ 2 ⎛ ∂φ ⎞ ⎟ δ +L ⎟ δ+ ⎜ 2 ⎟ 2⎜ ⎝ ∂x ⎠ a ⎝ ∂x ⎠ a 第一项为所有原子均处于平衡位置上时的相 互作用能，为极小值。 第二项为原子间的作用力，平衡时为零。 7
1 简谐近似下的运动方程
当 δ 很小，振动很弱，势能展开式中保留 到δ2 项 1 ⎛ ∂ 2φ ⎞ 2 ⎟ δ φ (a + δ ) = φ (a ) + ⎜ 2 ⎟ 2⎜ ⎝ ∂x ⎠ a 两原子间的恢复力：
f =− ⎛ ∂ 2φ ⎞ ∂φ = −⎜ ⎜ ∂x 2 ⎟ ⎟ δ ∂δ ⎝ ⎠a ⎛ ∂ 2φ ⎞ β =⎜ ⎜ ∂x 2 ⎟ ⎟ --恢复力常数 ⎝ ⎠a
11
ω=
2 β (1 − cos qa ) qa ⎛β ⎞ = 2 ⎜ ⎟ sin M 2 ⎝M⎠
12
一维单原子链振动中格波的色散关系.
2
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
•当 q → 0, λ 很长,长 波长近似， qa qa sin ≈ 2 2
1 2
ω (q )
2
•当
q=±
π
a
, ω 有最大值
4
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
试探解：u = Ae 2π ⎞ ⎛ ⎟ --波矢 ⎜q = λ ⎠ ⎝ 色散关系：ω = v s q
i ( qx −ωt )
二
ω --振动频率
v s = Y ρ --波速
2π
一维单原子链的振动
n−2 n+ 2
考虑由N个相同 的原子组成的一 维晶格，相邻原 子间的平衡距离 为a，第n个原子 偏离平衡位置的 位移用un表示。
qn' a − qna = s • 2π s --整数 un' = Ae i ( qn'a −ωt ) = Ae i ( qna −ωt ) = un
9 10
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
当第n′个和第n 个原子的的距离 n' a − na 为 2π q 的整数倍时，原子因振动而产生 的位移相同。
格波的传播速度，相速度 v p =
ω
q
3 色散关系
将 u(na , t ) = Ae i ( qna −ωt ) 代入运动方程
Mω 2 = 2 β (1 − cos qa )
− Mω 2 e iqna = β [e iq ( n+1 )a + e iq ( n−1)a − 2e iqna ]
--晶格中各个原子的振动相互间存在固定的位 相关系，即晶格中存在频率为 ω 的平面波(格 v q 沿传播方向—波矢 波)，波长 λ = 2π q ，
⎛ ⎝
2π ⎞ ⎟ = ω (q ) a ⎠
随 q 增加，ω − q 偏离线性关系。
13
2π = Gh -- 倒格矢 a ω (q + Gh ) = ω (q ) u(q + Gh ) = u(q )
8
φ (a + δ ) = φ (a ) + ⎜
f = − βδ = − β (un+1 − un )
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
在简谐近似下，原子的相互作用象一个弹簧 振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波.
2 格波(lattice wave)
对每一个原子，都有一个类似的运动方程， 方程数和原子数相等。 方程解： u(na , t ) = Ae i ( qna −ωt )
qna 表示第个n原子振动的位相因子，如 果第n个和第n’个原子的位相因子之差：
只考虑最近邻原子的相互作用，第n个原子受 到的总作用力： β (un+1 − un ) − β (un − un−1 ) = β (un+1 + un−1 − 2un ) 第n个原子的运动方程为： d2u M 2n = β (un+1 + un−1 − 2un ) dt
n−1
n
n+1
无限长，q可取任意值 有限长，q只取分立值：q =
λ 固体由分立的原子构成，这种不连续性在晶 格振动的讨论中必须考虑。当波长非常长 时，才可以不考虑原子的性质而把固体当作 连续介质，其间振动的传播为弹性波。 5
=
nπ L
un−1
a + un+1 − un
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3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
ω max = 2 ⎜
⎛β ⎞ ⎟ ⎝M⎠
β
M
4 第一布里渊区
q β ⎞ qa ω = 2⎛ ⎜ ⎟ 2 M ⎝ ⎠ ω 与 q 为线性关系，与连续介质弹性波的色散 关系一致。即波长很长时，原子的离散效应可 忽略。声学支（acoustic branch)
ω 为 q 的周期函数, ω ⎜ q + n
n -整数，周期为 n
2
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
一 弹性波
振动在连续介质中的传播为弹性波。 弹性波在棒状样品的传 x x+dx 播(纵波)： 用 u( x ) 表示x点处的弹性位移， du 应变： e= ，每单位长度的长度改变， dx 应力： S 单位面积上所受的力。
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胡克定律： S = Ye . 其中，Y--杨氏模量 dx 段运动方程: 2 ( ρ Ad x ) ∂ u = [S ( x + dx ) − S ( x )]A ∂t 2 ∂S S ( x + dx ) − S ( x ) = dx ∂x 2 ∂S ∂e ∂ u =Y =Y 2 ∂x ∂x ∂x ∂ 2u ρ ∂ 2u − = 0 一维波动方程 ∂x 2 Y ∂t 2
理学院 物理系 沈嵘
第三章 晶体振动
第三章 晶格振动
3.1 一维原子链的振动 3.2 三维晶格振动 3.3 简正坐标 声子 3.4 晶格热容 3.5 晶格振动谱的实验测定 3.6 非简谐效应
1
晶体中的原子处在不停运动中： 温度较低，热运动较弱--在平衡位置附近微 振动; 温度较高，热运动较强--少数原子脱离格 点，热缺陷； 温度很高，热运动很强----整个晶体瓦解， 熔解。 晶格振动直接影响晶体的许多性质，如比 热，热膨胀，热传导，电阻等。
对二相邻原子,平衡位置时相互作用为：φ (a ) δ = un+1 − un 第n个原子和第n+1个原子间的相对位移. 此 时相互作用势变为：φ (a + δ ) 将 φ (a + δ ) 在平衡位置附近用泰勒级数展开：
1 ⎛ ∂ 2φ ⎞ 2 ⎛ ∂φ ⎞ ⎟ δ +L ⎟ δ+ ⎜ 2 ⎟ 2⎜ ⎝ ∂x ⎠ a ⎝ ∂x ⎠ a 第一项为所有原子均处于平衡位置上时的相 互作用能，为极小值。 第二项为原子间的作用力，平衡时为零。 7
1 简谐近似下的运动方程
当 δ 很小，振动很弱，势能展开式中保留 到δ2 项 1 ⎛ ∂ 2φ ⎞ 2 ⎟ δ φ (a + δ ) = φ (a ) + ⎜ 2 ⎟ 2⎜ ⎝ ∂x ⎠ a 两原子间的恢复力：
f =− ⎛ ∂ 2φ ⎞ ∂φ = −⎜ ⎜ ∂x 2 ⎟ ⎟ δ ∂δ ⎝ ⎠a ⎛ ∂ 2φ ⎞ β =⎜ ⎜ ∂x 2 ⎟ ⎟ --恢复力常数 ⎝ ⎠a
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ω=
2 β (1 − cos qa ) qa ⎛β ⎞ = 2 ⎜ ⎟ sin M 2 ⎝M⎠
12
一维单原子链振动中格波的色散关系.
2
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
•当 q → 0, λ 很长,长 波长近似， qa qa sin ≈ 2 2
1 2
ω (q )
2
•当
q=±
π
a
, ω 有最大值
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3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
试探解：u = Ae 2π ⎞ ⎛ ⎟ --波矢 ⎜q = λ ⎠ ⎝ 色散关系：ω = v s q
i ( qx −ωt )
二
ω --振动频率
v s = Y ρ --波速
2π
一维单原子链的振动
n−2 n+ 2
考虑由N个相同 的原子组成的一 维晶格，相邻原 子间的平衡距离 为a，第n个原子 偏离平衡位置的 位移用un表示。
qn' a − qna = s • 2π s --整数 un' = Ae i ( qn'a −ωt ) = Ae i ( qna −ωt ) = un
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3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
当第n′个和第n 个原子的的距离 n' a − na 为 2π q 的整数倍时，原子因振动而产生 的位移相同。
格波的传播速度，相速度 v p =
ω
q
3 色散关系
将 u(na , t ) = Ae i ( qna −ωt ) 代入运动方程
Mω 2 = 2 β (1 − cos qa )
− Mω 2 e iqna = β [e iq ( n+1 )a + e iq ( n−1)a − 2e iqna ]
--晶格中各个原子的振动相互间存在固定的位 相关系，即晶格中存在频率为 ω 的平面波(格 v q 沿传播方向—波矢 波)，波长 λ = 2π q ，
⎛ ⎝
2π ⎞ ⎟ = ω (q ) a ⎠
随 q 增加，ω − q 偏离线性关系。
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2π = Gh -- 倒格矢 a ω (q + Gh ) = ω (q ) u(q + Gh ) = u(q )
8
φ (a + δ ) = φ (a ) + ⎜
f = − βδ = − β (un+1 − un )
3.1 一维原子链的振动
3.1 一维原子链的振动
在简谐近似下，原子的相互作用象一个弹簧 振子。一维原子链是一个耦合谐振子，各原 子的振动相互关联传播，形成格波.
2 格波(lattice wave)
对每一个原子，都有一个类似的运动方程， 方程数和原子数相等。 方程解： u(na , t ) = Ae i ( qna −ωt )